Může být singularita nahá? Případ shell crossing singularity v Lemaître-Tolman modelu

V teorii gravitačních singularit a kosmické cenzury (CCH) je otázka nahé singularity jedním z nejdiskutovanějších témat. Jedním z příkladů, který zpochybňuje konvence této teorie, je singularita vznikající při "shell crossing" ve Lemaître-Tolman (L-T) modelu, jak popisují Yodzis, Seifert a Müller zum Hagen v roce 1973. Tento model ukazuje, že za určitých podmínek může vzniknout singularita, která není zakrytá žádným horizontem a tedy je "nahá". Tento fenomén je důležitý nejen pro teoretickou fyziku, ale i pro pochopení možného chování gravitačních singularit v reálném vesmíru.

V tomto modelu uvažujeme prachovou kouli, která se zhroutí v čase $t < t_C$ a čas t roste až k hodnotě $t_C$. Dále sledujeme, jakým způsobem se tato koule rozpadá a jakým způsobem se časová závislost jejího rozměru a hmotnosti chová k singularitě. Pro určení polohy této singularity a jejího vztahu k horizontu musí být splněna určitá podmínka: čas, kdy shell crossing dosáhne povrchu koule, musí být menší než čas, kdy povrch koule překročí zjevný horizont.

Pokud je tato podmínka splněna, singularita se stane nahou, protože i když povrch koule ještě není za Schwarzschildovým horizontem, singularita může vysílat světelný paprsek směrem k budoucí nulové nekonečnosti. Takový paprsek se bude pohybovat vnějším prostorem, aniž by narazil na žádnou bariéru, což je klíčový důkaz pro možnost existence nahé singularity.

Následně byla provedena analýza s pomocí numerických metod, která ukázala, že v některých případech mohou existovat i silnější porušení CCH. V tomto smyslu byly další modely, například práce Newmana z roku 1986, orientovány na studium intenzity těchto nahých singularit a jejich vliv na geodetické linie. V těchto modelech se ukázalo, že zatímco shell crossing singularity jsou slabé a neobvykle se chovají v rámci gravitace, focussing singularity jsou schopny mít silnější efekty, které mohou vést k dalším závažným porušením kosmické cenzury.

Nakonec lze říci, že tento výzkum ukazuje na možnou existenci singularit, které se vymykají běžně akceptovaným pravidlům kosmické cenzury. Důsledky pro teoretickou astrofyziku a kosmologii jsou zásadní, neboť naznačují, že je třeba přehodnotit některé fundamentální předpoklady o tom, co se stane v extrémních gravitačních podmínkách.

Jak se model Lemaître-Tolman vyrovnává s otázkami časových horizontů a kolapsů vesmíru

V rámci tohoto modelu, pokud r ≥ E2, dochází k opětovnému dosažení E ≥ 0, což znamená, že vesmír expanduje z velkého třesku až do nekonečna. Tento proces se odráží v chování funkcí jako M(r), E(r) a tB(r), kde tB(r) je čas velkého třesku a tC(r) je čas, kdy nastává kolaps (tzv. Big Crunch). Při r ≤ 0 jsou tyto funkce charakterizovány pozitivními hodnotami a způsobují, že model vykazuje různé chování v závislosti na konkrétní hodnotě parametru r. Časový vývoj těchto parametrů je zobrazen v různých diagramech prostor-čas, které ukazují chování časových horizontů a interakce mezi nimi.

V oblasti mezi r ≤ −E1 < 0 a r ≥ E2 > 0 se nachází specifická místa, kde se dotýkají tzv. aparentní horizonty. Tato místa jsou klíčová pro pochopení vztahů mezi časem, prostorovými zakřiveními a horizonty, protože ukazují, jak se čas a prostor vzájemně ovlivňují v závislosti na pozici a dynamice hmoty v modelu.

V modelu L-T však existuje důležitý poznatek: jakmile se světelný paprsek dostane do interakce s budoucím aparentním horizontem, nemůže již opustit tuto oblast. Tato skutečnost rozlišuje model L-T od Schwarzschildova prostoru, kde je možné vysílat světelné paprsky podél aparentního horizontu. Zatímco v Schwarzschildově geometrie mohou světelné paprsky "překonávat" horizonty, v L-T modelu je komunikace mezi různými oblastmi vesmíru ještě obtížnější, což ukazuje, že model L-T je mnohem více uzavřený než Schwarzschildův.

Dalším zajímavým příkladem, který Hellaby (1987) uvádí, je model "řetězu korálků". Tento model představuje řadu rekolapsujících oblastí, z nichž každá začíná svým vlastním velkým třeskem a končí velkým kolapsem (Big Crunch). Tyto oblasti jsou propojeny "krky", které jsou místy, kde se jednotlivé vesmíry spojují a poté zanikají. Model ukazuje, jak mohou vesmíry existovat paralelně, přičemž každý "korálek" je vlastně samostatnou částí vesmíru, která prochází cyklem vzniku a zániku.

Ve světle těchto informací je důležité pochopit, že model L-T nabízí silné nástroje pro předpověď dynamiky vesmíru, ale jeho aplikace závisí na přesném pochopení, jak parametry jako M(r), E(r) a tB(r) interagují. Zároveň by čtenář měl mít na paměti, že ve vesmíru nejsou všechny oblasti jednoduše propojené nebo v dosahu komunikace, což se ukazuje v případě prostorových a časových horizontů, které jsou v modelu L-T klíčovými faktory ovlivňujícími chování světelných paprsků a interakcí mezi různými vesmíry.

Pro správné pochopení tohoto modelu by bylo užitečné prozkoumat, jak konkrétní hodnoty tB(r) a tC(r) závisí na rozložení hmoty v daných oblastech. Zkoumání těchto parametrů může odhalit detaily o vývoji konkrétních vesmírných cyklů a jejich propojení. Důležitým faktorem je také porozumění tomu, jak v rámci těchto modelů dochází k přenosu informací, což je v některých případech silně omezeno vzhledem k vlastnostem aparentních horizontů.

Jak funguje Petrovova klasifikace ve spinorové formalismu?

Petrovova klasifikace představuje základní nástroj v diferenciální geometrii a obecné teorii relativity, umožňující rozlišit různé typy zakřivení časoprostoru podle vlastností Weylovy tenzorové struktury. Přístup k této klasifikaci pomocí spinorů, jak jej zavedl Debever, umožňuje elegantní a precizní popis symetrií a algebraických vlastností zakřivení. Spinorová metoda spočívá v převodu klasických tenzorových objektů na spinorové ekvivalenty, což zjednodušuje manipulaci s indexy a zároveň rozšiřuje intuici o podstatě prostoru.

Klíčovou roli v tomto formalismu hrají Pauliovy matice $g^{\alpha}_{A\dot{B}}$ a jejich reciproční verze $g_{\beta}^{\dot{C}D}$, které propojují vektorové a spinorové indexy. Tyto matice lze vzájemně převádět pomocí metriky Minkowského prostoru a antisymetrických spinorových symbolů $\epsilon$. Důležitým úkolem je prokázat, že reciproční Pauliovy matice jsou skutečně inverzní vůči původním, což zaručuje konzistenci spinorového popisu v Minkowském časoprostoru.

Při ověřování jednotlivých vztahů je nezbytné pečlivě sledovat indexovou notaci a symetrie, například antisymetrii ve spinorových indexech, která vede k důležitým identitám využívaným v klasifikaci. Rovněž hraje roli manipulace s determinanty a konjugacemi spinorů, které definují jedinečné vlastnosti spinorových tenzorů. V praxi jsou tyto postupy často prováděny s pomocí algebraických programů, které zaručují správnost a efektivitu výpočtů.

Petrovova klasifikace pomocí spinorů není pouze formální matematickou konstrukcí, ale také nástrojem s hlubokým fyzikálním významem, protože odráží symetrie a možné fyzikální vlastnosti gravitačního pole. Spinorový přístup poskytuje rovněž most k dalším oblastem teoretické fyziky, jako jsou supersymetrie a kvantová gravitace, kde spinory hrají nezastupitelnou roli.

Dále je nezbytné chápat, že spinorový formalismus výrazně zjednodušuje práci s Lorentzovými transformacemi a nabízí přehlednější popis invariancí prostoru. Čtenář by měl vnímat spinory nejen jako technický nástroj, ale jako základní geometrický prvek, který umožňuje novou perspektivu na strukturu prostoru a časoprostoru. Je rovněž důležité sledovat vztahy mezi spinorovými objekty a jejich zrcadlovými (konjugovanými) verzemi, protože právě komplexní struktura těchto vztahů definuje typ zakřivení.

Jakým způsobem inflační modely řeší problémy kosmologie založené na Robertson–Walker metrikách?

Modely založené na metrice Robertson–Walker (R–W) představují zjednodušené popisy vesmíru, které však vedou k určitým paradoxům, jež v pokročilejších modelech, jako jsou Lemaître–Tolman (L–T) a Szekeresovy modely, neexistují. Mezi nejvýznamnější tzv. „problémy“, které vyvolaly intenzivní zájem o inflační kosmologii, patří problém „plochosti“ a problém „horizontu“. Tyto problémy, jak bylo popsáno již v práci Guthovy z roku 1981, představují klíčové otázky v chápání raných fází vývoje vesmíru.

Problém plochosti vyplývá z extrémně přesného nastavení počátečních podmínek vesmíru. Když se uvažuje prostor s k = 0, tedy prostor bez křivosti, hustota vesmíru má velmi specifickou hodnotu, která je blízká kritické hustotě. V důsledku toho, aby současná hodnota hustoty odpovídala pozorování, musela být na počátku existence vesmíru tato hustota extrémně přesně „vyladěná“. Jinými slovy, i nepatrná odchylka od kritické hustoty by vedla k diametrálně odlišné evoluci vesmíru. Tento problém přesného vyladění poukazuje na neuspokojivost základních modelů a vyžaduje vysvětlení, proč byly podmínky takto pečlivě nastaveny.

Problém horizontu spočívá v tom, že různé oblasti pozorovaného vesmíru, například oblasti, ze kterých pochází reliktní mikrovlnné záření (CMB), nemohly být před epochou posledního rozptylu (recombination) v kauzálním kontaktu. Jejich minulé světelné kužely nezasahovaly do společného prostoru, což znamená, že nebylo možné, aby si tyto oblasti vyměnily informace nebo dosáhly teplotní rovnováhy. Přesto dnes pozorujeme téměř uniformní teplotu CMB v celém vesmíru. Tento fakt vyvolává zásadní otázku, jakým způsobem mohla být homogenita a izotropie vesmíru v tak krátkém čase dosažena.

Inflační modely tyto problémy řeší zavedením období extrémně rychlé kosmologické expanze bezprostředně po Velkém třesku. Inflace dramaticky rozšiřuje objem vesmíru, což způsobí, že oblasti, které dnes pozorujeme jako vzdálené, byly kdysi v dostatečném kontaktu a mohly dosáhnout termodynamické rovnováhy. Tím se rozšiřuje budoucí světelný kužel bodů v časoprostoru, čímž se „horizont“ významně zvětšuje a eliminuje tak zmíněný problém.

Podobně problém plochosti je odstraněn díky tomu, že inflace vyrovnává prostorovou křivost vesmíru a tlačí jej velmi blízko k rovinnému stavu. Expanzivní fáze inflace tedy nejen vysvětluje současnou plochost vesmíru, ale i eliminuje nutnost extrémního vyladění počátečních podmínek.

Dále je důležité chápat, že inflační modely vycházejí z relativně jednoduchých rovnic pohybu a stavu záření, přičemž předpokládají, že do období recombination byl vesmír dominantně zářením ovládaný, což vede k přesným rovnicím pro evoluci škálového faktoru R(t). Z tohoto pohledu se inflace jeví jako přirozený mechanismus, který řeší základní problémy předešlých kosmologických modelů, aniž by bylo třeba neustále předpokládat „vyladěné“ počáteční podmínky.