Jak definovat σ-algebry v teorii míry

V této části se zaměříme na formalizaci σ-algeber v teorii míry, což je klíčová součást matematické analýzy, zejména při konstrukci měr a jejich aplikacích. σ-algebra je velmi důležitý pojem, který nám umožňuje definovat měřitelné množiny, a tím i měření na daném prostoru. Definice σ-algebr je často složitá, protože zahrnuje práci s nekonečnými množinami a požadavky na jejich uzavřenost vůči různým operacím, jako jsou doplňky a spočetné sjednocení.

Semiring množin

Základním stavebním kamenem pro σ-algebry je semiring množin. Semiring množin je množina množin, která je uzavřena vůči průnikům a operaci semi-difference (semi-rozdíl). Definice semiringu obsahuje několik klíčových vlastností:

1. Obsahuje prázdnou množinu.

2. Je uzavřena vůči průnikům.

3. Je uzavřena vůči operaci semi-rozdílu, což znamená, že pro dvě množiny $A$ a $B$ existuje konečná množina $D$, která pokrývá rozdíl mezi $A$ a $B$ pomocí disjunktních množin.

Tato struktura je dále formalizována pomocí mixinu isSemiRingOfSets, který definuje, jakým způsobem jsou vlastnosti semiringu množin implementovány v rámci systému.

Kroužek a algebra množin

Pokud rozšíříme semiring množin o uzavřenost vůči sjednocení konečných množin, získáme kroužek množin. Kroužek množin je tedy semiring množin, který je navíc uzavřený vůči operaci sjednocení.

σ-algebra

σ-algebra je algebra množin, která je navíc uzavřena vůči spočetným sjednocením. To znamená, že pokud máme nekonečnou posloupnost množin, jejich sjednocení bude opět měřitelnou množinou. Formalizace σ-algebry v MathComp-Analysis probíhá pomocí mixinu hasMeasurableCountableUnion, který určuje, že pro každou posloupnost měřitelných množin jejich sjednocení je také měřitelné.

Výsledkem tohoto procesu je definice typu Measurable, který je schopen reprezentovat σ-algebry v daném teoretickém rámci.

Generované σ-algebry

Pro každý takový generovaný soubor množin $G$ pak můžeme definovat typ $\langle G \rangle$, což je nejmenší σ-algebra, která obsahuje $G$.

Tato definice je zásadní pro konstrukci σ-algeber, protože umožňuje efektivně pracovat s neomezenými množinami množin, které mohou být součástí širší struktury σ-algebry.

Co je důležité pro čtenáře

Je také důležité chápat uzavřenost těchto struktur vůči různým operacím, jako jsou doplňky a sjednocení, a to jak konečné, tak spočetné. Tato uzavřenost je tím, co dává σ-algeber jejich sílu při modelování měření na komplexních prostorech.

Při aplikaci těchto konceptů v matematických rámcích, jako je Coq, musíme být obeznámeni s jejich formálními definicemi a s tím, jak jsou tyto definice implementovány v konkrétním systému. I když samotné definice mohou být složité, pochopení hierarchie mezi těmito strukturami a schopnost manipulovat s těmito strukturami ve formálních systémech je základem pro další práci v oblasti měření a analýzy.

Jak využít zápis v Coq pro práci s konečnými množinami a operacemi?

V matematice a logice, zejména v oblasti formálních jazyků a provádění důkazů pomocí výpočetních nástrojů, jako je Coq, je důležitým nástrojem práce s konečnými množinami a operacemi na nich. Systém Coq nabízí rozsáhlé možnosti pro manipulaci s konečnými množinami pomocí různých konstrukcí a operací. Například v rámci knihovny MathComp lze efektivně využívat operace nad množinami, které jsou definovány pomocí komutativních, asociativních a distributivních vlastností.

Když pracujeme s množinami v Coq, velmi často se setkáváme s operacemi, jako jsou různé druhy "velkých" sumací a produktů (big sums a big products). Například sumace přes určité množiny prvků, kde se používají operace jako unie a průnik, jsou základními stavebními kameny pro práci s konečnými množinami a jejich vztahy.

Součástí pokročilých technik je také práce s indukčními definicemi, které umožňují definování a práci s množinami v Coq pomocí rekurzivních struktur a indukčních kroků. Tato schopnost je užitečná při vytváření algoritmů pro výpočty nad konečnými množinami a jejich důslednou analýzu.

Je důležité si uvědomit, že Coq je nejen nástroj pro provádění matematických důkazů, ale i pro formalizaci matematických teorií, což umožňuje práci s přesnými a formálními důkazy. Proto, kromě znalosti základních operací a množinových struktur, je nezbytné mít porozumění pro správné použití těchto nástrojů v praxi, což znamená, že musíte rozumět důsledkům jednotlivých operací a způsobu, jakým mohou ovlivnit váš důkaz.

Jak efektivně využívat taktiky v Coqu pro práci s logikou a důkazy

V rámci používání taktiky rewrite v Coqu lze využít kontextové vzory k přesnému označení části vzoru, která obsahuje nějaký výraz X. Pro tento účel použijeme zápis rewrite [X in pattern ]h nebo rewrite [in X in pattern ]h, kdy pattern obsahuje výskyt X. Více o kontextových vzorech lze nalézt v pracích Gonthiera a kol. (2016) nebo Mahboubího a Tassiho (2021). Tento přístup umožňuje generování rovnosti (1) = t jako nového podcíle, čímž se výraz X v cíli přepisuje na t.

Taktika rewrite není omezená pouze na přepisování, ale může být použita i pro několik operací zjednodušení. Tyto operace zahrnují:

• //: zkouší se zbavit jednoduchých podcílových důkazů.

• /=: provádí redukci v podcíli.

• //=: kombinuje obě operace.

Ve skutečnosti lze operace zjednodušení kombinovat i s jinými taktikami, například s move, přičemž move => je ekvivalentní s rewrite T, a move => {n} -> je ekvivalentní s rewrite {n} T. Ačkoliv tento zápis může na první pohled působit zmateně, v praxi se rychle stává přirozeným a intuitivním.

Příklad použití taktiky v reálném důkazu: pokud je třeba dokázat rovnost fastfib n = fib n, lze použít taktiku move/(_ _ (leqnn n)); rewrite subnn, kde move zajistí, že se podmínka leqnn n bude aplikovat na konkrétní podcíl, a rewrite následně přepíše rovnici.

Kromě přepisování se v Coqu setkáme i s rozšířením propoziční logiky. Například pro definici nepravdy (False) je v Coqu použita induktivní definice:

coq
Copy code
Inductive False : Prop := 

To není překlep, protože neexistuje žádný konstrukt pro tuto hodnotu, což znamená, že "False" nemá žádného tvůrce a nelze ji prokázat. Pro nepravdu je také zavedená notace ~ A, což značí A -> False.

Pro pravdu (True) je definice v Coqu obdobná, i když existuje pouze jeden konstruktor:

coq
Copy code
Inductive True : Prop := 
  I : True.

Dále jsou definovány disjunkce (or), které jsou prokázány pomocí dvou konstruktů:

coq
Copy code
Inductive or (A B : Prop) : Prop :=

  or_introl : A -> A \/ B
| or_intror : B -> A \/ B.

Pokud máme cíl ve tvaru A \/ B, můžeme použít taktiku left, abychom převedli cíl na A, nebo right, abychom převedli cíl na B. Kromě toho existuje i varianta disjunkce, která je definována ve větším typu Set, kde používáme sumbool:

coq
Copy code
Inductive sumbool (A B : Prop) : Set :=

  left : A -> {A} + {B} 
| right : B -> {A} + {B}.

Podobně můžeme provádět analýzu případu pro důkaz disjunkce pomocí taktiky case nebo patternu [|]. Tento přístup je užitečný v situacích, kdy je potřeba zkoumat oba možné případy.

Co se týče konjunkcí (and), v Coqu se používá podobná definice:

coq
Copy code
Inductive and (A B : Prop) : Prop := 
  conj : A -> B -> A /\ B.

Další užitečnou oblastí je predikátová logika a kvantifikátory. Zatímco univerzální kvantifikátor je v Coqu zabudován, existenciální kvantifikátor musíme definovat:

coq
Copy code
Inductive ex (A : Type) (P : A -> Prop) : Prop :=
  ex_intro : forall x : A, P x -> exists y, P y.

Tato konstrukce vyžaduje svědek (witness) a důkaz, že predikát P platí pro tento svědek.

Existují i varianty, které jsou pro uživatele Coqu velmi užitečné, například sigma-typ:

coq
Copy code
Inductive sig (A : Type) (P : A -> Prop) : Type :=

  exist : forall x : A, P x -> {x : A | P x}.

Existuje také sigma-typ s "závislým" párem:

coq
Copy code
Inductive sigT (A : Type) (P : A -> Type) : Type :=
  existT : forall x : A, P x -> {x : A & P x}.

Když přecházíme k predikátům jako reflect, které se používají k vyjádření ekvivalentnosti mezi výrokem v Prop a bool, může být analýza případu provedena na základě hodnoty b:

coq
Copy code
Inductive reflect (P : Prop) : bool -> Set :=

  ReflectT : P -> reflect P true
| ReflectF : ~ P -> reflect P false.

Příklad použití predikátu reflect:

coq
Copy code
Lemma andP : reflect (b1 /\ b2) (b1 && b2).

Díky takovému přístupu můžeme efektivně manipulovat s různými zobrazeními logických výroků a přetvářet je mezi různými reprezentacemi.

V Coqu je také možné označit některé argumenty jako implicitní, což znamená, že je uživatel nemusí zadávat explicitně, protože Coq je dokáže automaticky odvodit. Toto je velmi užitečné, pokud máme typy, které závisí na jiných typech, což zjednodušuje zápis.

coq
Copy code
Set Implicit Arguments.

Unset Strict Implicit.

Díky těmto možnostem je práce s argumenty v Coqu flexibilní a efektivní.