Jak zaručit stabilitu nelineárních systémů s ohledem na teorie existence a jedinečnosti řešení

Pro zajištění stability systému (2.37) je klíčové nejprve garantovat existenci a jedinečnost řešení $x(t)$. Toho je dosaženo aplikací následujícího věty, která zaručuje přítomnost řešení $x(t)$ pro daný systém (2.37).

Věta 2.1 (Globální existence a jedinečnost)

Definice 2.4
Bod rovnováhy $x = 0$ systému (2.37) je

• Lyapunovovsky stabilní (nebo stabilní) v čase $t_0$, pokud pro každé $R > 0$ existuje $r(R, t_0) > 0$, tak že $||x(t)|| < R$ pro všechna $t \geq t_0$ a všechna $||x(t_0)|| < r(R, t_0)$;

• asymptoticky stabilní v čase $t_0$, pokud je stabilní v čase $t_0$ a existuje $\delta(t_0) > 0$, tak že $\lim_{t \to \infty} ||x(t)|| = 0$ pro všechna $||x(t_0)|| < \delta(t_0)$;

• globálně asymptoticky stabilní v čase $t_0$, pokud je stabilní v čase $t_0$ a $\lim_{t \to \infty} ||x(t)|| = 0$ pro všechna $x(t_0) \in \mathbb{R}^n$.

Pokud $r(R, t_0)$ a $\delta(t_0)$ zůstávají nezávislé na $t_0$, a $\lim_{t \to \infty} ||x(t)|| = 0$ je rovnoměrné v $t_0$, což znamená, že pro každé $\epsilon > 0$ existuje $T > 0$, nezávislé na $t_0$, tak že $||x(t)|| < \epsilon$ pro $t > t_0 + T$, pak jsou pojmy stability rovnoměrné vzhledem k $t_0$. Tyto pojmy rovnoměrné stability lze také vyjádřit v termínech funkcí třídy $K$, $K_\infty$ a $KL$, jak je uvedeno níže.

Definice 2.5

• stabilní, pokud existuje funkce třídy $K$ $\gamma$ a konstanta $\delta > 0$, nezávislá na $t_0$, taková, že $||x(t)|| \leq \gamma(||x(t_0)||)$ pro všechna $t \geq t_0$ a všechna $||x(t_0)|| < \delta$;

• asymptoticky stabilní, pokud existuje funkce třídy $KL$ $\beta$ a konstanta $\delta > 0$, nezávislá na $t_0$, taková, že $||x(t)|| \leq \beta(||x(t_0)||, t - t_0)$ pro všechna $t \geq t_0$ a všechna $||x(t_0)|| < \delta$;

• globálně asymptoticky stabilní, pokud existuje funkce třídy $KL$ $\beta$, nezávislá na $t_0$, taková, že $||x(t)|| \leq \beta(||x(t_0)||, t - t_0)$ pro všechna $t \geq t_0$ a všechna $x(t_0) \in \mathbb{R}^n$.

Věta 2.2 (Lyapunovova přímá věta)
Zvažme systém (2.37) a nechť $V: \mathbb{R}^n \times [t_0, \infty) \to \mathbb{R}$ je spojitě diferencovatelná funkce, taková, že pro některé funkce třídy $K$ $\bar{\alpha}$ a $\alpha$, definované na $[0, \delta)$, platí

a

Jak analyzovat stabilitu přepínaných systémů

Při studiu dynamiky víceagentních systémů (MAS) v rámci přepínaných sítí je kladeno důraz na připojení dalších technických nástrojů pro analýzu stability, které přesahují základní teorii popsanou v předchozích kapitolách. Třída přepínaných systémů je charakterizována následujícími dynamikami:

kde $z(t) : [t_0, \infty) \to \mathbb{R}^N$ reprezentuje stav systému, $\mu(t) : [t_0, \infty) \to \mathbb{R}^p$ je vstupní signál a $B \in \mathbb{R}^{(N-1) \times p}$ je konstantní matice řízení. Rovnice (8.9) s pevným přepínacím signálem $\sigma(t) = i$ je označována jako subsystém i-tého typu pro každé $i \in P$. Jinými slovy, přepínaný systém (8.9) obsahuje více než jeden subsystém, přičemž přepínání je řízeno signálem $\sigma(t)$. V této sekci se zaměříme na analýzu obecného přepínaného systému ve formě (8.9). Je třeba zdůraznit, že přepínací matice $J_{\sigma}(t)$ nemusí být v tomto kontextu J-maticí.

Než přistoupíme k analýze vlastnosti ISS (Input-to-State Stability) systému (8.9), začneme jednodušší situací, kdy nebereme v úvahu vstupní signál $\mu$, tedy rovnice (8.10):

Pokud je matice $J_{\sigma}(t)$ pozitivně semidefinitní, tj. $J_{\sigma}(t) \geq 0$ pro všechna $t \in [t_0, \infty)$, derivace funkce $V(t) = z^T(t)z(t)$ podél řešení rovnice (8.10) splňuje:

Tento jednoduchý argument zajišťuje stabilitu bodu rovnováhy $z = 0$ podle teorem 2.2. Pro atraktivitu bodu rovnováhy je však vyžadována silnější podmínka, jak ukazuje následující lemma.