Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
Optické vlnovody fungují na principu úplného vnitřního odrazu, který je výsledkem rozdílu indexů lomu mezi jádrem a pláštěm. Světlo zůstává zachyceno v jádře, protože jeho index lomu je vyšší než u pláště. Přestože světlo nepřechází do pláště v klasickém smyslu, elektromagnetické pole vlny přesto částečně proniká do této oblasti ve formě tzv. evanescentní vlny. Tato vlna má exponenciálně klesající charakter ve směru kolmém na rozhraní jádra a pláště a její intenzita prudce klesá se vzdáleností od tohoto rozhraní.
Matematicky lze tuto exponenciální složku vyjádřit jako rovinu vlny, jejíž vektor šíření má imaginární složku ve směru kolmo na rozhraní. Výsledkem je, že amplituda elektrického pole exponenciálně klesá s rostoucí vzdáleností od jádra. Taková vlna nemůže představovat zesílení — vlnovod není aktivní médium — a proto lze připustit pouze řešení s negativním exponentem.
Vodivé režimy (neboli módy) tak zůstávají soustředěny především v oblasti jádra. Každý z těchto módů odpovídá specifickému řešení vlnové rovnice, přičemž jejich elektrické pole je charakterizováno prostorovým rozložením, které v rámci jádra prochází nulou tolikrát, kolik odpovídá jejich řád. Například první tři módy se liší tím, kolikrát jejich pole mění polaritu napříč šířkou jádra.
Základní charakteristikou každého módu je efektivní index lomu. Tento index je hodnotou mezi indexem jádra a pláště a vyjadřuje míru, jakou daný mód „vnímá“ prostředí, ve kterém se šíří. Čím vyšší řád módu, tím nižší efektivní index. U základního módu se efektivní index blíží hodnotě indexu jádra, zatímco u nejvyšších možných módů se blíží indexu pláště. Tato závislost má zásadní dopad na fázi šířící se vlny a tedy i na její fázovou rychlost.
Efektivní index lomu je odvozen z podélné složky vlnového vektoru β jako podíl β a volnoprostorového vlnového čísla k. Tento parametr přímo ovlivňuje rychlost šíření světla v módu. Pro daný mód pak platí, že jeho fáze se mění podél směru šíření v závislosti právě na hodnotě β, a tedy i na hodnotě efektivního indexu.
Z vlnové rovnice vyplývá, že šíření světla ve vlnovodu může být popsáno jako řešení druhé derivace elektrického pole vzhledem k příčnému směru, doplněné konstantním členem zahrnujícím rozdíl mezi druhou mocninou celkového vlnového čísla a podélné složky. Výsledkem je buď harmonické řešení, pokud β² je menší než k²n², nebo exponenciální, pokud β² je větší než k²n².
V případě, že světlo je vázáno na jádro, vznikají v něm harmonické funkce, zatímco v oblastech mimo jádro dochází k exponenciálnímu poklesu amplitudy — právě to je fyzikálním vyjádřením evanescentní složky. Podmínky pro existenci módu tedy vyžadují, aby podélná složka vlnového vektoru byla větší než transverzální komponenta vně jádra.
Při návrhu asymetrických deskových vlnovodů, kde platí vztah n₁ > n₂ > n₃, se každý režim vázaného šíření liší svým úhlem dopadu vůči rozhraní, a tím i svou schopností být veden vlnovodem. Tato konfigurace umožňuje vznik různých módů v závislosti na tloušťce jádra, indexových rozdílech a frekvenci světla. Rezonanční podmínky jsou určeny jak geometrickými parametry, tak spektrální odezvou daného uspořádání.
V takovém vlnovodu má elektrické pole v příčném směru (např. podél osy y) rozložení, které vyhovuje mezním podmínkám na rozhraní jednotlivých vrstev. Pole v každé oblasti lze popsat řešením Helmholtzovy rovnice se specifickou formou závislou na místním indexu lomu. Tato řešení se poté spojí pomocí mezních podmínek, které zajišťují kontinuitu pole a jeho derivace.
Pro případ transverzálně elektrické polarizace (TE) je elektrické pole orientováno kolmo ke směru šíření, což umožňuje formální oddělení proměnných v řešení rovnice. To vede k analytickému popisu vlastních módů vlnovodu, které lze chápat jako vlastní funkce příslušného operátoru.
Pochopení těchto principů je klíčové pro návrh a analýzu fotonických struktur, integrované optiky a optických vláken. Každý mód představuje určitý kompromis mezi prostorovým rozšířením, efektivním indexem a energií soustředěnou v jádře. Přechod mezi módy, jejich vzájemné interference nebo selektivní buzení hrají zásadní roli v moderních optických komunikačních systémech a senzorických aplikacích.
Je nezbytné si uvědomit, že režimy s vyšším řádem nejsou pouze formálními řešeními, ale nesou informaci o schopnosti vlnovodu vést světlo v různých prostorových konfiguracích. Jejich počet je konečný a závisí na tzv. normalizovaném parametru vlnovodu, který určuje, kolik módů může být v dané konfiguraci podporováno.
Jak kvantová mechanika popisuje částice v nekonečném potenciálovém welu?
V rámci kvantové mechaniky je třeba si uvědomit, že částice, ať už jde o elektron nebo jinou subatomární částici, vykazují dualitu vlny a částice. Tato dualita znamená, že částice, která má dobře definovanou energii, má také přesně určený hybnost a vlnovou délku. Tato souvislost je základem pro pochopení behaviorálního modelu elektronu a dalších částic. Kvantová mechanika ukazuje, že částice s dobře definovaným hybností se mohou nacházet kdekoliv s rovnoměrnou pravděpodobností, což se shoduje s principem neurčitosti Heisenberga – čím přesněji je znám hybnost, tím méně přesně je určená poloha částice.
Typickým příkladem, jak tento princip funguje, je problém částice v nekonečném potenciálovém welu. Tento model je klasickým problémem kvantové mechaniky, který nám ukazuje, jak specifické okrajové podmínky mohou vést k získání diskrétních hodnot energie částice.
Kvantová rovnice pro tuto situaci je Schrödingerova rovnice pro vlnovou funkci částice v potenciálovém poli. V případě nekonečného potenciálového welu je potenciál definován jako nekonečný mimo určitý interval, a nulový uvnitř tohoto intervalu. Tato okrajová podmínka znamená, že vlnová funkce v tomto poli musí být nulová na hranicích welu.
Důležité je, že v rámci tohoto modelu lze vyřešit Schrödingerovu rovnici pro oblast, kde potenciál je nulový (tedy uvnitř welu), a získat tak vlnovou funkci ve formě:
Tato funkce má zajímavé vlastnosti, včetně toho, že její hodnoty jsou nulové na hranicích welu (kde je potenciál nekonečný). Aby byla vlnová funkce normalizována, musí být splněny další podmínky, což vede k určení specifických hodnot pro koeficient a pro kvantová čísla , která určují konkrétní režimy (módy) vibrace vlny.
Výsledek těchto výpočtů ukazuje, že kvantová energie částice v nekonečném potenciálovém welu je kvantizována a má diskrétní hodnoty, které závisí na hodnotě kvantového čísla . Energetické hladiny nejsou spojité, jak to předpokládá klasická fyzika, ale jsou rozděleny na konkrétní hodnoty, které se mohou počítat jako násobky základní energetické úrovně. Pro elektrony, například v potenciálovém welu, máme:
kde je kladné celé číslo, je hmotnost částice, je šířka potenciálového welu a je redukovaná Planckova konstanta. Zajímavé je, že tyto energie jsou kvantizované a vyjadřují se jako násobky základní energie. To znamená, že elektron nemůže mít libovolnou energii, ale pouze určité hodnoty, které jsou spojeny s jeho kvantovým stavem.
Příklad konkrétního výpočtu pro elektron ukazuje, jak se tyto energetické hladiny počítají v závislosti na parametrech jako je šířka potenciálového welu a hmotnost elektronu. Tento výsledek není pouze teoretickým cvičením; má důležité praktické aplikace v moderní fyzice, zejména v oblasti polovodičových zařízení, kde kvantová mechanika hraje klíčovou roli při určování vlastností materiálů.
Co je třeba zdůraznit, je, že v tomto modelu je částice zachycena v určitém regionu a její energie je diskrétní, což má hluboké důsledky pro pochopení kvantových stavů. Na rozdíl od klasických částic, kde může být energie libovolně měněna, kvantová mechanika omezuje energie částic na konkrétní, oddělené hladiny. To má nejen teoretický význam, ale je základem pro technologické aplikace, kde kvantové vlastnosti materiálů určují jejich chování na atomární úrovni.
Ve skutečnosti je tento model přímým předchůdcem pro složitější systémy, jako je atom vodíku, kde interakce mezi elektronem a protonem vytváří ještě komplexnější kvantové stavy. Tento základní princip kvantizace energie, který jsme si ukázali na příkladu nekonečného potenciálového welu, je tedy základem pro pochopení dalších kvantových jevů a pro vývoj moderních technologií, které tento princip využívají.