Jaké nástroje a přístupy jsou zásadní pro studium obecné relativity a kosmologie?

Obecná relativita a kosmologie představují komplexní disciplíny, které se opírají o hluboké matematické základy a pokročilé fyzikální principy. S touto tematikou se seznamují nejen odborníci, ale i pokročilí studenti, kteří mají za sebou základy pokročilé matematiky, klasické mechaniky, elektrodynamiky a speciální relativity. Učení těchto teorií vyžaduje pochopení mnoha abstraktních pojmů, jejichž kořeny tkví v diferenciální geometrii, která slouží jako hlavní nástroj pro formulaci fyzikálních zákonů v zakřivených prostorech a časech.

Pochopení teorie relativity vyžaduje nejen teoretické, ale i praktické dovednosti v práci s tenzory a geometrií. Začít je nutné s obecným přehledem o diferenciálních manifoldech, kde jsou definovány pouze tenzory. Následně se zavádí kovyariantní derivace a afinní spojení, která umožňují studium geodetik a zakřivení prostoru. Až po těchto základech lze přistoupit k podrobnějšímu popisu metriky tenzoru a (pseudo)-Riemannovy geometrie, přičemž se specializujeme na tento konkrétní typ geometrie.

V kontextu astrofyziky a kosmologie je aplikace těchto teoretických nástrojů nezbytná. Modely, které jsou nehomogenní, představují jedno z nejnáročnějších témat, kde aplikace relativistických principů nachází uplatnění. Také metrika Kerr, popisující rotující černé díry, je součástí sofistikovaných výpočtů a analýz v této oblasti.

Pokud jde o historický kontext vývoje teorie relativity, je třeba zmínit, že představitelé, jako byl Jerzy Plebański, významně přispěli k formování této oblasti nejen svou prací na Einsteinových rovnicích, ale také definováním algebraické klasifikace tenzoru hmoty nebo hledáním nových řešení Einsteinových rovnic, jako je například Plebański–Demiański metrika. Plebański byl také známý svou formulací "nebeských rovnic" a efektivními teoriemi pole, které spojují obecnou relativitu a supergravitaci.

Čtenář by měl mít na paměti, že samotné pochopení teorie relativity je pouze začátkem dlouhé cesty. Zatímco teorie poskytuje matematický rámec pro porozumění fyzikálním procesům v extrémních podmínkách, je třeba vždy pamatovat na její propojení s experimentálními a observačními výsledky, které umožňují ověřit platnost těchto teorií ve skutečném světě. Proto je nezbytné, aby čtenář kromě teoretických znalostí měl také porozumění pro aplikace v moderní astrofyzice a kosmologii, které zahrnují pozorování černých děr, gravitačních vln a dalších relativistických jevů, které se nacházejí na pomezí teoretické fyziky a experimentální astronomie.

Může inhomogenita v distribuci hmoty napodobit zrychlující se expanze vesmíru?

Existují však alternativní přístupy, jak vysvětlit zrychlující se expanze vesmíru bez potřeby temné energie, přičemž jedním z nejzajímavějších je použití Lemaître-Tolmanova (L–T) modelu, který ukazuje, že inhomogenita v distribuci hmoty může napodobit zrychlující se expanze, aniž by bylo nutné zavádět temnou energii. Tento model ukazuje, že zrychlující expanze vesmíru může být vnímána jako důsledek prostorových inhomogenit, kde lokalizované oblasti s nižší hustotou hmoty způsobují, že se pohyb světelných paprsků chová jinak než v homogenním modelu.

V L-T geometrii lze pomocí relativistických výpočtů ukázat, jak může být vzdálenost k pozorovateli a vzdálenost k zdroji světla vnímána odlišně, než by to odpovídalo homogennímu modelu. Tento efekt lze zobrazit graficky, kde se ukáže, jak se světelný kužel mění v závislosti na přítomnosti inhomogenity. Pokud je tento model správně aplikován, vedl by k závěru, že pozorovaná zrychlující se expanze není nutně důsledkem skutečné temné energie, ale spíše výsledkem složité struktury vesmíru, která se liší od předpokládané homogenní distribuce hmoty.

Důležité je si uvědomit, že zrychlující expanze vesmíru, jak ji známe, není objektivním faktem, ale interpretací pozorování v rámci určitého modelu. Ve skutečnosti to, co vyžaduje vysvětlení, nejsou samotná měření vzdáleností k supernovám typu Ia, ale spíše otázka, jakým způsobem interpretujeme tato měření. Je třeba zdůraznit, že termín "temná energie" je pouze jedním možným vysvětlením a nemusí být nevyhnutelný, pokud zohledníme různé modely a jejich vliv na pozorovaná data.

Tento přístup, kdy inhomogenita v distribuci hmoty nahrazuje potřebu temné energie, se tedy stává důležitou alternativou, kterou je třeba brát v úvahu při formulování našich závěrů o evoluci vesmíru. Podobně jako v minulosti, kdy byly zavržené představy o aetheru a kontinuálním vzniku hmoty v modelech ustáleného stavu, i dnes je možné, že naše chápání temné energie může být neúplné a že skutečné mechanismy zrychlující se expanze vesmíru jsou složitější a ne tak jednoduché, jak se původně předpokládalo.

Jaký je newtonovský analog řešení Kerrova typu a proč je hledání jeho zdroje tak složité?

V obecné relativitě se Kerrova metrika považuje za základní řešení rovnic pole v okolí rotující hmoty bez náboje. Její elegantní matematická struktura byla rozpoznána již krátce po jejím odvození, ale otázka, jaký konkrétní hmotný objekt by mohl vytvořit takové pole, zůstává dosud nevyřešená. Tato metrika popisuje časoprostor v okolí rotujícího objektu a v limitě přechodu k Newtonově teorii gravitace by její ekvivalentem měla být potenciální funkce s určitými geometrickými vlastnostmi. Proto je hledání newtonovského analogu nejen cvičením v aproximaci, ale klíčem k pochopení samotného fyzikálního zdroje metriky.

Základní vlastností Kerrova řešení je, že plochy s konstantním radiálním souřadnicovým parametrem jsou konfokální rotační elipsoidy. To vede k domněnce, že v newtonovské aproximaci by mohly mít stejné elipsoidy roli ekvipotenciálních ploch. Jedním z mála známých řešení, které tuto geometrii splňuje, je potenciál homogenního elipsoidu revoluce – tzv. homoeoidu – jak jej popsal již Chasles v roce 1840. Externí potenciál takového tělesa má formu $V_e(r) = -\frac{GM}{a} \arctan \left( \frac{a}{r} \right)$, kde $M$ je celková hmotnost objektu a $a$ parametr elipticity.

Pozoruhodné je, že takovéto rozložení hmoty má několik neintuitivních vlastností. Za prvé, vnější gravitační pole je určeno pouze hmotností a momentem hybnosti tělesa – nikoliv jeho velikostí. Za druhé, vnitřní potenciál v daném bodě závisí jen na hmotnosti uvnitř elipsoidu procházejícího tímto bodem; hmota mimo tento elipsoid nemá žádný vliv. Takové chování připomíná Gaussovu větu, avšak v netriviální geometrii. Třetí vlastností je, že ačkoli model působí specificky, v limitě nulového rotačního parametru reprodukuje veškeré sférické konfigurace díky obecnosti funkce $f(r)$.

Ve světle těchto potíží se hledání skutečného fyzikálního zdroje Kerrova pole ukazuje být mimořádně složité. Přes desítky let výzkumu a pokusů zkonstruovat model s perfektním fluidem nebo dokonce s anizotropními rozloženími stresu, nebyla nalezena žádná uspokojivá konfigurace. Nejvíce nadějným výsledkem zůstává práce Roose (1976), který ukázal, že rovnice pro určitý typ anizotropního ideálního fluidu tvoří integrabilní systém. To však nevedlo k explicitnímu řešení.

Mnoho navrhovaných modelů

Jaké alternativy k obecné relativitě byly navrženy a proč nezískaly široké přijetí?

Ve snaze překročit rámec Einsteinovy obecné teorie relativity (OTR) vznikla řada alternativních teorií gravitace. Motivací bylo jak rozšířit platnost gravitačních zákonů na kvantové či kosmologické škály, tak snaha uspokojit principy, jako je Machův princip, nebo dosáhnout hlubší unifikace fyzikálních interakcí. Některé z těchto teorií zachovávají obecnou relativitu jako limitní případ, jiné ji zcela nahrazují. Zde jsou prezentovány čtyři nejvýznamnější alternativy – každá se snaží řešit jiný aspekt, každá však nakonec naráží na vážné teoretické nebo experimentální obtíže.

Bransova–Dickeova teorie (1961) je nejpropracovanější alternativou OTR, která nahrazuje gravitační konstantu $G$ skalárním polem $\phi$, čímž gravitační „konstanta“ nabývá prostorově-časové závislosti. Změny tohoto pole jsou určovány zakřivením prostoročasu a naopak, čímž vzniká zpětná vazba mezi rozložením hmoty a intenzitou gravitace – částečná realizace Machova principu. OTR se z této teorie získá v limitě $\omega \rightarrow \infty$, kde $\omega$ je bezrozměrný parametr určující sílu vazby mezi polem $\phi$ a zakřivením. Hodnota $\omega$ ovlivňuje postnewtonovské parametry, zejména $\gamma$, jehož odchylky od hodnoty 1 jsou přísně omezeny experimenty. Aktuální data z ohybu světla a zpoždění signálu v gravitačním poli Slunce stanovují dolní meze pro $\omega$ na tisíce a více, což činí rozdíly mezi BD teorií a OTR experimentálně nepostřehnutelnými. Z tohoto důvodu zájem fyziků o tuto teorii prakticky vyhasl.

Einsteinova–Cartanova teorie zavádí antisymetrii do spojkových koeficientů, čímž se objevuje torzní tenzor jako nová geometrická veličina spojená s hustotou spinu hmoty. Ricciho tenzor je pak konstruován z plné nesymetrické spojky a gravitační pole se řídí rovnicemi tvarově totožnými s Einsteinovými rovnicemi, ale s nesymetrickými zdroji. Výhodou této teorie je možnost modelovat vesmír bez počáteční singularity. Torze však nepřetrvává ve vakuu – v nepřítomnosti spinu zmizí a teorie se redukuje na OTR. Tím pádem není možné empiricky odlišit tuto teorii od Einsteinovy, jelikož všechny relevantní experimenty probíhají ve vakuu. Navzdory zajímavým teoretickým rysům nezískala tato teorie širší přijetí.

Společným znakem všech uvedených teorií je, že se snaží nabídnout hlubší nebo obecnější rámec než poskytuje obecná relativita. Jejich hlavní slabinou však zůstává buď nemožnost experimentálního odlišení od OTR, nebo existence libovolných funkcí či prvků, které nelze fyzikálně ospravedlnit. Navzdory matematické eleganci a filozofické ambici nebyla žádná z těchto teorií schopna nabídnout přesvědčivější obraz gravitace, než jaký poskytuje Einsteinova konstrukce. Vývoj v oblasti gravitačních teorií však pokračuje, zejména v kontextu kvantové gravitace a kosmologie, kde se nové modifikace často inspirovaly právě těmito historickými přístupy.

Významné je si uvědomit, že i přes vysokou přesnost experimentálních ověření obecné relativity nelze zcela vyloučit existenci drobných odchylek, které by mohly být detekovány v budoucnu – například na kosmologických škálách, v extrémních gravitačních polích nebo v raném vesmíru. Rovněž platí, že obecná relativita není teorií kvantovou a proto je jako fundamentální popis gravitace neúplná. Alternativní teorie gravitace tak mohou sehrát zásadní roli v budoucí unifikaci fyzikálních teorií, i když se zatím žádná z nich neprosadila jako přesvědčivá náhrada Einsteinovy konstrukce.