Jaký je vliv úhlu dopadu a polarizace světla na odraz a průchod optickými rozhraními?

Komponenta elektrického pole kolmá na rovinu dopadu, označovaná jako $r_{\perp}$ , je vždy záporná při odrazu na rozhraní, kde index lomu dopadajícího prostředí je nižší než prostředí propustné. Tento záporný koeficient odrazu signalizuje, že tato složka elektrického pole při odrazu prodělává fázový posun o $\pi$ radiánů. Naopak komponenta elektrického pole rovnoběžná s rovinou dopadu, $r_{\parallel}$ , zůstává ve fázi s dopadajícím polem, pokud úhel dopadu $\theta_i$ nepřesahuje tzv. polarizační úhel $\theta_p$ . Při překročení tohoto úhlu, tedy $\theta_i > \theta_p$ , a pokud má dopadající médium vyšší index lomu než médium propustné, tato rovnoběžná složka podléhá rovněž fázovému posunu o $\pi$ .

V případě vnitřního odrazu, kdy $n_i > n_t$ , a pro úhly dopadu menší než kritický úhel $\theta_i < \theta_c$ , zůstává koeficient odrazu normální složky pole kladný, což znamená, že normální složka elektrického pole neprochází fázovou změnou. Rovnoběžná složka zůstává ve fázi s dopadajícím polem, dokud je úhel dopadu menší nebo roven polarizačnímu úhlu $\theta_p'$ . Při překročení tohoto úhlu dochází opět k fázovému posunu o $\pi$ .

Při dosažení nebo překročení kritického úhlu $\theta_i \geq \theta_c$ , nastává úplný vnitřní odraz, kdy oba koeficienty odrazu – pro normální i rovnoběžnou polarizaci – nabývají hodnoty jedna. Světlo je tak zcela odraženo zpět do hustšího média a žádná jeho část neproniká do druhého média. Závislost intenzit dopadajícího, odraženého a přeneseného světla je definována odrazivostí (reflectance) a propustností (transmittance), které se vzájemně doplňují v rámci zákona zachování energie, tedy $R + T = 1$ .

Pro praktický výpočet koeficientů odrazu a přenosu se využívají Fresnelovy rovnice. Pro s-polarizované (kolmé) světlo jsou koeficienty definovány vztahem:

r_s = \frac{n_i \cos \theta_i - n_t \cos \theta_t}{n_i \cos \theta_i + n_t \cos \theta_t}, \quad t_s = \frac{2 n_i \cos \theta_i}{n_i \cos \theta_i + n_t \cos \theta_t}

a pro p-polarizované (rovnoběžné) světlo:

r_p = \frac{n_t \cos \theta_i - n_i \cos \theta_t}{n_t \cos \theta_i + n_i \cos \theta_t}, \quad t_p = \frac{2 n_i \cos \theta_i}{n_t \cos \theta_i + n_i \cos \theta_t}.

Polarizační úhel Brewsterův $\theta_B$ je zvláštní úhel dopadu, při kterém koeficient odrazu p-polarizovaného světla dosahuje nuly, což znamená, že odražené světlo je kompletně s-polarizované. Tento úhel lze vyjádřit vztahem:

\tan(\theta_B) = \frac{n_t}{n_i}, \quad \theta_B = \arctan\left(\frac{n_t}{n_i}\right).

Při průchodu optickými komponentami, například skleněnými deskami či čočkami, dochází k fázové transformaci světelné vlny v závislosti na geometrii a indexu lomu daného prvku. Přenosová funkce $t(x, y)$ popisuje změnu vlnové funkce, kdy poměr výstupní a vstupní vlnové funkce určuje, jak komponenta ovlivní amplitudu a fázi procházející vlny.

Pro rovinnou skleněnou desku o tloušťce $d$ a indexu lomu $n$ je přenosová funkce planární vlny na kolmý dopad:

t(x,y) = e^{ -j k_0 n d},

kde $k_0$ je vlnové číslo ve vakuu. Tento vztah ukazuje, že deska způsobuje fázový posun úměrný tloušťce a indexu lomu. Při šikmém dopadu je tento posun modifikován kosinem úhlu dopadu.

V případě desky s proměnnou tloušťkou $d(x,y)$ , případně s proměnným indexem lomu $n(x,y)$ , je fázový posun lokálně modifikován, což je důležité zejména při práci s gradientními čočkami nebo jinými optickými prvky, které mají prostorově závislé optické vlastnosti.

U tenkých čoček, jejichž tloušťka v ose je mnohem menší než průměr a jedna z ploch je konvexní, lze tloušťku vyjádřit pomocí geometrii plochy, což umožňuje přesně vypočítat fázový posun a odvodit ohniskovou vzdálenost čočky podle vztahu:

f = \frac{R}{n - 1},

kde $R$ je poloměr zakřivení konvexní plochy a $n$ index lomu čočky. Přenosová funkce tenké čočky tedy obsahuje kvadratický fázový člen, který představuje charakteristickou modulaci vlny, jež za čočkou vzniká.

Je nezbytné si uvědomit, že změny fáze vyvolané optickými rozhraními a komponentami mají zásadní význam nejen pro odraz a průchod světla, ale i pro vytváření interferenčních a difrakčních jevů. Fázové posuny určují vlastnosti polarizace, intenzitu a rozložení světla za optickými prvky, což je klíčové pro návrh a analýzu optických systémů včetně čoček, filtrů, polarizátorů a dalších zařízení. Dále je důležité vnímat, že skutečné materiály a rozhraní často vykazují absorpční a disperzní charakteristiky, které mohou ovlivnit jak amplitudu, tak fázi vlny, a tím pádem celkovou efektivitu a vlastnosti optického systému.

Kolik řízených módů může vést symetrický planární vlnovod a co to znamená?

Symetrický planární vlnovod je struktura, ve které jádro s vyšším indexem lomu $n_1$ leží mezi dvěma stejnými obaly s nižším indexem $n_2$ . Díky této symetrii se pole řízených módů rozkládá souměrně okolo osy jádra. V takovém systému lze řešit Helmholtzovu rovnici pro elektrickou složku pole $E_x(y)$ oddělením proměnných, což vede k diskrétnímu souboru módů – to znamená, že pouze určitý počet řešení odpovídá řízeným módům, zatímco ostatní představují tzv. radiační módy, které se ve vlnovodu nešíří.

Řízené módy v symetrickém vlnovodu se dělí na sudé a liché podle rozložení pole v jádře. Sudé módy mají pole popsané kosinovou funkcí a jsou souměrné vůči ose, zatímco liché módy jsou popsány funkcí sinus a vykazují antisymetrii. Hraniční podmínky pro kontinuitu derivace pole na rozhraní mezi jádrem a obalem vedou na dvě charakteristické rovnice:

\tan\left(\frac{\kappa d}{2}\right) = \frac{\alpha}{\kappa} \quad \text{(pro sudé módy)}

\tan\left(\frac{\kappa d}{2}\right) = -\frac{\kappa}{\alpha} \quad \text{(pro liché módy)}

Zde $\kappa$ je příčná vlnová složka v jádře a $\alpha$ je útlumová konstanta v obalu. Obě veličiny závisí na efektivním indexu lomu $n_{\text{eff}}$ a vlnové délce.

Počet možných módů závisí na tloušťce jádra $d$ , rozdílu indexů $n_1 - n_2$ a vlnové délce $\lambda$ . Tento vztah se jednodušeji vyjadřuje pomocí tzv. normalizované frekvence $V$ :

V = \frac{2\pi d}{\lambda} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}

Hodnota $V$ rozhoduje, kolik módů vlnovod podporuje – pokud $V < \pi$ , vede pouze jeden mód (tzv. jednovidový vlnovod). S rostoucím $V$ narůstá i počet podporovaných módů. Například při $d = 2 \ \mu m$ , $n_1 = 1.5$ , $n_2 = 1.45$ a $\lambda = 1550 \ nm$ , vlnovod vede pouze jeden sudý mód. Při zvětšení jádra na $d = 10 \ \mu m$ mohou být vedeny tři sudé a dva liché módy.

Tento diskrétní charakter módů je důsledkem podmínky příčné rezonance, která vyplývá z nutnosti, aby fáze příčného pole odpovídala stojaté vlně – podobně jako v rezonátoru. Každý mód má specifické rozložení elektrického pole v jádře i obalech, a tedy také jiný efektivní index lomu $n_{\text{eff}}$ , který se vždy nachází mezi $n_1$ a $n_2$ .

S rostoucím pořadím módu se pole postupně méně koncentruje v jádře a více zasahuje do obalových vrstev. Tato vlastnost je kvantifikována tzv. normalizovaným indexem vedení $b$ :

b = \frac{n_{\text{eff}}^2 - n_2^2}{n_1^2 - n_2^2}

Hodnota $b$ se pohybuje od 0 (velmi slabé vedení, mód těsně pod hranicí vedení) po 1 (silně vedený mód).

Z praktického hlediska má význam také numerická apertura vlnovodu:

NA = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} \

Jak vzniká zisk a útlum optického signálu v polovodiči?

V polovodičových materiálech dochází ke komplexnímu procesu interakce mezi světelným zářením a elektronovými stavy. Základními mechanismy této interakce jsou absorpce, stimulovaná emise a spontánní emise. Každý z těchto jevů ovlivňuje výslednou intenzitu optického svazku procházejícího polovodičovým prostředím, a tím i funkčnost optoelektronických zařízení, jako jsou lasery a optické zesilovače.

Při absorpci fotonů elektrony z valenčního pásu přecházejí do vodivostního pásu, pokud energie fotonů překračuje hodnotu šířky zakázaného pásu. Tento proces snižuje intenzitu optického svazku. Naopak stimulovaná emise nastává tehdy, když foton indukuje návrat elektronu z vodivostního pásu zpět do valenčního pásu, čímž vzniká další foton stejné energie, fáze a směru. Tento jev je klíčem ke vzniku zesílení světla.

Průchod světelného svazku skrze polovodič lze kvantitativně analyzovat zavedením parametrů jako je míra absorpce, míra stimulované emise a intenzita záření podél směru šíření. Pokud označíme vstupní intenzitu svazku jako $I_\nu(0)$ a intenzitu ve vzdálenosti $z$ jako $I_\nu(z)$ , pak lze změnu intenzity v infinitesimálním prvku $dz$ materiálu vyjádřit diferenciální rovnicí:

\frac{dI_\nu}{dz} = \gamma(\nu) I_\nu,

kde $\gamma(\nu)$ je koeficient zisku (gain coefficient), který rozhoduje o tom, zda bude světlo zesíleno nebo zeslabeno. Tento koeficient závisí na spektrální hustotě optických stavů, materiálových konstantách, energii fotonu $h\nu$ a tzv. Fermiho inverzním faktoru $f_g(\nu) = f_e(\nu) - f_a(\nu)$ , kde $f_e$ a $f_a$ jsou pravděpodobnosti obsazení energetických stavů v jednotlivých pásmech.

Pozitivní hodnota $\gamma(\nu)$ (tedy $f_g(\nu) > 0$ ) znamená, že materiál funguje jako zesilující prostředí – tzv. gain medium. Naopak záporná hodnota představuje útlum, což odpovídá absorpčnímu chování. Pro zesílení musí být splněna podmínka kvazirovnováhy, tedy rozdíl chemických potenciálů (Fermiho hladin) mezi vodivostním a valenčním pásmem musí být větší než energetický rozdíl mezi fotonem a zakázaným pásem:

E_g < h\nu < (E_{fc} - E_{fv}).

Tento interval určuje šířku pásma zesílení. Pro materiály jako GaAs s energetickou šířkou zakázaného pásu 1,42 eV a rozdílem Fermiho hladin 0,2 eV činí šířka zesilovacího pásma přibližně 50 THz.

Koeficient zisku lze přepsat do formy:

\gamma(\nu) = K \cdot \frac{(h\nu - E_g)^{1/2}}{(h\nu)^2} \cdot f_g(\nu),

kde $K$ je materiálově závislá konstanta určovaná mimo jiné efektivní hmotností nosičů a dobou života excitovaného stavu $\tau_r$ . Tento výraz ukazuje, že zesílení je závislé nejen na vlastnostech samotného polovodiče, ale i na teplotě, neboť ta ovlivňuje rozložení Fermiho funkcí.

V případě absolutní nuly (0 K), kdy v rovnovážném stavu je valenční pás plně obsazen a vodivostní pás prázdný, je inverzní faktor záporný a výsledný koeficient zisku má rovněž zápornou hodnotu. To odpovídá čisté absorpci. Výraz pro absorpční koeficient pak získává tvar:

\alpha(\nu) = K \cdot \frac{(h\nu - E_g)^{1/2}}{(h\nu)^2},

kde negativní hodnota Fermiho inverzního faktoru byla již zahrnuta. Tento vztah definuje, jak silně daný materiál absorbuje světlo různé frekvence, přičemž absorpce prudce stoupá těsně nad hranicí zakázaného pásu.

Při průchodu světla polovodičovým materiálem se tedy intenzita optického svazku mění exponenciálně v závislosti na součiniteli zisku:

I_\nu(z) = I_\nu(0) \cdot e^{\gamma(\nu)z},

přičemž délka interakce $z$ a hodnota $\gamma(\nu)$ určují míru zesílení nebo útlumu. Výstupní intenzita $I_\nu(L)$ po průchodu polovodičem délky $L$ tak může být výrazně vyšší nebo nižší než vstupní, v závislosti na materiálových a spektrálních podmínkách.

Je důležité si uvě

Jak správně zacházet s citlivými informacemi v právní praxi?
Co se skrývá za červeným deštěm? Příběh z mexické divočiny
Jak efektivně používat nástroje pro úpravy obrázků v Adobe Photoshopu
Jaké faktory ovlivňují rozvoj fotografických klubů a jejich členství?
Jak byla odhalena metoda vraždy, která zůstala neodhalena díky své originalitě