Jak se vyvíjí hustota a prostorová struktura v modelech Lemaître-Tolman?

V modelech Friedmanna je vztah mezi areálním poloměrem R a hustotou hmoty $\epsilon/c^2$ přímý: čím větší je R, tím menší je $\epsilon$. V modelech Lemaître-Tolman (L-T) však tento vztah neexistuje, protože zde může docházet k existenci lokálních kondenzací hmoty. Tento jev se v tomto článku podrobněji zkoumá a bude prokázán v následujícím textu.

Pro model L-T platí následující rovnice:

kde $R_0$ je (možná časově závislá) konstanta integrace a $M_0$ je jiná konstanta. Tato rovnice ukazuje, že hodnota $R$ pro libovolnou hodnotu $M$ závisí na hodnotách hustoty $\epsilon$ v celém intervalu $[M_0, M]$. Inversní vztah k této rovnici je pak ne-lokální – k nalezení hodnoty $\epsilon(t, M)$ je nutné znát hodnotu $R$ v otevřeném okolí $M$.

Tento vztah nám dává základní fyzikální pochopení o vývoji objemových změn mezi různými hodnotami $M$ v různých časových okamžicích $t_1$ a $t_2$.

Pokud platí, že $\epsilon_2(M) < \epsilon_1(M)$ pro všechna $M \in [M_0, M_1]$, musí být splněna podmínka:

Tato podmínka se vztahuje na stabilitu prostorových struktur v daných modelech a vyžaduje, aby bylo zajištěno, že mezi různými hladinami hustoty neexistují destabilizující vlivy. Pokud by tomu tak nebylo, vznikla by shell crossing (prolínání vrstev hmoty), což je v některých typech geometrie nevyhnutelné, pokud není udržována stabilní konfigurace.

Dále se zabýváme vývojem hustotních perturbací ve vesmíru. Dříve byly struktury ve vesmíru popisovány přibližnými perturbacemi v rámci Robertson-Walker modelů. V těchto modelech byly identifikovány dvě třídy perturbací: ty, které se v čase zvyšují, a ty, které se v čase zmenšují. Tato klasifikace je také aplikovatelná na modely L-T, přičemž první výsledky v tomto smyslu poskytl Silk (1977), jehož přístupy a výsledky jsou zde přepočítány jiným způsobem.

Pokud jsou perturbace vyvolány negativními hodnotami $E$, vznikají nekonečné hodnoty v křivkách, které jsou součástí popisovaných vztahů. V takovém případě se v prostoru hmoty vytvoří singularity na obou okrajích časového intervalu – při počátku a na konci vesmírné evoluce.

Jaké jsou vlastnosti a fyzikální implikace rovinně symetrických řešení s prachem v obecné relativitě?

Metryka popsaná rovnicí ds² = dt² − (R,r)²/(1 + 2E(r)) dr² − R²(t,r)(dϑ² + f²(ϑ)dφ²) definuje prostor-čas s funkcemi E(r), M(r) a R(t,r), které jsou vzájemně propojeny rovnicí analogickou Friedmannovým rovnicím. Funkce E(r) určuje energetický stav systému, zatímco M(r) představuje „aktivní gravitační hmotu“ uvnitř soustředných ploch charakterizovaných souřadnicí r. Parametr ε určuje typ symetrie a má zásadní vliv na povahu řešení a na limity, za kterých se model přibližuje Friedmannovu kosmologickému modelu.

Zvláštní pozornost si zasluhuje případ ε = 0, kdy symetrie modelu je rovinná a souřadnice ϑ a φ lze nahradit kartézskými souřadnicemi x a y. Metryka v této podobě ukazuje, že prostor-čas se skládá z nekonečných rovin, což však vyvolává otázky o lokalizaci hmoty. Na rozdíl od sféricky symetrických modelů, kde jsou povrchy konstantních časových a radiálních souřadnic uzavřené sféry obklopující konečný objem, rovinně symetrický prostor tvoří plochy bez objemu, což komplikuje interpretaci funkce M(r) jako hmoty obsažené v oblasti.

Expanze modelu je řízena dynamikou funkce R(t,r), která splňuje nerovnici R,tt = −M/R². To znamená, že prachové částice se vzájemně vzdáleně pohybují s akcelerací, která je přítomna ve všech prostorových směrech, nikoli jen v jednom směru, jak by se dalo očekávat z Newtonovského ekvivalentu s konstantní hustotou na rovinách. Tento jev vyvolává nesoulad mezi relativistickým modelem a jeho Newtonovskou analogií, kde expanze nastává primárně podél jedné osy bez akcelerace v ostatních směrech.

Řešení této nesrovnalosti přináší předpoklad toroidální topologie (x, y)-povrchů, které nahrazují nekonečné roviny plochami s konečným obvodem 2πR. Toroidální topologie nejenže umožňuje vysvětlit přítomnost hmoty v modelu, ale také konzistentně odůvodňuje vzor prostorové expanze. Jak se R zvětšuje v čase, roste i obvod toru, což vede k transverzální expanzi napříč všemi směry toroidální plochy. Tento topologický přístup rovněž eliminuje problémy s lokalizací hmoty, protože integrály přes konečné intervaly souřadnic x a y dávají konečný celkový obsah hmoty.

Dalším důležitým aspektem je relativistický hmotnostní deficit či přebytek vyjádřený vztahem mezi aktivní gravitační hmotou M a součtem klidových hmot N. Faktor 1/√(2E) v tomto modelu slouží jako měřítko tohoto deficitu, přičemž podmínka M ≥ 0 naznačuje obecnou deceleraci expanze.

V rozšířeních tohoto modelu o elektromagnetické pole, kde prach nese elektrický i hypotetický magnetický náboj, symetrie modelu umožňuje mít pouze dvě nenulové složky elektromagnetického pole – elektrické F_{tr} a magnetické F_{ϑφ}. Elektromagnetické pole se pak řídí modifikovanými Einstein-Maxwellovými rovnicemi, které zahrnují zdroje elektrického i magnetického náboje. Tyto obecné řešení rozšiřují možnosti popisu kosmologických modelů s nabitým prachem a nabízí vhled do chování gravitačně a elektromagneticky nabitých prachových struktur.

Pochopení těchto rovinně symetrických řešení klade důraz na význam topologie a relativistických efektů, které zásadně mění Newtonovskou intuici o tom, jak hmota a expanze spolu souvisejí v homogenních a izotropních modelech vesmíru. Uplatnění toroidální topologie je klíčové pro vyřešení paradoxů spojených s neomezenými plochami a umožňuje jednoznačnou definici hmoty a dynamiky. Navíc, model upozorňuje na nutnost pečlivého rozlišování mezi metrickými vlastnostmi a fyzikální interpretací, zejména při přechodu z Newtonovské na relativistickou mechaniku.

Jak vznikla metrika Kerr–Schild?

Vektorové pole lμ musí být nulové vzhledem k metrice gμν, což znamená, že je také nulové vzhledem k metrice ημν. To implikuje, že nezáleží na tom, která metrika je použita pro zvedání a spouštění indexů l. Tímto způsobem se získává inverzní metrika ve formě gμν = ημν + lμlν. Tento vztah je základní pro pochopení toho, jak se tyto metriky používají při modelování kosmických objektů.

Tento základní princip je důležitý, protože nám umožňuje lépe porozumět tomu, jak se tyto metriky aplikují na různé geodetické problémy, a to včetně výpočtu Riemannovy křivosti, která je klíčová pro vyřešení Einsteinových rovnic ve vakuu. Z těchto rovnic pak vyplývá, že vektor lα je zároveň geodetický a její parametrizace není afinní, pokud σ není nulové.

Důležité je také chápat, že metriky Kerr–Schild nejsou jen teoretické konstrukce, ale mají přímý vliv na naše porozumění gravitačním vlnám a dalších kosmických jevů. V rámci těchto metrik se totiž projevují určité vlastnosti, jako je šíření vln v zakřiveném časoprostoru, které je zásadní pro zkoumání objektů jako černé díry. Význam tohoto typu metriky spočívá ve schopnosti popsat struktury a dynamiku, které nejsou běžně dosažitelné v tradičních Riemannovských geometriích.

Při hlubší analýze těchto metrik je také užitečné porovnat je s jinými geodetickými problémy a tím podpořit komplexní modely, které mohou zohlednit i různé formy zakřivení prostoru.

Existují v zakřiveném prostoročasu pozorovatelé, kteří nepozorují rotaci?

V asymptoticky plochých stacionárně–axiálně symetrických prostoročasech lze jednoznačně definovat časovou souřadnici tak, aby její význam odpovídal přirozené představě plynutí času. Tato jednoznačnost je klíčová, protože umožňuje identifikaci speciální třídy pozorovatelů, kteří v daném prostoročase „nerotují“ – a to navzdory skutečnosti, že prostoročas sám rotací oplývá. Tito pozorovatelé, označovaní jako lokálně nerotující pozorovatelé, mají světové linie ortogonální k hyperplochám konstantního času. Jejich existence je umožněna specifickou strukturou metriky, například v případě Kerrova prostoročasu.

V metrice tvaru
ds² = e²ν dt² − e²ψ (dφ − ω dt)² − e²λ dr² − e²μ dϑ²
představuje veličina ω geometricky definovanou úhlovou rychlost, jež zachycuje efekt „zkrutu“ časoprostoru. Pokud se pozorovatel pohybuje tak, že jeho úhlová rychlost Ω je rovna ω, pak je pro něj rozdíl v době oběhu světelného signálu ve směru a proti směru rotace nulový – což je právě definující vlastnost lokálně nerotujícího pozorovatele.

Tyto pozorovatele lze konstruovat tak, že si představíme kruhovou dráhu, podél níž jsou rozmístěna zrcadla, která umožňují oběh světelného signálu v obou směrech. Vlastní doba oběhu signálu, měřená pozorovatelem, se pak liší v závislosti na směru oběhu, ledaže by platilo Ω = ω. V tom případě je světlo v obou směrech pozorováno jako symetrické – pozorovatel tedy nevnímá žádný rotační efekt. Protože ω je odvozena výhradně z geometrie metriky, je pro daný prostoročas jednoznačná, a tedy i množina těchto pozorovatelů.

Tento formální přístup má konkrétní význam v Kerrově metrice, která popisuje geometrii okolí rotující černé díry. Kerrův prostoročas je stacionární, axiálně symetrický a asymptoticky plochý, přičemž perioda souřadnice φ je 2π. V tomto prostředí tvoří lokálně nerotující pozorovatelé fundamentální referenční rámec, neboť právě jejich světové linie nejsou ovlivněny „rámovým tahem“, jenž jinak působí na veškerou hmotu i záření v okolí rotující masy.

Současně s tímto konceptem lze v Kerrově prostoročase definovat i jinou třídu pozorovatelů – ty, jejichž prostorové podprostory ortogonální k časové složce metr

Jaký je vliv relativistických efektů na přesnost určování polohy v systému GPS?

Relativistické efekty ovlivňují především rychlost plynutí času v komponentách systému GPS. Tyto korekce jsou nepostradatelné pro správnou funkci systému, jinak by během 24 hodin došlo k chybě v určení polohy až o několik kilometrů. Jedním z příkladů je vliv gravitačního pole Země, který může způsobit chybu až 18 kilometrů. Na přesnost měření mají vliv i další faktory, jako je oblý tvar Země (chyba 9,7 metru), výška hodinek na palubě satelitu (například 28 metrů při výšce 10 km) a rotace Země, která způsobuje chybu až 31 metrů. Rychlost pohybu hodinek na orbitě (například 600 km/h) je dalším faktorem, který může vyústit v chybu kolem 10 metrů. Taktéž synchronizace hodin na rotující Zemi, známý Sagnacův efekt, může způsobit chybu až 62 metrů.

Na satelitech samotných jsou rovněž významné relativistické efekty. Gravitace Země může způsobit chybu až 4,3 kilometru, zatímco orbitální rychlost satelitu může vést k chybě 2,2 kilometru. Efekty rotace Země mohou ovlivnit šíření elektromagnetických vln až o 41 metrů.

Pokud bychom ignorovali relativistické korekce, chyba by se za den mohla pohybovat v řádu několika kilometrů, což by vedlo k naprosté nefunkčnosti celého systému GPS. Tento fakt ukazuje na nezbytnost zohlednění relativistických efektů v technologiích, které používáme k určení naší polohy, což je klíčové pro správné fungování každodenní orientace v moderním světě.

V případě, že byste se rozhodli zkoumat vliv relativistických efektů podrobněji, lze se podívat na vědecké práce, které se tímto tématem zabývají, a na modely, které tyto jevy popisují. Zdroje, jako je Ashby (1996) nebo práce zaměřující se na Sagnacův efekt, mohou poskytnout hlubší porozumění těmto relativistickým jevům a jejich praktickým důsledkům pro technologie, které používáme.