Jaké vlastnosti má singularita v geometrii Lemaître-Tolman?

V geometrických modelech, jako je model Lemaître-Tolman, se singularita obvykle zobrazuje jako bod v prostoru-čase. Avšak při bližším zkoumání této singularity, jak se přibližujeme k neschopnosti souřadnicového systému popsat chování prostoru ve velmi malé vzdálenosti, se ukazuje, že skutečná struktura singularity může být složitější, než se původně zdálo. Tento text se zaměřuje na konkrétní aspekt této geometrie, a to na problém shell focussing, který naznačuje, že singularita v některých případech může mít netypické vlastnosti, například segmenty časových nebo null křivek.

V modelu Lemaître-Tolman se obvykle předpokládá, že geometrie může být popsána funkcí, která závisí na radikální vzdálenosti od středu symetrie. Tato závislost je reprezentována funkcí M(r), která vyjadřuje hmotnost v závislosti na rádiusu. Tato hmotnost M(r) vede k tomu, že prostor-čas je zakřivený a vykazuje určité singularity, které jsou pro studium gravitace klíčové. Jednou z těchto singularit je bod R=0, který v některých případech může být popisován jako prostorová, časová nebo null singularita.

Významným objevem, který přinesli Eardley a Smarr v roce 1979, je takzvané „shell focussing“. Tento jev nastává, když se radiální vrstvy v gravitačně zkrouceném prostoru sbíhají k singularitě. Tato geometrie je pro studium velmi specifická, protože shell focussing nevede k přímé singularitě v podobě bodu, ale spíše k nějaké křivce nebo segmentu, který může být časově orientovaný nebo null. Podle Hellabyho výzkumů, které byly součástí jeho PhD práce, může tento segment mít také časový charakter, což naznačuje, že v některých případech může existovat časová složka singularity, která nebyla dosud dostatečně prozkoumána.

Pokud singularita zahrnuje segment časové nebo null křivky, je její struktura složitější, než se zdá při prvním pohledu. Při aproximaci tohoto bodu pomocí geodetických křivek, které směřují do singularity, se ukazuje, že směr odchodu světelných paprsků se může měnit v závislosti na trajektorii, po které směřujeme k bodu singularity. To znamená, že světelné paprsky, které vycházejí z centra symetrie, mohou být ve svém počátečním stádiu tangentní k singulární křivce a mohou se pohybovat do vzdálenosti, aniž by překročily horizont událostí, což ukazuje na možnou strukturu skrytých oblastí v geometrii.

Další klíčovou součástí této geometrie je tzv. zjevný horizont. Tento horizont je dynamický a vyznačuje se tím, že je počátečně spojen s Big Crunch singularitou, která reprezentuje kolaps celého systému do singularity. Zjevný horizont se chová jako „tangentní křivka“, která se s časem mění, a to zejména v závislosti na hodnotě r. Ve chvíli, kdy se dostaneme na určitou hodnotu r, začíná být zjevný horizont klesající funkcí r, což má za následek, že světelné paprsky mohou, na rozdíl od očekávání, opustit zjevný horizont a pokračovat do širšího prostoru, aniž by byly pohlceny singularitou.

Důležitým aspektem, který je nutno v této geometrii zvážit, je skutečnost, že světelné paprsky, které opustí bod P0 (t, r) = (0, 0), se chovají různě v závislosti na trajektorii, po které se vydávají. Tento bod P0, který na první pohled vypadá jako jediný bod v prostoru-čase, se ukazuje jako komplexní struktura, která zahrnuje nekonečnou rodinu světelných paprsků. Každý paprsek, který byl vyslán z tohoto bodu, zůstává ve vztahu k počáteční singularitě a neinteraguje s jinými částmi prostoru-času.

Tento model tedy poskytuje fascinující pohled na strukturu singularit v geometrii Lemaître-Tolman a nabízí klíčové nástroje pro pochopení chování gravitace v extrémních podmínkách.

Jaký vliv má elektrické náboj na kolaps prachových částic v elektromagnetickém poli?

Prozkoumejme chování prachových částic v elektromagnetickém poli, zaměřující se na podmínky, za nichž může dojít k ne-singulárnímu odrazu, a jak elektrické náboje ovlivňují gravitaci a dynamiku kolapsu.

Pokud začneme s prachovými částicemi, které nejsou nabité, jejich kolaps do singularity je často nevyhnutelný, jak tomu bývá v případě Newtonovské gravitace. Nicméně, když se do tohoto obrazu přidají náboje, mohou se objevit složité relativistické efekty, které tento kolaps zpomalí nebo úplně zastaví. Zajímavým jevem je takzvaný "ne-singulární odraz", který může nastat při určitých podmínkách. Abychom tento jev pochopili, je třeba vzít v úvahu vliv náboje na efektivní hmotnost systému.

Podle teoretických výpočtů, pokud náboj prachových částic je dostatečně malý (ale nezanedbatelný), začne tento náboj oslabovat gravitační přitažlivost, což může vést k odrazu. To je především relativistický efekt, který se neprojevuje v rámci klasické Newtonovské gravitace. Pro větší náboje, které jsou nad určitým prahem, náboj naopak zvyšuje efektivní hmotnost a gravitace začíná dominovat, což kolapsu nebrání. Tato závislost náboje na gravitaci je velmi jemně vyvážena, a jakmile náboj dosáhne určité hodnoty, jeho vliv může být dostatečný k tomu, aby došlo k odrazu.

Pokud je náboj dostatečně malý, lze dosáhnout situace, kdy kolaps je přerušen a prachové částice se odrazí zpět. Tento fenomén má v sobě ukryté podobnosti s pohybem částic v prostoročasu Reissner-Nordström, jak bylo podrobně popsáno v předchozích kapitolách. Je však třeba podotknout, že pokud náboj prachových částic překročí určitou hranici (pokud hodnota náboje na jednotku hmotnosti překročí G/c⁴), náboj začne působit proti kolapsu, a situace se stává odlišnou, než jak by se projevovala v klasické gravitační teorii.

Zvláštním případem je situace, kdy prachové částice mají náboj, ale zároveň se nacházejí v externím elektrickém poli. I v tomto případě, pokud je náboj částic dostatečně malý, singularita je stále vyhnuta. Tento jev byl poprvé zaznamenán Shikinem v roce 1972, který ukázal, že pro neutrální prach v externím elektrickém poli nikdy nenastane BB/BC singularita.

Významným zjištěním je i to, že pro kolaps částic, které se nacházejí v elektromagnetickém poli, je možné nalézt statické, ale nestabilní řešení, kdy se elektrostatická odpudivá síla přesně vyrovnává s gravitační přitažlivostí. V tomto stavu bude konfigurace stabilní pouze tehdy, pokud není narušena malou perturbací, která může vést k dalšímu kolapsu, nebo naopak k expanzi.

Dalším důležitým aspektem, který musíme vzít v úvahu, je, že pro prachové částice v elektromagnetickém poli mohou nastat určité body, kdy dojde k změně dynamiky kvůli interakcím mezi nábojem a gravitačním polem. K tomu, abychom správně pochopili, jak se tyto části prostoru vyvíjejí, je nezbytné použít speciální souřadnice, které se odvozuji od zakřivení prostoru, aby bylo možné přesně popsat časovou evoluci těchto systémů.

Jak se pohybují nulové geodetiky v rovině ekvátorialní?

V rámci teorie černých děr a obecné teorie relativity se chování geodetik, tedy trajektorií pohybujících se částic nebo světelných paprsků v zakřiveném časoprostoru, stalo klíčovým tématem pro pochopení dynamiky objektů v silném gravitačním poli, například v okolí rotujících černých děr, popsaných Kerrovým metrikem. Geodetiky v rovině ekvátorialní, tedy v rovině rovníku rotující černé díry, vykazují složitou strukturu, která závisí na parametrech jako je rotační parametry černé díry (označované jako "a") a moment hybnosti.

Pro studium geodetik v rovině ekvátorialní jsou užitečné rovnice, které se dají odvodit z metriky Kerrova prostoru. Zjednodušeně, pohyb nulových geodetik (tedy trajektorií, které sledují světelné paprsky) je popsán rovnicemi, které zahrnují několik klíčových parametrů. Tyto parametry se vyjadřují například pomocí veličin jako je poloměr r, moment hybnosti Lz a parametr rotace a. Na základě těchto rovnic lze určit oblasti, ve kterých je pohyb světelných paprsků povolen, a kde jsou geodetiky zakázány, což závisí na hodnotách funkce ψ(ρ), která určuje, kde jsou kořeny rovnic pohybu.

Pohyb světelných paprsků, tedy nulových geodetik, v prostoru s Kerrovou metrikou vykazuje mnoho různých scénářů v závislosti na konkrétních hodnotách parametrů. Pokud například hodnota momentu hybnosti λ překročí určitou mez, může se v určité oblasti ρ (poloměr) vyskytovat pozitivní kořen funkce ψ(ρ), což umožňuje návrat paprsku zpět k černé díře po absolvování několika oběhů. Naopak, pokud je hodnota λ menší, pak paprsky, které vycházejí z pozitivní oblasti ρ, mohou skončit na singularitě v r = 0.

Jeden z fascinujících aspektů tohoto chování je, že v některých případech je možné, že paprsky se zcela vrátí k bodu, odkud vyšli, a to i po několika krouženích kolem černé díry. To je možné v případě, kdy hodnota momentu hybnosti λ přesahuje určitou hodnotu, což vede k tomu, že ψ(ρ) vykazuje dva pozitivní kořeny, což umožňuje vznik trajektorií, které se pohybují po spirálách k černé díře, než se nakonec opět vrátí k nekonečnu.

Tento jev má zásadní význam pro pochopení dynamiky světelných paprsků v blízkosti rotující černé díry. Grafy ukazující oblasti, kde je pohyb povolen nebo zakázán, odhalují vzorce chování, které závisí na hodnotě parametrů jako je rotace černé díry a moment hybnosti paprsku. V těchto grafech se ukazuje, jak se mohou různě měnit oblasti povoleného pohybu v závislosti na parametrech, což ilustruje komplexitu pohybu v takto silně zakřiveném časoprostoru.

Pokud se zaměříme na konkrétní parametry, zjistíme, že v určitých oblastech pro různé hodnoty parametrů α (rotace černé díry) a λ (moment hybnosti světelného paprsku) je možné nalézt oblasti, kde pohyb paprsků je omezen, tedy kde jsou geodetiky zakázány. To je důsledkem toho, že hodnota ψ(ρ) je záporná, což znamená, že paprsek nemůže opustit tuto oblast, protože by narazil na singularitu. V jiných oblastech, kde je ψ(ρ) kladné, mohou paprsky pokračovat v pohybu k černé díře nebo se vrátit zpět do nekonečna.

Kromě toho existují i tzv. "prohibitivní oblasti", které jsou definovány na základě analýzy funkce ψ(ρ). Tyto oblasti určují místa, kde je zakázán pohyb částic nebo paprsků, a jsou důležité pro pochopení stabilních a nestabilních oběžných drah kolem černé díry.

Významným výsledkem této analýzy je, že struktura geodetik v okolí černé díry je silně závislá na hodnotě rotačního parametru a momentu hybnosti. Čím vyšší je hodnota rotačního parametru černé díry, tím více se mění struktura oblastí povoleného a zakázaného pohybu. Pokud se rotační parametr zvyšuje, dochází k tomu, že se některé oblasti stávají více "povolené", zatímco jiné se mohou výrazně zúžit.

Pochopení těchto jevů je klíčové pro hlubší porozumění dynamice černých děr a jejich vlivu na okolní prostor. Pokračující studium těchto geodetik může přispět k objasnění mnoha záhad spojených s černými dírami a jejich chováním v extrémních podmínkách.

Jak se řeší specifické rovnice v teoretické fyzice? Příklad z obecné relativity a metriky perfektního fluida

Rovnice (20.44) a její odvozené formy, jako například vyjádření pro ν,xx a ν,zxx, ukazují složité vztahy mezi různými veličinami. Když se například použije vztah ν,xx = − k + 1/h² e²ν − ν,yy (24.51), zjistí se, že pro některé derivace, jako například podle z, můžeme dojít k výrazu, který obsahuje kombinaci členů, jako jsou Φ, k, ν,z, Φ,z, a další. Tento výrazy, jako například Φβ,−1 z G00 nebo Φk,−1 z + kΦβ,z, ukazují na komplexní dynamiku v časoprostoru, která se projevuje při analýze těchto rovnic.

Důležitým krokem v těchto výpočtech je eliminace některých členů, například Φ,2t, který může být eliminován pomocí rovnice (20.48), a následně použití vztahu pro β,z jako Φ,z /Φ + ν,z. Tento proces nevede pouze k zjednodušení, ale i k lepšímu pochopení toho, jak jednotlivé fyzikální veličiny vzájemně souvisejí a jak mohou ovlivnit výsledky.

V dalším kroku, při analýze rovnice (20.179), zjistíme, že η (určující parametr pro pozici na AAH) má pouze jednu hodnotu v rámci intervalu (π, 2π) pro každou konkrétní sadu hodnot (z, x, y). To je důležité, protože ukazuje, že řešení této rovnice je jednoznačné, což zjednodušuje celkovou strukturu řešení. Jak se ukazuje v důkazu, pokud bychom předpokládali více než jedno řešení, došli bychom k paradoxnímu závěru, který by vedl k rozporu s fyzikálními zákony, konkrétně s podmínkou kontinuity.

Matematické techniky, jako je diferenciace, substituce a analýza limitních hodnot, hrají klíčovou roli při výpočtu hodnoty časoprostorových veličin. Příklad této metody je ukázán v rovnicích (24.55) a (24.56), kde se používá limit M → 0, což vede k výpočtu t(M)AAH na základě konkrétního parametrického vyjádření. Tato metoda se využívá zejména při numerických výpočtech, kde je třeba zajistit správnost výpočtů na hranici určitých hodnot.

V dalším kroku jsme schopni odvodit, že existují konkrétní případy, kde se některé rovnice mohou zjednodušit nebo dokonce eliminovat. Taková zjednodušení vznikají například v případě, kdy β,z = 0, což umožňuje provést změnu souřadnic, čímž se metrika stává nezávislou na z, což může vést k fyzikálně jednoduššímu modelu. To ukazuje, jak důležitou roli hraje volba správných souřadnic a metody pro řešení Einsteinových rovnic s perfektním fluidem.

Pokud jde o další aspekty tohoto modelování, čtenář by měl pochopit, že výpočty této povahy se neomezují pouze na hledání analytických řešení, ale často zahrnují složité numerické simulace, které vyžadují pečlivé ošetření okrajových podmínek a limitních hodnot. Rovněž by měl mít na paměti, že i malé změny v počátečních podmínkách mohou vést k výrazným změnám v chování modelu, což činí tyto výpočty citlivými na přesnost vstupních parametrů. Takové analýzy jsou důležité pro hlubší pochopení složitých jevů, jako je například vznik singularit nebo chování časoprostoru v extrémních podmínkách.

Jakým způsobem lze transformovat Riemannovy prostory pomocí konformních Killingových vektorů?

Prostor Riemannovy geometrie, známý svou strukturou metriky a symetrií, nabízí nejen fascinující pohled na geometrii, ale i nástroje, jak měnit souřadnice a zkoumat vlastnosti těchto změn. Specifické transformační skupiny, jako je skupina konformních symetrií, hrají klíčovou roli v analýze těchto prostorů. Výraz "konformní Killingovy vektory" označuje vektory, které vedou k transformacím, jež jsou konformně ekvivalentní původním prostorům, tedy transformacím, které nezmění tvar prostoru, ale mohou změnit jeho metrickou strukturu.

Když provedeme koordinátní transformaci, která zachovává základní symetrii prostoru a zároveň nezmění samotný geometrický vzhled, říkáme, že metrický tensor je konformně ekvivalentní původnímu. Při takových transformacích je související diferenciální rovnice pro konformní Killingovy vektory daná vztahem (8.56):

kde $\lambda$ je skalární funkce, která udává míru změny metriky při transformaci. Tato rovnice je klíčová pro pochopení, jakým způsobem konformní symetrie ovlivňují geometrii Riemannova prostoru.

Základní výhodou konformních transformací je, že pro prostory dimenze větší než dvě existuje konečná báze generátorů těchto symetrií. To znamená, že celkový počet nezávislých transformací je omezený a lze je vyjádřit v konečné množině funkcí a vektorů. V praxi to znamená, že pokud máme prostor s dimenzí větší než dvě, můžeme vždy najít konečný počet nezávislých vektorů, které generují všechny možné konformní symetrie pro tento prostor.

Vezměme například rovnice pro druhé derivace konformních Killingových vektorů. Tyto derivace jsou určeny samotnými vektory $k_\alpha$, gradienty funkce $\lambda$ a Ricciho tenzorem, který popisuje zakřivení prostoru. Získáváme systém rovnic pro různé derivace, které nás vedou k postupnému určení úplného chování těchto vektorů a jejich derivací.

Pokud jde o konkrétní aplikace, můžeme si představit metrické transformace, které zachovávají kulovitou symetrii prostoru. Tento přístup umožňuje vytváření nových souřadnicových systémů, které zachovávají základní symetrii prostoru, ale mění detailní strukturu metriky. To se ukazuje například v transformacích, kde je zaveden nový parametr $r' = r + h(\vartheta, \varphi)$, což vede k nové metrice, která i nadále zachovává sférickou symetrii, ale již nemá stejnou formu jako původní metrika.

Zde hraje důležitou roli specifikace, kdy prostor má své symetrické centrum, a to zejména v případě, kdy funkce $\delta(t,r)$ je rovna nule. Tento koncept analogie s rotační symetrií může být zásadní pro pochopení, kdy a proč v některých prostorech neexistuje "centrum rotace" – na rozdíl od běžných prostorů jako například cylinder nebo hyperboloid.

Nakonec, ve chvíli, kdy budeme analyzovat konformní Killingovy vektory pro Riemannovy prostory, musíme si být vědomi, že všechny derivace, ať už první, druhé nebo vyšší, jsou vzájemně propojené. Určení všech těchto derivací je klíčové pro pochopení úplné struktury symetrií a geometrických vlastností daného prostoru.