Jak se vyvíjí prostorově homogenní a sféricky symetrické řešení v Einsteinově teorii gravitace?

V prostorovém rámci, kde je prostor podél směru r nehomogenní, a elektrické pole má pouze složku ve směru r, se vyvíjí i radius válce podle rovnice (19.99). Subpřípad s Q = 0 a ε = +1, tedy případ nulového elektrického pole a sférické symetrie, byl poprvé uveden Rubanem v jeho dřívější práci (Ruban, 1968), která byla následně detailněji diskutována v dalším článku (Ruban, 1969). Tato diskuse nám poskytuje důležité vhledy, které si zde přiblížíme.

Další podpřípad, kdy Λ = 0, byl uveden v práci Datt z roku 1938 (Datt, 1938), avšak autor jej ve své analýze považoval za „fyzikálně nevýznamný“. V tomto případě lze vyjádřit explicitní formulace pro R a eA/2. Řešení pro R(t) je stejné jako pro model Friedmanna s k = +1, přičemž výraz pro eA/2 je dán vzorcem:

$e^{A/2} = 2X(r)(1 - Z \cot Z) + Y(r) \cot Z, \quad Z = \arcsin \left(\frac{R}{2M}\right)$

Z těchto vztahů vyplývá, že řešení Rubanova typu se stává prostorově homogenním (když ε,r = 0) v případě, že poměr X/Y = C je konstantní. V tomto případě lze transformací r′ = Y(r)dr odstranit závislost na r, čímž se ukáže, že faktor eA/2 je nezávislý na r. To znamená, že existuje další Killingovo pole. Tato metrika je tedy metrikou s Kantowským-Sachovým symetrickým uspořádáním, jak je uvedeno v sekci 10.7.

Pokud je navíc C = 0, řešení se stává vakuovým a odpovídá té části Schwarzschildovy manifoldy, která není pokryta zakřivenými souřadnicemi, tedy uvnitř event horizon, jak bylo zmíněno v sekci 14.4. V literatuře bylo nalezeno několik generalizací těchto subpřípadů, například řešení s Kantowským-Sachovým geometrií a různými zdroji širšími než dokonalé kapaliny. Jeden z takovýchto příkladů zahrnuje práci Korkiny a Martinenka (1975), kteří se zabývali případem, kdy je zdroj v Einsteinových rovnicích pro metrický tensor (19.103) (s ε = +1) obecnou dokonalou kapalinou s nenulovým časově závislým tlakem. V tomto případě nelze Einsteinovy rovnice vyřešit zcela, neboť se redukují na obyčejnou diferenciální rovnici obsahující libovolnou funkci času (tlak).

Vraťme se nyní k interpretaci sférického Rubanova řešení, kde ε = +1. Důležitým výsledkem je, že hustota hmoty v tomto řešení, daná rovnicí (19.104), závisí na r a je všude kladná, pokud X > 0. Množství klidné hmoty uvnitř koule o konstantním poloměru r0 tedy závisí na hodnotě r0, a je funkcí, která roste s r. Nicméně, jak je patrné z rovnice (19.99), aktivní gravitační hmotnost M, která řídí evoluci, je konstantní. To naznačuje, že veškerá hmota přidaná do zdroje ztrácí schopnost gravitačně působit, a aktivní gravitační hmotnost je pouze parametrem prostoru, na který nemá vliv padající hmota.

Ruban (1969) interpretoval tento jev takto: gravitační defekt každé přidané hmoty přesně vyváží její příspěvek k aktivní hmotnosti. Rovnice (19.99) s Q = 0 je totožná s rovnicí, která řídí evoluci ve Friedmannových modelech, tedy rovnicí (17.28). Je důležité si všimnout, že konstanta ε = ±1, 0 v rovnicích (19.99) a (19.102), která určuje typ symetrie, zároveň určuje typ evoluce. V případě ε = +1 (sférická symetrie) je model nezbytně recollapsující (k = +1).

Pokud porovnáme (19.99) s Datt–Rubanovým (D–R) modelem, zjistíme, že tento model vykazuje podobnosti s chováním „krku“ v Lemaître–Tolmanově (L–T) modelu (viz sekce 18.10). Datt–Rubanův model (D–R) má E = −1/2 a R,r = 0 trvale. Tato dynamika se podobá modelu, ve kterém se prostorové zakřivení vyrovnává, což je relevantní pro dynamiku v oblasti L–T modelu.

Pokud se podíváme na vztah mezi D–R modelem a Schwarzschildovým řešením v Lemaître–Novikovových souřadnicích, zjistíme, že tato dvě řešení lze propojit přes r = rb, pokud E(rb) = −1/2 a m = M. V případě, kdy Q = Λ = 0, D–R model exploduje ze singularity při R = 0 v čase t = tB, expanduje, dokud R = 2M, a následně se zhroutí zpět na R = 0 při t = tB + 2πM.

Důležitým zjištěním je, že D–R model a jeho generalizace nemají analogie v Newtonovské teorii a neobjevují se v lineárních aproximacích Einsteinovy teorie. Tento model je unikátní v tom, že je nekompatibilní s běžnými aproximacemi a modely, které předpokládají jednoduché lineární struktury.

Pokud jde o generalizaci tohoto modelu v oblasti řešení Einsteinových rovnic, je zřejmé, že Rubanovo řešení s elektromagnetickými zdroji je výjimečné a jeho aplikace na maximálně rozšířené řešení Reissner-Nordström (R–N) nevedla k úspěchu. I přesto, že v některých speciálních případech může dojít k propojení těchto dvou metrik, limitace existují a chování mezi Schwarzschildovým horizontem a R–N horizontem nelze považovat za bezproblémové.

Pokud tedy uvažujeme Rubanovo řešení v této souvislosti, je nezbytné mít na paměti, že každá vlna expanze a kontrakce tohoto modelu, včetně přechodů mezi R–N horizonty, je charakterizována velmi specifickým dynamickým chováním, které nemá přímý ekvivalent v běžné Newtonovské mechanice.

Jak tetradové formalismy a optické skaláry ovlivňují řešení Einsteinových rovnic?

V současném vývoji teorie relativity se ukázalo, že tetradové formalismy jsou velmi účinným nástrojem při hledání přesných řešení Einsteinových rovnic. Tento přístup, jak je podrobně rozebrán ve Stephani et al. (2003), umožňuje detailně prozkoumat strukturu zakřivení prostoru pomocí vhodně zvolených objektů, které usnadňují práci s tensorovými rovnicemi. Klíčem k těmto analýzám je předpoklad, že Riemannův tensor vzniká z komutátorů druhých kovariantních derivací, což vede k určitým identitám, které musí být splněny v rámci geometrie prostoru.

Avšak, jak ukazuje novější vývoj v oblasti tenzoru Weylovy geometrie, pokud jsou základními objekty v teorii koeficienty Ricciho rotace, jak to ukazuje formalismus Newman-Penrose, pak je struktura zakřivení popsána v prvních řádech rovnic, a nikoli ve formě identit, jak by se to mohlo na první pohled zdát. To znamená, že ne všechny "identifikace" budou v tomto případě platné, a pouze určité rovnosti, jako $R_{ijkl} = -R_{ijlk} = -R_{jikl}$ a $C_{ijil} = 0$ , skutečně splní identitu.

Tetradový základ $(k, \ell, m, m)$ není definován jednoznačně. Začíná se obvykle s danou rodinou nulových křivek, čímž je fixována směr $k^\alpha$ , avšak tento vektor lze libovolně zeskalovat: $k'^\alpha = A k^\alpha$ , kde $A$ je libovolná reálná funkce. Tato změna odpovídá změně parametrizace křivek tečících k $k^\alpha$ . Když je $k^\alpha$ upraveno, vektor $\ell^\alpha$ zůstává nulový a zachovává svůj skalární součin s $k^\alpha$ , pokud je přidán pevný násobek $k^\alpha$ nebo pevný násobek fixovaného vektoru v rovině $(m^\alpha, m^\alpha)$ .

Vektory $m^\alpha$ a $m^\alpha$ lze rotovat v jejich rovině o libovolný úhel $\phi$ a zůstávají ortogonální k $k^\alpha$ a $\ell^\alpha$ . Tyto vektory jsou tedy definovány až do transformací $m'^\alpha = e^{i\phi} m^\alpha$ , kde $\phi$ je reálná funkce. Skalární součiny $m^\alpha$ a $m^\alpha$ s $k^\alpha$ a mezi sebou samotnými se nemění, když je přidán násobek $k^\alpha$ .

Jako příklad užitečnosti tohoto tetradu lze uvést, jak jednoduše vyjadřuje kritérium pro algebraicky speciální Weylův tensor, tj. ten, který splňuje rovnici (11.55). Projekcí této rovnice na dvojitý nulový tetrad získáme ekvivalentní rovnici $C_{200d} = C_{300d} = 0$ .

Dalšími rovnicemi, které nám pomáhají při analýze vývoje optických skalárů, jsou rovnice pro šíření těchto skalárů. V tomto kontextu je možno najít analogie s rovnicemi vývoje hydrodynamických tenzorů, jak bylo ukázáno v sekci 15.3. Pro studium šíření optických skalárů je nezbytné pracovat s Ricciho vzorcem pro nulové pole $k^\alpha$ , který zní:

k^\alpha ; \beta \gamma - k^\alpha ; \gamma \beta = R^\rho \alpha \beta \gamma k_\rho.

Při projekci této rovnice na různé kombinace tetradových vektorů získáváme různé užitečné rovnice, které jsou základem pro odvození dalších vztahů týkajících se optických skalárů.

Důležitým aspektem, který je třeba při analýze těchto rovnic mít na paměti, je skutečnost, že zjednodušení pravých stran některých rovnic vyžaduje použití specifických identit, jako je definice $\Gamma_{ijk}$ , což je součástí širšího rámce pro porozumění geometrickým strukturám v relativity. Rovnice, jako je Raychaudhuriho rovnice (15.46), popisují vývoj šíření optických skalárů a jsou neocenitelným nástrojem při studiu křivosti a geometrických vlastností prostoru.

Konečně, při studiu vysoce specifických geometrických vlastností Weylovy tenzorové struktury se setkáváme s tvrzením Goldberg–Sachs, které je klíčové pro vakuová řešení Einsteinových rovnic. Ačkoliv nemá přímou aplikaci v kosmologii, jeho souvislost s optickými tenzory z předchozích sekcí ukazuje, jak matematické nástroje z této oblasti poskytují hluboký vhled do struktury zakřivení a geometrie vesmíru. Tento vztah mezi optickými tenzory a Petrovovým typem Weylovy tenzoru podtrhuje základní principy, které vedou k analýze a klasifikaci algebraických speciálních tensorů ve formulacích relativity.

Je důležité si uvědomit, že související geometrické objekty, jako jsou optické skaláry a jejich šíření, hrají klíčovou roli nejen v relativistické fyzice, ale i v dalších oblastech, kde zakřivení prostoru je určujícím faktorem pro dynamiku a strukturu vesmíru. Pochopení těchto vztahů a rovnic je nezbytné pro správnou interpretaci výsledků v teoretické fyzice.

Jak vzniká geometrie Lemaître-Tolman v kosmologii?

V kosmologii, kde se studují zakřivení prostoročasu v závislosti na hustotě a energii, je matematická formulace metriky a rovnic základním nástrojem pro pochopení dynamiky vesmíru. Geometrie Lemaître-Tolman představuje model, který zohledňuje inhomogenity v prostorovém rozložení hmoty a energie. Tento model je zvláště významný, protože spojuje geodetické pohyby s gravitačními efekty ve vesmíru, což je důležité pro studium složitějších kosmologických struktur.

Metoda souřadnic, jakými jsou souřadnice komoving-synchronní, umožňuje výrazně zjednodušit vyjádření metriky a dynamiku vesmíru. V těchto souřadnicích lze metrický element prostoročasu vyjádřit jako:

ds^2 = e^{C(t,r)}dt^2 - e^{A(t,r)}dr^2 - R^2(t,r)d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2.

Tento zápis popisuje zakřivení prostorového a časového vlivu v závislosti na dvou funkcích $C(t,r)$ a $A(t,r)$ , které charakterizují metrické vlastnosti v závislosti na čase $t$ a prostorovém souřadnicovém parametru $r$ . Funkce $R(t,r)$ je pak známá jako areální rádius, který je spojen s plochou povrchu konstantního $t$ a $r$ vztahem $S = 4\pi R^2$ .

Tato metrika může být použita k popisu dynamiky v sféricky symetrických modelech, kde se předpokládá gravitační interakce bez dalších vlivů, jak tomu bylo v případě použití rovnice stavu $p = 0$ . Pro tento případ se předpokládá, že hmota se pohybuje po časových geodetikách a její dynamika je určována čistě gravitací. Tato představa vede k jednoduchému výrazu pro časovou derivaci hmotnosti v dané oblasti.

Rovnice, které následně popisují dynamiku tohoto systému, se odvozují z Einsteinových rovnic pro tento metrický prostor a vedou k soustavě, která zahrnuje termíny pro hustotu energie $\epsilon$ , tlak $p$ a kosmologickou konstantu $\Lambda$ . To nám umožňuje formulovat různé závislosti, které jsou důležité pro studium vesmíru v tomto modelu.

Například, pokud si vezmeme konkrétní případ, kde tlak je nulový, tedy $p = 0$ , získáme rovnice, které popisují jen gravitaci bez dalších vlivů. V tomto případě je zajímavé, že pokud použijeme tento model v limitě, kdy je kosmologická konstanta $\Lambda = 0$ , dojdeme k řešení, které je identické s Newtonovským modelem pohybu v radiálním směru v Coulombově potenciálu. To znamená, že v tomto limitu může tento model poskytovat náhled na chování hmoty v gravitačně svázaných systémech.

Jedním z důležitých výsledků tohoto přístupu je definice „aktivní gravitační hmotnosti“ $M(r)$ , která hraje klíčovou roli při generování gravitačního pole v rámci tohoto modelu. Tato aktivní hmotnost se může lišit od součtu hmotností jednotlivých částic, které tvoří gravitačně svázaný systém. Závisí totiž na tom, jak je energie rozložena v dané oblasti.

Model Lemaître-Tolman v podstatě popisuje, jak se prostor a čas zakřivují v závislosti na distribuci hmoty a energie, a jak se to odráží na pohybu těles a vývoji vesmíru. Tento model je tedy velmi užitečný pro pochopení inhomogenního vývoje vesmíru a pro studium složitějších gravitačně vázaných systémů, jako jsou galaxie nebo hvězdné objekty.

Důležité je také si uvědomit, že tento model nezohledňuje všechny možné dynamiky a struktury, které mohou existovat ve vesmíru. Například ignoruje vlivy temné hmoty a temné energie, které by mohly zásadně změnit dynamiku ve velkých měřítkách. Také předpokládá, že gravitace je hlavní silou, což nemusí platit pro všechny fáze evoluce vesmíru.

Kromě samotného popisu geometrie Lemaître-Tolman se jeví jako nezbytné se zamyslet nad tím, jaký vliv mohou mít různé počáteční podmínky a volby parametrů, jako je například funkce $E(r)$ , na vývoj systému. Důležité je také zvážit možné singularity, které mohou vzniknout v důsledku tohoto modelu, jako je například singularita na počátku Big Bangu, nebo shell-crossing singularity, které jsou často vyvolány nesprávnými volbami parametrů, což může vést k nefyziologickým výsledkům. Model tak ukazuje jak složité a nuance struktury mohou vznikat v závislosti na počátečních podmínkách a rovnicích stavu.

Jak optimalizovat systém termálního managementu pro zlepšení rovnoměrnosti teploty v bateriových modulech?
Jak se rozhodnout, jaký problém řešit první při léčbě závislosti?
Jak se setkání s tajemnou ženou může změnit náš pohled na sebe samé a svět kolem nás