Jak měřit entropii v buněčných automatech na kruhu Zm?

V této kapitole se zaměříme na několik druhů entropie buněčných automatů (dále jen CA), konkrétně na jejich chování v rámci kruhu Zm. Nejprve si vysvětlíme měření entropie z pohledu teorie míry a následně přejdeme k topologickým definicím. V případě, že je dimenze CA větší než 1, je entropie buď nulová, nebo nekonečná. Proto se zaměříme pouze na entropii jednorozměrných buněčných automatů (1D CA).

Buněčné automaty (CA) byly poprvé navrženy v roce 1952 Ulamem jako modely pro samoreplikující se roboty, kteří vytvářejí nové roboty se stejnou složitostí. Tento nápad byl později rozvinut von Neumannem. V roce 1969 představil Hedlund koncept buněčných automatů z matematického hlediska. V posledních letech byly buněčné automaty využívány jako mikroskopické reprezentace nevyvážených a samoorganizujících se jevů, protože poskytují jednoduché matematické nástroje pro simulaci složitých a chaotických systémů. Proto i dnes pokračuje rozsáhlý výzkum buněčných automatů, který se zaměřuje na teoretické i praktické problémy.

Jedním z klíčových pojmů, které se v souvislosti s těmito systémy objevují, je entropie. V mnoha vědeckých oblastech existuje souvislost mezi Lyapunovovým exponentem, entropií a složitostí systému. Boltzmann v rámci své statistické teorie termodynamiky a slavné formule pro entropii zdůraznil vztah mezi složitostí a entropií. V uzavřeném systému entropie vždy monotonicky roste, ale jakmile je dosaženo rovnováhy, složitost nejprve vzroste a poté klesá. Tato dynamika je často popisována tak, že složitost je časovou derivací entropie, což jsou definice obou termínů, které mají praktický vztah k informacím.

Pokud bychom se podívali na dynamiku systému na mřížce, kde jsou buňky uspořádány do formy kruhu Zm, můžeme začít zkoumat, jakými způsoby entropie vyjadřuje složitost evoluce takového systému. Entropie v tomto kontextu popisuje míru chaotické a nepredikovatelné evoluce systému. Vzhledem k tomu, že buněčné automaty často pracují s diskrétními hodnotami, je možné pro ně vyvinout teoretické modely, které nám umožní kvantifikovat jejich složitost a entropii.

Přestože je entropie v jednorozměrném případě obvykle jednodušší na výpočet než ve vyšších dimenzích, stále existují výzvy, jak ji přesně definovat a aplikovat na různé třídy buněčných automatů. Tato výzva spočívá především v tom, že pro různé pravidla buněčných automatů může být entropie různá, což závisí na povaze interakcí mezi sousedními buňkami a na typu dynamiky systému.

V praxi, pokud se zaměříme na konkrétní třídy buněčných automatů, jako jsou číslicově konzervativní buněčné automaty, které zachovávají počet "1" (nebo jiný indikátor) v každém kroku, zjistíme, že jejich entropie může poskytovat cenné informace o složitosti evoluce systému. Například při správném návrhu pravidel pro buněčné automaty, které se zabývají konzervací čísel, může entropie sloužit jako nástroj pro analýzu jejich dlouhodobého chování a predikce jejich výstupů.

Při analýze těchto systémů je rovněž důležité brát v úvahu, jak konkrétní vlastnosti buněčných automatů, jako je jejich uniformita či pravidelnost, ovlivňují entropické chování. V některých případech může entropie ve spojení s jinými kvantitativními měření

Jak se kolize vzorců ovlivňují v systémech s čelními krychlovými mřížkami?

Vysoká frekvence výbuchů v systémech s čelními krychlovými mřížkami (FCCAs) je způsobena velkým počtem sousedních buněk v této mřížce, což zvyšuje pravděpodobnost aktivace pravidel vzniku nových struktur, což následně může vést k výbuchům. Tato nechtěná událost je značně nežádoucí pro výpočetní procesy, proto je potlačování výbuchů kladeno za cíl. V následujících experimentech je důležité, že hodnoty funkcí, které nejsou použity v rovnicích pro kolize, jsou nastaveny na nulu, čímž je zajištěno, že výbuchy nebudou generovány bez nutnosti.

V tomto rámci jsme provedli sérii experimentů zaměřených na kolize mezi statickými vzory a glidery typu I (GI). Kolize těchto vzorců se ukázaly být klíčové pro pochopení dynamiky a možného vznikání explozí nebo jiných změn v systému.

Při pokusu o kolizi mezi statickým vzorem (například SIx, SIIx nebo SIIIx) a GI bylo pozorováno několik variant výsledků. Na obrázku 11 je znázorněna typická konfigurace kolize, kdy GI je umístěn na levém okraji a pohybuje se směrem doprava. Střední buňka statického vzoru je označena jako 'A0'. V těchto experimentech jsme variovali polohu statického vzoru v rovině kolmé k směru pohybu GI.

Při provádění experimentů mezi vzorem typu SIx a GI, kdy byla měněna pozice vzoru, byly výsledky vyjádřeny v tabulkách. Výsledky ukázaly několik typických případů: pokud po kolizi došlo k výbuchu, byly buňky označeny jako 'expl'. Pokud GI prošel bez změny, bylo to označeno jako 'pass'. Další možností bylo, že GI zmizel, ale statický vzor zůstal nezměněn, což bylo označeno jako 'SIx'. V některých případech statický vzor fungoval jako "eater", což znamenalo, že GI byl zničen, ale vzor zůstal intaktní.

Je třeba si také uvědomit, že orientace statických vzorců má zásadní vliv na výsledek kolize. Například při experimentu s SIIx ve variantě S, H a V umístění byly pozorovány různé výsledky na základě toho, jak byl vzor orientován vůči pohybujícímu se GI. U vzorců SIIIx, které měly čtyři různé možnosti orientace (S, H, V a W), byly výsledky rovněž proměnlivé, ale výbuchy byly i nadále dominantní, přičemž vzácně i zde fungovaly některé orientace jako pohlcovače GI.

Výsledky těchto experimentů ukazují, jak různé orientace statických vzorců mohou ovlivnit chování a výsledky kolizí s pohybujícími se glidery. Pokud bychom se zaměřili na výbuchy jako na hlavní nechtěnou událost v těchto experimentech, bylo by důležité zjistit, jak lze optimalizovat rozmístění vzorců tak, aby minimalizovalo riziko explozí. V některých případech se totiž ukazuje, že určité orientace mohou být efektivní při "pohlcování" GI, aniž by došlo k výbuchu, což by mohlo být užitečné v aplikacích, kde je stabilita systému klíčová.

Pochopení dynamiky těchto kolizí a vlivu orientace na výsledek je klíčové pro vývoj stabilnějších a efektivnější