Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
Vědecký výzkum v oblasti obecné relativity a kosmologie často přichází s výzvami, které zahrnují vysoce komplexní matematické modely a teoretická řešení, která mohou popisovat struktury a dynamiku vesmíru. Mezi klíčové oblasti, kde se teorii podařilo dosáhnout významného pokroku, patří studium přesných řešení Einsteinových rovnic, jež popisují gravitaci a kosmologické procesy. Tato řešení, jakými jsou například řešení typu Schwarzschild nebo Szekeres, poskytují podrobné pohledy na chování gravitace v různých typech vesmírů, ať už homogenních, nebo inhomogenních.
Přesná řešení Einsteinových rovnic jsou mimořádně cenná, protože umožňují detailní analýzu prostorů s různými symetriemi a strukturalizovanými podmínkami. Například Schwarzschildovo řešení, které se týká statického, sféricky symetrického prostoru, je základním nástrojem při studiu černých děr a dalších objektů s extrémní gravitací. Naopak Szekeresova řešení, která se zaměřují na nelineární a inhomogenní vesmíry, umožňují prozkoumat složité modely, kde není prostor homogenní a kde se vyskytují různé zakřivení, což je důležité pro pochopení velkoškálové struktury vesmíru.
Zvláštním případem jsou tzv. geodetické operátory, které se často používají k analýze chování částic v daných prostorových oblastech, například v modelu s hmotou a magnetickým polem, jak ukazuje práce Shikina (1972) o gravitačních polích v prostředí nabitého prachu. To vše má zásadní význam pro aplikaci teoretické fyziky na konkrétní fyzikální systémy, jako jsou černé díry, neutronové hvězdy, a další silně gravitační objekty.
Velkou výzvou, které čelí fyzikové, je kombinování těchto přesných teoretických modelů s observačními daty. Například mapy struktur v mikrovlnném pozadí, jako ty z misí COBE (1992), ukázaly, jak lze modely vesmíru s různými formami nerovnoměrného zakřivení (například mezery nebo "prázdné" oblasti, známé jako voids) efektivně testovat proti skutečným astronomickým měřením. Výzkum v této oblasti se snaží identifikovat vztah mezi malými fluktuacemi v kosmologickém pozadí a velkoškálovými strukturami, jako jsou galaxie a kupy galaxií.
Při analýze různých typů inhomogenních kosmologií, jak je ukázáno v práci Sákfona a Szafrona (1977), se také ukazuje, jak důležité je zahrnout do modelů nehomogenní vesmíry, které nejsou ideálně vyvážené. Tyto modely mají velkou vypovídající hodnotu, zejména když se zkoumá vliv temné hmoty a temné energie na strukturu vesmíru.
Když se díváme na pokroky, které byly učiněny ve studiu specifických typů rovnic, například na případ Eisteinových-Cartanových rovnic, je jasné, že na poli kvantové gravitace a teorie superstrun se stále vyvíjejí nové metodiky a přístupy, které nám pomohou lépe pochopit, jak působí gravitace na subatomární úrovni a jak ovlivňuje chování hmoty a energie v extrémních podmínkách.
Pochopení těchto teoretických rámců a jejich aplikace na reálné astrofyzikální systémy je klíčové nejen pro výzkum fundamentálních sil ve vesmíru, ale i pro rozvoj nových technologií, jako jsou pokročilé metody detekce gravitačních vln a studium kvantového chování černých děr.
Jedním z nezbytných aspektů těchto studií je také správné vyhodnocení dynamických chování v různých kosmologických modelech. Analýza, jak geometrie vesmíru ovlivňuje šíření světla a materiálu, je základním kamenem pro testování teoretických předpovědí, které se týkají vzdáleností, zakřivení prostoru a relativistických efektů jako je ohyb světla v okolí masivních objektů.
Celkové pochopení těchto složitých témat má zásadní význam pro kosmologii, ale také pro širší aplikace v teorii gravitace a vývoji astrofyzikálních teorií, které mohou přinést nové odpovědi na otázky o vzniku vesmíru, jeho vývoji a konečném osudu.
Jak je elektromagnetické pole popisováno v teorii relativity a jaké jsou jeho klíčové vlastnosti?
Elektromagnetické pole nelze ve speciální relativitě rozdělit na elektrické a magnetické složky nezávisle na pozorovateli – jejich oddělení závisí na rychlosti pozorovatele a není invariantní vůči Lorentzovým transformacím. V relativistické formulaci je elektromagnetické pole reprezentováno antisymetrickým tenzorem pole , který ve zvoleném souřadnicovém systému kóduje jak elektrické, tak magnetické složky. Elektrické pole odpovídá komponentám , kde indexy označují prostorové složky, zatímco magnetické pole je vyjádřeno prostřednictvím prostorových složek tenzoru jako . Tenzor se transformuje jako druhý řádový tenzor pod Lorentzovou transformací, což znamená, že změna pozorovacího rámce způsobuje smíchání elektrických a magnetických polí.
Maxwellovy rovnice mají ve speciální relativitě elegantní kovariantní tvar. První soubor rovnic lze zapsat jako divergence tenzoru pole s pravou stranou tvořenou čtyřvektorem proudu , zatímco druhý soubor je formulován pomocí antisymetrického symetrizovaného derivování , což je ekvivalentní tomu, že elektromagnetické pole lze vyjádřit jako exteriér čtyřpotenciálu , tedy . Tento tvar zaručuje zachování kontinuity elektrického proudu a absence magnetických monopólů.
V obecné relativitě se parciální derivace nahrazují kovariantními derivacemi, což zachovává invarianci rovnic. Důležitým důsledkem je existence čtyřpotenciálu , jehož diferenciál dává elektromagnetický tenzor, a zároveň platí, že divergenci elektromagnetického pole je dána proudem náboje.
Energeticko-impulsový tenzor elektromagnetického pole je klíčovým objektem pro popis jeho energie, hybnosti a napětí v prostoru. Je tvořen kombinací složek elektromagnetického tenzoru a metrického tenzoru. Má vlastnost nulového stopového kontraktu, což reflektuje jeho conformní symetrii. Dále lze zformulovat tento tenzor pomocí duálního tenzoru , který zaměňuje role elektrického a magnetického pole a umožňuje tzv. duální rotaci – lineární kombinaci původního a duálního pole, která nemění energeticko-impulsový tenzor. Tento fakt naznačuje, že existuje symetrie mezi elektrickými a magnetickými složkami, ovšem fyzikálně pozorované pole je určeno až po fixaci vhodného „fázového“ úhlu této rotace.
Maxwellovy rovnice implicitně zakazují existenci magnetických monopólů. Jakýkoliv pokus o jejich zavedení prostřednictvím duální rotace musí být pečlivě posouzen, protože magnetický proud musí být lineárně závislý na elektrickém proudu, aby bylo možné jej „odstranit“ zpětnou rotací.
Elektromagnetické pole je také zdrojem gravitačního pole. V Einsteinových rovnicích pole gravitačního pole vystupuje energeticko-impulsový tenzor elektromagnetického pole na stejném právu jako tenzor látky. Soustava rovnic zahrnuje Einsteinovy rovnice se zdroji, Maxwellovy rovnice a jejich vzájemnou konzistenci. Důležitá jsou zde Bianchiova identita, která implikuje zachování energie a hybnosti soustavy látka + elektromagnetické pole.
Variace akce, která zahrnuje elektromagnetické pole a gravitační pole, vede k plnému systému Einstein–Maxwellových rovnic. Základní veličinou akce je skalární invariant složený z metriky, elektromagnetického tenzoru a případně zdrojů. Pro Maxwellovy rovnice je předpokládána existence čtyřpotenciálu, jehož variace s danými okrajovými podmínkami zajišťuje správnou dynamiku pole.
Historicky zajímavý je pokus sjednotit gravitaci a elektromagnetismus v rámci vyšších dimenzí, jak je tomu v Kaluza-Kleinově teorii. Ta předpokládá existenci páté dimenze, ve které jsou složky metrického tenzoru interpretovány jako elektromagnetický potenciál. Einsteinovy rovnice v pěti dimenzích tak implicitně zahrnují jak gravitační, tak elektromagnetickou dynamiku ve čtyřrozměrném prostoru. Tento přístup vedl k hlubšímu pochopení geometrické povahy interakcí, i když úplné sjednocení dosud nebylo dosaženo.
Pochopení elektromagnetického pole v relativistické teorii vyžaduje přijetí abstraktních matematických struktur, jako jsou tenzory a diferenciální formy, které sjednocují popis elektrických a magnetických jevů. Zároveň je důležité uvědomit si, že fyzikální měření elektrických a magnetických polí jsou závislá na pohybu pozorovatele, což je klíčový aspekt relativistické fyziky. Kovariance Maxwellových rovnic nejen zaručuje jejich konzistenci s principem relativity, ale také umožňuje elegantní formulaci zákonů elektromagnetismu v zakřiveném časoprostoru, kde se projevuje vliv gravitačního pole.
Kromě základních rovnic je důležité také pochopit roli symetrií, jako je duální rotace, která ukazuje na hlubší struktury elektromagnetického pole a může mít význam v pokročilých teoriích sjednocení. Zároveň by si čtenář měl uvědomit, že energeticko-impulsový tenzor elektromagnetického pole je klíčový nejen pro popis jeho dynamiky, ale i jako zdroj gravitačního pole v obecné relativitě, což otevírá cestu k pochopení interakce mezi elektromagnetismem a geometrií prostoru.
Jak se řeší horizontový problém a co přináší inflace v kosmologii?
V rámci modelu ΛCDM (Lambda-CDM), který je nejběžnějším kosmologickým modelem, se výpočet prostorového času t = tₗₛ provádí podobně, ale s použitím hodnoty R podle rovnice (17.85). V tomto případě se tₗₛ stanoví jako tₗₛ∣BB = c × (3.8 × 10⁵ let ∫ₛ)tₗₛ ℓₗₛ∣ dt BB = R (tₗₛ) = 2tₗₛ = c × (7.6 × 10⁵ let). V pozorované oblasti je tedy poloměr 55,66krát větší než tento, což znamená, že obsahuje více než 170 000krát více částic.
Jakmile je hodnota Λ určena pro model ΛCDM (rovnice (17.58)), poměry mezi R(t) v různých časech jsou jednoznačně stanoveny. Dále, pokud je pro CMB (kosmické mikrovlnné pozadí) zjištěno, že z = 1090 (Planck, 2014), je možné spočítat čas posledního rozptýlení τₗₛ = tₗₛ/c. Tento výpočet dává hodnotu τₗₛ∣o = 4.77 × 10⁵ let (Krasinski, 2016a). Na druhé straně je nejčastěji citovaná hodnota τₗₛ∣BB = 3.8 × 10⁵ let (Maoz, 2016).
Tato zdánlivá nesrovnalost je vysvětlena tím, že model ΛCDM (17.58) není použitelný před posledním rozptýlením, protože v této době není kosmická hmota považována za prach. Pro tento časový úsek nelze zanedbat tlak záření a hmoty, a proto je nutné použít obecnější model, který pro zₗₛ = 1090 implikuje τₗₛ = τₗₛ∣BB, jak je uvedeno výše. Způsob výpočtu hodnoty zₗₛ je založen na metodách částicové fyziky (Peebles, 1968; Zeldovich et al., 1968). Z tohoto důvodu používáme τₗₛ∣o v (17.86) a τₗₛ∣BB v (17.87).
Guth (1981) porovnal dvě hodnoty poloměrů v čase dříve než tₗₛ a získal mnohem působivější poměr počtu částic, 10⁸³. Tato otázka se pak dostává k širšímu problému v kosmologii, který je známý jako „horizontový problém“.
Horizonový problém byl původně špatně definován. Kosmické mikrovlnné pozadí (CMB) vzniká, když primordiální plasma ochladne pod teplotu ionizace. Při dané chemické skladbě plazmy je ionizační teplota všude stejná, a není tedy potřeba žádná dlouhodobá interakce, která by tuto teplotu vyrovnala na dlouhé vzdálenosti. Problém spočívá v něčem jiném: skutečnost, že teplota CMB je dnes pozorována jako téměř stejná (ale ne přesně stejná!) ve všech směrech, znamená, že čas mezi emisí CMB a současností je téměř stejný pro všechny směry. Tímto způsobem je horizontový problém spíše „problémem jednotného věku“. Důležité je si uvědomit, že úhlové fluktuace teploty CMB ΔT vzhledem k průměrné teplotě T jsou měřeny na hodnotu ΔT/T ≈ 5 × 10⁻⁶ (Smoot et al., 1992).
Tyto fluktuace lze přepočítat na místní rozdíly v čase kosmické hmoty, tedy na neuniformity v místní době velkého třesku ΔtB/c, protože je rozumné předpokládat, že časový interval mezi BB a emisí CMB byl všude stejný. Výpočet na základě metriky ΛCDM (17.58) ukazuje, že ΔT/T ≈ 5 × 10⁻⁶ překládá do ΔtB/c ≈ 7.39 × 10⁴ let.
Guth (1981) navrhl řešení tohoto problému tím, že popsal rovnice stavu hmoty během rané fáze vývoje vesmíru (mezi 10⁻³⁴ a 10⁻³² s po BB) tak, že vesmír expandoval exponenciálně, tzv. „inflace“. To znamená, že poloměr světelného kužele, který vychází z BB, byl v čase tₗₛ∣BB mnohem větší než poloměr ℓₗₛ∣o viditelné oblasti vesmíru. Guthova původní práce navrhovala de Sitterovu metriku (8.87) jako model pro inflaci. Tato metrika může být formálně považována za řešení Einsteinových rovnic pro ideální tekutinu s rovnicí stavu ϵ = −p. V pozdějších pracích byla jako zdroj inflace zvolena skalární pole ϕ(x), jehož rovnice pole je gαβϕ;αβ − ∂V/∂ϕ = 0, přičemž potenciál V(ϕ) je volen tak, aby dal ϕ požadované chování.
Tento přístup však přinesl i nové problémy. Jedním z nich je takzvaný problém „jemného výstupu“: jakmile inflace začne (což je samo o sobě problém), nemůže skončit bez dalších předpokladů vložených do modelu. Dalším problémem je problém kosmologické konstanty: hodnota Λ je určena hodnotou skalárního pole na konci inflačního období, a tato hodnota může být libovolná. Proč je tedy Λ tak blízko nuly? Také inflace přehnala řešení „problému plochosti“ – znamená to, že křivost k musí být velmi blízko nuly, což naznačuje, že hustota hmoty ve vesmíru musí být velmi blízko kritické hodnotě. Výsledky pozorování zářivých objektů však ukazují, že pouze 20 % kritické hustoty lze přičíst běžné hmotě (Coles a Ellis, 1997). Inflace tedy spočívá na postulátu existence „temné energie“, která tuto nesrovnalost vyvažuje.
Kromě toho inflace vede k nové situaci: kosmologická konstanta Λ neovlivňuje časově vývoj hmoty, přičemž hustota hmoty klesá podle zákona ρ ∝ R⁻³. Tato dvě chování nemohou být za všech okolností téměř totožná, což je dalším důvodem, proč se modely inflace potýkají s problémy.