Propagace světelného pole od zdroje ke čočce přes vzdálenost d je popsána Fresnelovým difrakčním integrálem. Tento integrál umožňuje přechod od vstupního pole k poli v rovině čočky pomocí převodu, který vlnovou frontu promění ve frekvenční doménu. K tomu se používá Fourierova transformace, která transformuje prostorové rozložení amplitudy na spektrum prostorových frekvencí. Pole v rovině čočky je tedy výsledkem inverzní Fourierovy transformace součinu spektra vstupního pole a přenosové funkce, jež zahrnuje fázi a vzdálenost propagace.

Čočka pak opět provádí Fourierovu transformaci tohoto pole a výsledkem je pole v ohniskové rovině, jehož intenzita odpovídá modulu čtverce Fourierovy transformace vstupního pole. Pokud je vzdálenost d rovna ohniskové vzdálenosti f čočky, fáze přenosové funkce zaniká a intenzita v ohniskové rovině je přesnou Fourierovou transformací vstupního pole. Tento princip je základem f–f systému, který tvoří klíčový stavební prvek mnoha optických filtrů a zpracování obrazů.

Následným krokem je rozšíření tohoto konceptu do tzv. 4-F optického procesoru, který sestává ze dvou čoček s ohniskovými vzdálenostmi F1 a F2, umístěných ve vzdálenosti f mezi sebou. Mezi čočkami je umístěna clona nebo maska přenosové funkce P(u, v), která určuje spektrální filtraci vstupního signálu. Výstupní obraz je pak analyzován v třetí rovině za druhou čočkou, kde vzniká inverzní a zvětšený obraz vstupního pole.

Tento systém umožňuje široké možnosti úprav prostorových frekvencí vstupního signálu pomocí vhodných filtrů, například kruhových clon, které fungují jako dolní propust, nebo neprůhledných disků jako horní propust. Díky tomu je 4-F systém univerzálním nástrojem pro prostorové filtrování, aplikace v optickém zpracování informací a vylepšení obrazových systémů.

Výstupní pole v rovině obrazu lze popsat konvolučním vztahem mezi vstupním polem a impulzní odezvou systému, která je určena filtrem a geometrií systému. V případě, že vstupem je bodový zdroj, výstupní pole odpovídá právě impulzní odezvě, tedy základnímu charakteru systému.

Důležité je také si uvědomit, že tento popis platí pro monochromatické světlo a lineární systémy, kde superpozice a Fourierova optika přesně vystihují chování světelného pole. V praxi takové systémy umožňují nejen zpracování obrazů, ale i studium limitací optických systémů v důsledku difrakce a clonění.

Kromě samotného pochopení principu Fresnelovy propagace a Fourierovy transformace v optice je zásadní vnímat i důsledky těchto principů pro reálné aplikace. Například výběr parametrů čoček, vzdáleností a filtrů výrazně ovlivňuje výsledný obraz a jeho kvalitu. Významnou roli hraje i fáze přenosové funkce, která může být kritická při koherentních zdrojích světla, zejména v laserových aplikacích.

Dalším důležitým aspektem je vztah mezi prostorovou a frekvenční doménou. Úpravy ve frekvenční doméně (například blokování určitých frekvencí) mají přímý dopad na kvalitu a charakter obrazu v prostoru. To umožňuje selektivní potlačení šumu, zvýraznění hran nebo dokonce rekonstrukci obrazových dat.

Nakonec je vhodné připomenout, že všechny tyto teoretické základy mají hluboký význam i mimo optiku, například v oblasti digitálního zpracování signálů, holografie, a dalších oborů, kde se práce s Fourierovou transformací a prostorovými filtry stala nepostradatelným nástrojem.

Jak světelný signál propaguje ve vláknech s krokovým indexem?

V této kapitole se zaměříme na šíření světla v optických vláknech s krokovým indexem a na podmínky, které musí být splněny pro správnou propagaci světelných módů. K tomu využíváme Maxwellovy rovnice pro elektromagnetické vlny, které byly již popsány v předchozích kapitolách. Tyto rovnice nám umožňují pochopit, jak vlákno s krokovým indexem podporuje vedení světelných módů, a na jejich základě také definujeme podmínky pro jednovidová vlákna a jejich vlastnosti.

Začneme rovnicí pro vlny v cylindrických souřadnicích (r, θ, z), jak je znázorněno na obrázku 8.6. Helmhölzova rovnice pro pole U (které může reprezentovat jakoukoliv ze složek elektrického pole Er, Eθ, Ez nebo magnetického pole Hr, Hθ, Hz) má následující tvar:

∇2U+n2ko2U=0(8.8)\nabla^2 U + n^2 k_o^2 U = 0 \quad \text{(8.8)}

kde n(ω) je index lomu a k_o je vlnové číslo ve volném prostoru. Tato rovnice v cylindrických souřadnicích vypadá takto:

∂2U∂r2+1r∂U∂r+1r2∂2U∂θ2+∂2U∂z2+n2ko2U=0(8.9)\frac{\partial^2 U}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 U}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} + n^2 k_o^2 U = 0 \quad \text{(8.9)}

Pro vlákno s krokovým indexem, jehož poloměr jádra je a, platí, že index lomu je:

n={n1pro r≤an2pro r>a(8.10)n = \begin{cases} n_1 & \text{pro } r \leq a \\ n_2 & \text{pro } r > a
\end{cases} \quad \text{(8.10)}

Rovnice (8.9) může být vyřešena metodou separace proměnných. Předpokládáme, že pole U(r, θ, z) je ve tvaru:

U(r,θ,z)=R(r)⋅Θ(θ)⋅Z(z)(8.11)U(r, \theta, z) = R(r) \cdot \Theta(\theta) \cdot Z(z) \quad \text{(8.11)}

Po dosazení do rovnice (8.9) a následném rozdělení získáme tři oddělené diferenciální rovnice pro proměnné r, θ a z. Pro každou z těchto rovnic platí, že se v nich vyskytují Besselovy funkce, které jsou typickými řešeními pro vlny v cylindrických vlnovodech. Například, obecná forma diferenciální rovnice pro Besselovu funkci je:

d2ydx2+1xdydx+(m2−1x2)y=0(8.14)\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{dy}{dx} + \left( m^2 - \frac{1}{x^2} \right) y = 0 \quad \text{(8.14)}

kde m je řád Besselovy funkce. Na základě těchto předpokladů můžeme rovnici (8.13) vyjádřit jako soustavu tří diferenciálních rovnic:

d2Zdz2+β2Z=0(8.15)\frac{d^2 Z}{dz^2} + \beta^2 Z = 0 \quad \text{(8.15)}
d2Rdr2+1rdRdr+(β2ko2−m2r2)R=0(8.16)\frac{d^2 R}{dr^2} + \frac{1}{r} \frac{dR}{dr} + \left( \frac{\beta^2}{k_o^2} - \frac{m^2}{r^2} \right) R = 0 \quad \text{(8.16)}
d2Θdθ2+m2Θ=0(8.17)\frac{d^2 \Theta}{d\theta^2} + m^2 \Theta = 0 \quad \text{(8.17)}

Rovnice pro Z(z) (8.15) je jednoduchá druhá řádová rovnice s řešením:

Z(z)=e−jβz(8.18)Z(z) = e^{ -j\beta z} \quad \text{(8.18)}

Toto popisuje šíření ploché vlny podél osy vlákna. Řešení pro R(r) (8.16) je vyjádřeno Besselovými funkcemi prvního a druhého druhu, které popisují chování vedených módů v jádře vlákna a jejich útlum v plášti. Řešení pro R(r) je:

R(r)=AJm(κr)+BYm(κr)pro r≤aR(r) = A J_m(\kappa r) + B Y_m(\kappa r) \quad \text{pro } r \leq a
R(r)=CIm(qr)+DKm(qr)pro r>aR(r) = C I_m(qr) + D K_m(qr) \quad \text{pro } r > a

kde Jm(x)J_m(x) a Ym(x)Y_m(x) jsou běžné Besselovy funkce prvního a druhého druhu a Im(x)I_m(x) a Km(x)K_m(x) jsou modifikované Besselovy funkce. Koeficienty A, B, C a D jsou určeny pomocí okrajových podmínek na rozhraní jádro-plášť.

Pro řešení těchto rovnic je kladeno důraz na podmínku konečnosti pole v jádře a jeho zánik na nekonečnu. Podmínky na rozhraní jádro-plášť pak vedou k vztahu mezi těmito koeficienty, což nám dává konečné vyjádření pro složky elektrického a magnetického pole ve vláknech.

Pro správnou propagaci vlny v optickém vláknu je klíčové, aby fáze vedené vlny (β) ležela mezi hodnotami fázového konstanty jádra (β1) a pláště (β2). To zajišťuje útlum v plášti, zatímco ve vlákně je světelný signál veden a nedochází k jeho rozptýlení.

V praktických aplikacích se pro určování parametrů vedených módů, jako je například šíření elektromagnetických vln v různých vláknech, používají numerické metody, protože analytické řešení těchto rovnic je často příliš složité pro běžné inženýrské aplikace.

Tento přehled metodiky pro výpočet vedení světelných módů ve vláknech s krokovým indexem ukazuje důležitost matematických modelů v oblasti optických komunikací. Pochopení těchto základních rovnic a jejich aplikací je nezbytné pro návrh a optimalizaci optických vláken v různých typech komunikačních systémů.

Jak kvantová mechanika vysvětluje chování světla a hmoty

V úvodních kapitolách této knihy jsme se zabývali klasickou fyzikou, která nám poskytla základní rámec pro pochopení různých aspektů světla. Klasická fyzika vychází ze dvou základních pojmů: částice, která je definována svou pozicí a hybností podle Newtonových zákonů, a elektromagnetická vlna, která je rozšířeným fyzikálním objektem, jež existuje v každém bodě prostoru a je charakterizována elektrickými a magnetickými poli podle Maxwellových rovnic. Tento rámec nám poskytl uspořádaný popis světa: zákony pohybu částic vysvětlují materiální svět, zatímco zákony elektromagnetických polí vysvětlují chování světelných vln.

Nicméně, na konci devatenáctého století se klasická fyzika začala hroutit, když nedokázala vysvětlit experimentální výsledky týkající se černého tělesa a následného fotoelektrického jevu. Tento nedostatek klasické teorie vedl k vývoji nové teorie, která by byla schopná vysvětlit tyto jevy a zahájila paradigmata odklonu od deterministického světa klasické fyziky.

V této kapitole se soustředíme na úvod do kvantové mechaniky, což je nezbytné pro pochopení teorie, která nám umožní porozumět chování elektronů v polovodičích a optoelektronických zařízeních v dalších kapitolách. Základní porozumění tomu, jak se elektrony chovají v různých potenciálních funkcích, je klíčové pro pochopení charakteristiky napětí a proudu.

Kvantová mechanika je teorie, která zásadně mění naše chápání světa na mikroskopické úrovni. Tento nový přístup nám nabízí pohled na svět, v němž jsou částice nejenom objekty, ale také vlny. Klíčovými principy kvantové mechaniky jsou dualita vlny a částice, superpozice a provázanost. Kromě teoretických konceptů se seznámíme i s matematickými nástroji, které umožňují tyto principy popsat a analyzovat.

V této kapitole se podíváme na experimentální výsledky, které na konci devatenáctého století ukázaly nedostatečnost klasické vlnové teorie světla při vysvětlování jevů, jako je černé těleso. Tento problém vedl k rozvoji teorie kvantování energie, kterou poprvé navrhl Max Planck a později rozvinul Albert Einstein. Tento zásadní obrat v myšlení vedl k novému pohledu na světlo a jeho vlnovo-částicovou dualitu, kterou jsme již zmínili v předchozích kapitolách.

S tímto základem přichází do popředí i dualita hmoty, kterou formuloval Louis de Broglie. Tato dualita sehrála klíčovou roli při tvorbě Schrödingerovy vlnové rovnice, což je základní nástroj pro popis chování mikroskopických částic, zejména elektronů. V dalších částech této kapitoly se podíváme na řešení Schrödingerovy rovnice v konkrétních případech, jako je chování částic v potenciálních jamkách nebo atomových systémech.

Černé těleso je ideální fyzikální objekt, který absorbuje veškeré dopadající elektromagnetické záření, bez ohledu na jeho frekvenci nebo úhel dopadu. Emisní koeficient černého tělesa je pro každou danou frekvenci maximální a vyzařuje tepelnou radiaci, která má specifické spektrum závislé pouze na jeho teplotě. Tento jev, známý jako radiace černého tělesa, se stal klíčovým bodem při vzniku kvantové mechaniky. V reálném světě neexistují dokonalá černá tělesa, ale mnohé objekty, jako například dřevěné uhlí nebo hvězdy, se jim velmi přibližují. Například při zahřívání uhlí se jeho vyzařované záření zpočátku objevuje jako červené a postupně přechází do žluté barvy při zvyšování teploty.

Studium radiace černého tělesa bylo zásadní pro vývoj moderní fyziky, protože klasická fyzika nedokázala přesně vysvětlit distribuci vyzařovaného záření černého tělesa na různých frekvencích. Tento nedostatek vedl k závažné teoretické anomálii, nazývané "ultrafialová katastrofa", při níž teoreticky odhadovaná celková energie vyzařovaná černým tělesem roste do nekonečna při přechodu do ultrafialového spektra. Tento nesoulad mezi teorií a experimentálními výsledky vedl k nutnosti vyvinout novou teorii.

V rámci teorie Rayleigh-Jeans, která se snažila předpovědět radiaci černého tělesa na základě tehdy známých elektrodynamických zákonů, byly formulovány rovnice, které se pokusily vysvětlit vyzařování elektromagnetické energie z malého otvoru v dokonale leštěné dutině. Dutina, považovaná za trojrozměrný rezonanční systém, může uchovávat významné množství energie na rezonančních frekvencích, které jsou závislé na rozměrech dutiny.

Výsledkem je, že frekvence rezonancí v dutině jsou diskrétní a závisí na velikosti dutiny. Při zjednodušení, kdy předpokládáme, že dutina je kubická, dostáváme vztahy, které umožňují popsat chování elektromagnetických vln v této dutině. V těchto výrazech se objevuje souvislost mezi velikostí dutiny a frekvencemi, které mohou být v dutině přítomny.

Z tohoto základu se dostáváme k výpočtu počtu rezonančních stavů mezi různými frekvencemi a souvisejícímu vztahu mezi těmito stavy a energií vyzařovanou černým tělesem. Tento výpočet je klíčový pro kvantové pochopení chování radiace černého tělesa, která vyžaduje nový přístup, který zohledňuje kvantování energie.

Tato teorie byla postupně rozvíjena a vedla k tomu, že kvantová mechanika dnes hraje ústřední roli ve vysvětlování mikrosvěta a všech jeho specifických jevů, včetně chování světla a hmoty.

Jak se mění zisk a atenuace v polovodičových materiálech a jak to ovlivňuje optoelektronické technologie?

Polovodičové materiály, které jsou základem moderních optoelektronických zařízení, vykazují různé chování v závislosti na energii fotonů, teplotě a dalších parametrech, jako je koncentrace nosičů náboje. Zisk a atenuace jsou dvě klíčové veličiny, které popisují interakci světla s těmito materiály. Zisk charakterizuje schopnost materiálu zesilovat signál, zatímco atenuace ukazuje, jak materiál absorbuje světlo.

Koeficient zisku je závislý na energii fotonů, přičemž při určité energii fotonů (přesněji při hodnotě, která odpovídá rozdílu mezi energetickými hladinami vodivostního pásu a valenčního pásu) se polovodič stává pohlcujícím materiálem. Tento bod přechodu je velmi důležitý pro pochopení, kdy materiál přestává fungovat jako zesilovač a začíná absorbovat energii.

Při teplotách blízkých absolutní nule (T = 0 K) se zisk mění náhle, jakmile energie fotonů překročí hodnotu (Ef c − Ef v), což znamená, že materiál se stává pohlcujícím. Tento přechod je velmi ostrý a závisí především na energetických vlastnostech materiálu. Jakmile teplota stoupá, změna zisku se stává plynulejší a zisk postupně klesá až na nulu, než se materiál stane plně pohlcujícím.

Tento jev je zásadní pro pochopení chování optoelektronických polovodičových součástek, jako jsou LED diody, lasery a fotodetektory, které jsou citlivé na teplotní změny. S rostoucí teplotou se totiž mění efektivita emisí fotonů, což ovlivňuje výkon těchto zařízení.

Dalším klíčovým aspektem je inženýrství pásových mezer, které se používá k vytváření materiálů s přizpůsobenými vlastnostmi pro specifické aplikace. To znamená, že materiály mohou být navrženy tak, aby emitovaly nebo absorbovaly světlo na specifických vlnových délkách, což je velmi důležité pro aplikace, jako jsou laserové diody, fotodetektory a solární články.

V oblasti optoelektronických polovodičů je rovněž nezbytné pochopit principy optického spojitého hustoty stavů (Optical Joint Density of States), které se používají k modelování interakcí fotonů s elektronovými stavy v materiálu. To je klíčové pro porozumění pravděpodobnostem a rychlostem emisí a absorpcí fotonů.

Zároveň je důležité si uvědomit, jak se tyto teoretické principy uplatňují v reálných technologiích. V průmyslových aplikacích jsou stále více využívány materiály, které vykazují výjimečnou účinnost v specifických teplotních a energetických podmínkách, což vedlo k vývoji nových generací optoelektronických součástek. Zisk a atenuace jsou tedy nejen základními parametry pro design těchto součástek, ale také pro optimalizaci jejich výkonu v různých aplikacích.

Je třeba dodat, že účinnost a stabilita těchto materiálů je závislá na mnoha faktorech, včetně čistoty materiálu, typu a koncentraci dopantů, a také na kvalitě samotného zpracování součástek. Z tohoto důvodu je v oblasti optoelektroniky stále více kladeno důraz na materiálové inženýrství a precizní kontrolu výrobních procesů.

Jak efektivně používat EF Core a Dapper pro správu databáze a zpracování asynchronních operací
Jak se ztrácí v každodennosti: Příběh ztráty a hledání významu
Jak fungují předmíchané hořáky a atomizace v analytické spektroskopii plamenem
Jaké jsou hlavní typy zánětů štítné žlázy a jak se odlišují?