Co jsou křížení plášťů a krky / wormholes v geometrii Lemaître-Tolman?

V geometrii Lemaître-Tolman (L–T) se objevují specifické singularity, které jsou spojeny s jevy jako křížení plášťů (shell crossings) a krky (necks) neboli wormholes. Křížení plášťů jsou místa, kde se zhroutí prostorová vzdálenost mezi dvěma sousedními vrstvami materiálu, což může vést k vznikající singularitě. Tyto singularity se objeví, když se derivace metriky, zejména radiální složky R,r, stane nulovou v určitém bodě. V některých případech je možné, že výsledná singularita není tak destruktivní jako jiné typy, například velký třesk (Big Bang), což je důvod, proč křížení plášťů může být považováno za „slabou singularitu“.

Základní myšlenkou je, že při křížení plášťů se plášťová vzdálenost mezi vrstvami, které mají různé hodnoty r, zmenší až na nulu. Tento jev má důsledky pro hustotu hmoty, která se v těchto místech stává nekonečnou. Křížení plášťů je tedy obecně spojeno s problémem singularity, kde dochází k narušení normálních geodetických dráh.

Nicméně, jak ukazuje model L–T, v reálných astrofyzikálních objektech tlakové gradienty mohou působit proti vzniku těchto singularit. Také je známo, že křížení plášťů samo o sobě není tak nebezpečné, jak by se mohlo zdát. Na rozdíl od jiných singularit, například velkého třesku, kde se hmotné objekty zhroutí do bodu, u křížení plášťů se geodetické dráhy neskládají do jediného povrchu nebo čáry. To znamená, že objekty, které by prošly křížením plášťů, by nemusely být nutně zničeny. Tento jev tedy vytváří takzvané slabé singularity.

Dalším zajímavým jevem, který se v modelu L–T objevuje, je výskyt krků nebo wormholes. V tomto případě se prostor kolem singularity zkroutí do specifického tvaru, který připomíná „krk“ mezi dvěma oblastmi prostoru a času. Tento tvar může být zpočátku podobný Kruskal-Szekeresově „krku“ v Schwartschildově metrice, ale s tím rozdílem, že v modelu L–T nemusí být symetrický. Tato struktura, označovaná také jako neck, je významným rozšířením těchto známých topologických útvarů a naznačuje možnost cestování mezi různými oblastmi vesmíru prostřednictvím zvláštního prostoru.

V oblasti mezi těmito krky se situace stává fascinující, protože světelné paprsky, které vycházejí z určité oblasti (například z oblasti spadající pod minulý zjevný horizont), se nemohou dostat do jiných oblastí. Tento fenomén má zásadní důsledky pro naše chápání časoprostorových singularit a pro možnosti vzniku cestování mezi různými oblastmi vesmíru.

Když se podíváme na tuto strukturu z matematického hlediska, objevíme, že podmínky pro vznik takového „krku“ nebo wormholu jsou v modelu L–T poměrně specifické. Krk vzniká v případě, kdy se minulý a budoucí zjevný horizont setkávají ve stejném bodě, což je bod maximální expanze modelu. Tento bod lze analyzovat pomocí geodetických rovnic a metriky, které se zde aplikují na vzorcích pro Riemannův tensor.

Důležitým aspektem, který je třeba mít na paměti, je, že podobně jako u shell crossings, i wormholes nejsou nevyhnutelně destruktivní. Naopak, v některých situacích může být možnost existence těchto struktur v rámci modelu L–T považována za projev složitějších dynamických vlastností časoprostoru. Zároveň je nutné si uvědomit, že existují určité podmínky pro vznik takovýchto struktur, které musí být splněny jak na teoretické, tak na praktické úrovni při studiu astrofyzikálních objektů.

Přestože se křížení plášťů a krky objevují ve velmi specifických modelech, jako je model L–T, mají důsledky pro širší oblast studia gravitačních singularit a časoprostorových anomálií. Tyto jevy ukazují, jak složité a neintuitivní mohou být některé jevy v extrémních podmínkách gravitačních polí.

Přemýšlejme o tom, jak by takové struktury mohly ovlivnit naše chápání vesmíru a co by to znamenalo pro budoucí výzkum černých děr nebo jiných exotických objektů. Krky a křížení plášťů ukazují, že i když mohou být na první pohled nebezpečné nebo nepochopitelné, jejich skutečná povaha může být komplexnější, než bychom si přáli připustit.

Jak dosáhnout toho, aby diferenciace tenzorových polí vedla opět k tenzorovým polím?

V teorii tenzorů vystupuje jeden z nejzásadnějších problémů v tom, že běžná parciální derivace aplikovaná na tenzorové pole obecně nevede opět k tenzoru. To je značně problematické, neboť fyzikální zákony formulované pomocí diferenciálních rovnic by měly být kovariantní – tedy zachovávat svůj tvar ve všech souřadnicových systémech. Pokud derivace tenzoru přestává být tenzorem, ztrácíme tím tuto fundamentální vlastnost. Tento nedostatek nás vede k potřebě zobecněné derivace, která zachová tenzorový charakter výsledného objektu.

Při transformaci tenzoru z jednoho souřadnicového systému do druhého je nezbytné zohlednit, jak se mění jak souřadnice samotné, tak i jejich derivace. Při diferenciaci výrazů obsahujících jak transformace souřadnic, tak determinanty jakobianu dochází k tomu, že některé členy v důsledku antisymetrických a symetrických kontrakcí mizí. Například členy, v nichž se derivace dotýká symetrických faktorů, jsou při kontrakci s antisymetrickými objekty nulové, neboť symetrie a antisymetrie se vzájemně anulují.

Ukazuje se, že první a třetí člen v transformačním zákoně derivace tenzorového pole mají stejnou absolutní hodnotu, ale opačné znaménko. Díky tomu se navzájem zruší a výsledkem zůstává jediný člen, který odpovídá transformaci derivovaného tenzorového pole jako tenzorové hustoty určité váhy. Tento výsledek potvrzuje, že správně definovaná diferenciace — tedy kovariantní derivace — zachovává tenzorový charakter výsledku.

Konstrukce kovariantní derivace vychází z požadavků, aby splňovala několik základních axiomů. Musí být distributivní vůči sčítání, musí dodržovat Leibnizovo pravidlo při derivaci tenzorových součinů, a musí přecházet v běžnou parciální derivaci v případě skalárního pole. Dále požadujeme, aby derivace Levi-Civitova symbolu i Kroneckerova delta byla nulová, což je klíčové pro zachování symetrií. A nakonec — musí být zajištěno, že derivace tenzorové hustoty typu $[w, k, l]$ opět poskytne objekt téhož typu, ale s jedním dalším dolním indexem — tedy typu $[w, k, l+1]$ .

Tato poslední vlastnost je právě ta, kterou běžná parciální derivace nesplňuje. Tím se dostáváme k základnímu důvodu, proč je nutné přejít od parciální derivace ke kovariantní: chceme-li zachovat tenzorovou strukturu i po diferenciaci, musíme tuto diferenciaci rozšířit o korekční členy, které závisí na geometrii prostoru, konkrétně na spojitosti mezi jednotlivými body mnohosti.

Dále je důležité zavést pojem báze ve vektorových prostorech dotýkajících se každého bodu diferencovatelné mnohosti. V každém takovém tečném prostoru lze zvolit n lineárně nezávislých kontravariantních vektorů $e^\alpha_a$ , kde indexy $a, b, c$ označují příslušnost k bázi a řecké indexy $\alpha, \beta$ označují komponenty v souřadnicové reprezentaci. Matici tvořenou těmito vektory lze invertovat, čímž vznikne duální báze $e^a_\alpha$ , která splňuje vztahy ortonormálnosti.

Pomocí těchto bází lze přepsat komponenty libovolného tenzoru do skalárních funkcí vzhledem k bázi, což umožňuje oddělit geometrickou strukturu od algebraických vlastností tenzoru. Tím se otevírá cesta k formulaci tenzorové analýzy na diferenciálních varietách, kde souřadnice nejsou pevně dány, ale jsou určeny volbou souřadnicového systému, jenž se může měnit.

Zachování tenzorové povahy derivace je tedy zajištěno nikoliv přímo derivací komponent, ale jejich kombinací s geometrií danou strukturou báze a spojitostí. Proto v konečné formě kovariantní derivace vystupují takzvané spojkové koeficienty, jež reprezentují změny bázových vektorů v prostoru a zajišťují korekci běžné derivace tak, aby výsledný objekt měl opět tenzorový charakter. Tyto spojkové koeficienty jsou určeny geometrií prostoru a konkrétním výběrem spojitosti.

To vše ukazuje, že kovariantní derivace není pouze technický nástroj, ale fundamentální prostředek pro zachování invariantního významu fyzikálních zákonů ve všech souřadnicových systémech. V gravitační teorii, v teorii pole i ve fyzice kontinua se tato diferenciace stává nedílnou součástí každé formulace založené na principech obecné kovariance.

Je důležité si uvědomit, že zavedení kovariantní derivace neznamená jen algebraickou úpravu. Znamená to hluboký geometrický zásah do samotného chápání derivace jako lokální změny veličiny. V zakřiveném prostoru, nebo obecně na hladké varietě, nelze totiž porovnávat hodnoty tenzoru v různých bodech bez zavedení pravidla, jak je přenášet – což právě zajišťuje spojitost a s ní spojená kovariantní derivace.

Jak lze oddělit proměnné v rovnicích v metrice Kerr–Newman s elektromagnetickým polem?

V kontextu analýzy metriky Kerr–Newman, která popisuje prostor kolem rotujícího nabitého černého tělesa, hraje zásadní roli separace proměnných v rovnicích pohybu částic a polí. Separace je nezbytná pro analytické řešení rovnic, jako je Klein–Gordonova rovnice v zakřiveném prostoru s elektromagnetickým polem.

Klíčovým předpokladem pro oddělitelnost je, že faktor $-g/Z$ , který se vyskytuje ve všech relevantních termínech, závisí pouze na souřadnicích $r$ a $\mu$ (s $\mu = \cos \vartheta$ představuje kosinus úhlu). Aby bylo možné proměnné oddělit, musí být výraz $\sqrt{ -g}/Z$ rozložitelný na součin funkce pouze $r$ a funkce pouze $\mu$ . To vede k nutnosti zvolit funkci $Z$ ve tvaru $Z = U_{\mu}(\mu) + U_r(r)$ , kde $U_{\mu}$ a $U_r$ jsou funkce jedné proměnné.

Další důležitou podmínkou je nulová křížová derivace $Z_{,r\mu}$ , což v konečném důsledku znamená, že některé parametry $Z_r, Q_\mu, Z_\mu, Q_r$ musí být konstantní nebo nulové. Z této analýzy vyplývají tři základní případy, přičemž vhodnou volbou jsou konstanty $Q_r = C_r$ a $Q_\mu = C_\mu$ . Ta vedou k výslednému tvaru metriky, která umožňuje oddělení proměnných a zachování symetrií metriky Kerr–Newman.

Inkluze elektromagnetického pole, reprezentovaného 4-potenciálem, výrazně nekomplikuje separaci, pokud předpokládáme, že netriviální složky potenciálu $A_\alpha$ jsou pouze časová a axiální ( $t$ a $\varphi$ ) a závisí pouze na $r$ a $\mu$ . Pak lze elektromagnetický potenciál vyjádřit ve tvaru, který odpovídá metrice a zachovává symetrie, což umožňuje uplatnění stejných metod separace jako v neelektromagnetickém případě.

Postupem vyšetření Einsteinových a Maxwellových rovnic, s přihlédnutím ke kosmologické konstantě a možnému magnetickému náboji, docházíme ke konkrétním formám funkcí $Z_r$ a $Z_\mu$ , které odpovídají známému řešení Kerrovy metriky s přidanými parametry rotace a náboje. Tyto funkce jsou kvadratické v proměnných $r$ a $\mu$ , což odráží základní geometrickou strukturu rotujícího černého tělesa.

Řešení elektromagnetických polí vede k explicitnímu vyjádření komponent elektromagnetického tenzoru $F_{\alpha \beta}$ , přičemž lze přesně určit složky pole ve vztahu k funkcím $X_r$ a $X_\mu$ , které závisí pouze na jedné proměnné. Taková struktura opět potvrzuje separovatelnost a umožňuje rozklad komplexních rovnic do jednodušších, řešitelných částí.

V závěru jsou získány explicitní tvary metrických funkcí $\Delta_r$ a $\Delta_\mu$ , které obsahují parametry hmotnosti $m$ , kosmologické konstanty $\Lambda$ , rotace $a$ a elektrického a magnetického náboje $e, q$ . Tyto funkce jednoznačně definují geometrii prostoru kolem rotujícího nabitého černého tělesa v rámci Einstein–Maxwellovy teorie s kosmologickou konstantou.

Pro pochopení a aplikaci těchto výsledků je zásadní uvědomit si, že separace proměnných není pouze technickým krokem, ale hlubokým vyjádřením symetrií prostoru a polí, které zjednodušují složité rovnice do řešitelných forem. Umožňuje analytické studium kvantových polí a pohybu částic v těchto geometrických strukturách a poskytuje základ pro pochopení stabilitních vlastností, kvantových efektů a interakce elektromagnetických polí s gravitačními.

Dále je důležité vědět, že některé volby konstant a funkcí nejsou pouze matematickými artefakty, ale mají přímý fyzikální význam — například vyloučení nesymetrických členů zajišťuje zrcadlovou symetrii vůči rovníkové rovině, což je požadavek na fyzikálně smysluplné řešení. Přítomnost kosmologické konstanty a magnetického náboje rozšiřuje možnosti modelu a umožňuje studium černých děr v různých kosmologických a fyzikálních situacích.

Pro úplnost a správnou interpretaci je nutné brát v potaz, že přesnost a konzistence těchto řešení závisí na správném dodržení podmínek, jako jsou nulové křížové derivace a symetrie potenciálu. To umožňuje nejen získat řešení, ale i pochopit jejich fyzikální důsledky a limity platnosti v rámci obecné teorie relativity a kvantové teorie polí.

Jaké jsou limity symetrií a skupин invariance v Riemannových prostorech?

Symetrie v Riemannových prostorech mají základní roli ve studiu geometrií a jejich vlastností. Tyto symetrie mohou být rozděleny do několika kategorií, včetně izometrií, kolineací a konformních symetrií. V této části se zaměříme na omezení, která se vztahují na dimenze symetrických skupin a jejich vliv na metriky v různých prostorech.

Pro n > 2 existuje maximální možná dimenze konformních symetrií, která může být maximálně $\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$ . To znamená, že pro každou dimenzi n existuje konečná základna generátorů konformních symetrií, což je zároveň maximální dimenze izometrické skupiny v (n+1)-dimenzionálním prostoru. Je však třeba zvážit zvláštní případ pro n = 2, kde situace vykazuje odlišnosti.

V případě dvourozměrného povrchu se z rovnice vyplývá, že jakákoli objekt, který je antisymetrický v obou indexech, musí být proporcionální symbolu Levi-Civity. To vede k závěru, že v tomto případě existují pouze omezení, která se vztahují k konkrétní formě tensoru, a to i přes to, že při diferenciaci rovnice zůstanou nevyjádřené vyšší derivace. Taková situace je důsledkem toho, že každá dvourozměrná metrika je konformně plochá, což znamená, že jakákoli transformace tuto plochost zachová a metrika bude stále konformně ekvivalentní původní metrice.

Při analýze dimenze symetrických skupin v Riemannových prostorech musíme také vzít v úvahu několik teoremů. První z nich říká, že dimenze symetrické skupiny metriky $g_{\alpha\beta}$ je větší nebo rovna dimenzi symetrické skupiny její limitní metriky $h_{\alpha\beta}$ , pokud limitní proces nevede k singulárnímu bodu. To znamená, že v případě limitních metrik může dojít k zachování všech symetrií původní metriky, ale mohou se objevit i nové symetrie v případě, že existuje vektorové pole, které v limitním procesu generuje nové transformace.

Další teorem zdůrazňuje, že plochý Riemannův prostor je limitním případem jakéhokoli zakřiveného Riemannova prostoru v každé nesingulární oblasti. Tento výsledek má významný fyzikální dopad, protože říká, že speciální relativita je nulově zakřivený limit obecné relativity. To potvrzuje, že každá zakřivená časoprostorová struktura může být považována za limitní případ Minkowského prostoru. Avšak v místech s nekonečným zakřivením (singulární body) se tento limitní proces neprovede, neboť v těchto bodech neexistuje žádná tangentní plocha.

Teorem o dimenzi symetrické skupiny v Riemannových prostorech pak konstatuje, že žádný Riemannův prostor nemůže mít symetrickou skupinu větší dimenze než symetrická skupina plochého Riemannova prostoru. Plně symetrické prostory, jako jsou prostory s konstantní křivostí, mohou mít symetrické skupiny maximální dimenze, ale jsou neizometrické s plochým prostorem, ať už mají křivost kladnou, nulovou nebo zápornou.

V souhrnu, symetrie v Riemannových prostorech představují fascinující a složité jevy, které nejsou pouze matematickou abstrakcí, ale mají zásadní význam pro pochopení struktury vesmíru. Limity dimenzí symetrických skupin ukazují, že prostor a čas mají inherentní vlastnosti, které jsou vázány na geometrii samotného prostoru. Tato omezení musí být zohledněna nejen v teoretických modelech, ale i v praktických aplikacích, například v rámci teorie relativity.

Je důležité si uvědomit, že při studiu těchto témat je nezbytné mít na paměti, že symetrie a jejich skupiny mohou být mnohem bohatší v určitých limitech prostorů, ale vždy existují fundamentální principy, které definují jejich rozsah a omezení. Pokračování ve studiu těchto symetrií nám pomáhá lépe pochopit nejen samotnou strukturu prostoru, ale i možné transformace a symetrie, které mohou být aplikovány na různé fyzikální modely.

Jakým způsobem se odvodí Einsteinovy rovnice?

Pokud $\mathcal{V} \, d^4x$ má být skalárním objektem, pak $\mathcal{H}$ by měl být skalární hustotou hmotnosti o váze -1, protože objemový element $d^4x$ je skalární hustotou o váze +1. Nejjednodušší skalární hustotou váhy -1 je $-g$ . Tak tedy platí $\mathcal{H} = -gH$ , kde $H$ je řádný skalár.

Pořadí Eulerových–Lagrangeových rovnic je dvojnásobek pořadí nejvyšší derivace v akčním integrálu. Bylo by tedy nejlepší, kdyby $H$ byl funkcí pouze metriky $g_{\mu\nu}$ a její derivace $g_{\mu\nu,\lambda}$ . Nicméně není možné vytvořit netriviální skalár kombinováním algebru metriky $g_{\mu\nu}$ a jejích derivací $g_{\mu\nu,\lambda} = \rho g + \rho_{\mu\lambda\nu\rho} g_{\nu\lambda\mu\rho}$ , protože Christoffelovy symboly nejsou tenzory. Druhé derivace metriky, pokud jsou přítomny v $H$ , nepřinesou žádný příspěvek k Eulerovým–Lagrangeovým rovnicím, pokud je možno je seskupit do divergencí výrazu, který zmizí na okraji integračního objemu. To bude možné, pokud $g_{\mu\nu,\rho\sigma}$ vstupují do $H$ lineárně, tedy pokud jsou kontrahovány pouze s termíny, které neobsahují druhé derivace metriky. Výrazy lineární v Riemannově tenzoru jsou tohoto druhu. Jediné výrazy, které mohou být postaveny z Riemannova tenzoru a jsou lineární v $g_{\mu\nu,\rho\sigma}$ , jsou $R^{\rho\beta\rho\delta} = R_{\beta\delta} = -R^{\rho\beta\delta\rho}$ a $g_{\alpha\beta}R^{\alpha\beta} = R$ . Tedy $H = g_{\alpha\beta}R^{\alpha\beta} = R$ , a $\sqrt{ -g} = -gR d^4x$ .

Přesněji řečeno, tento akční integrál by měl být pro levou stranu pole rovnic. Celkový akční integrál by měl vypadat jako $\int W = W_g + L d^4x$ , kde $L = 0$ v prázdném prostoru. Než začneme počítat variaci $\delta W_g / \delta g_{\alpha\beta}$ , všimněme si dvou pomocných rovnic:

$\delta g = \epsilon_{\alpha_1\ldots\alpha_4} \epsilon_{\beta_1\ldots\beta_4} g_{\alpha_1\beta_1} g_{\alpha_2\beta_2} g_{\alpha_3\beta_3} \delta g_{\alpha_4\beta_4} = g \epsilon_{\alpha_1\ldots\alpha_4} g_{\beta_1\rho_1} \ldots g_{\beta_4\rho_4} \epsilon_{\rho_1\ldots\rho_4}$ ,
$\delta g_{\alpha\beta} = -g_{\alpha\rho} g_{\beta\sigma} \delta g_{\rho\sigma}$ .

V (12.24) jsme použili (3.39), její derivaci, (7.103), (3.32) a (3.37). Rovnice (12.25) vyplývá diferenciací rovnice $g_{\alpha\rho} g_{\beta\rho} = \delta_{\alpha\beta}$ . Je třeba poznamenat, že variace Christoffelových symbolů představují rozdíly mezi Christoffelovými symboly vypočítanými z různých metrických tenzorů na stejném bodě.

Pokud nyní aplikujeme Stokesovu větu na divergenci vektorových hustot, zjistíme, že termíny na okraji oblasti $\mathcal{V}_4$ zmizí, pokud je $\delta g_{\alpha\beta}$ na okraji $\mathcal{V}_4$ nulové. To nám umožňuje tvrdit, že integrál (12.29) bude nulový. Tento výsledek, spolu s předchozími výpočty, poskytuje základ pro derivaci Einsteinových rovnic.

Pokud označíme $\delta L / \delta g_{\alpha\beta} = -\kappa \, g T_{\alpha\beta}$ , pak z rovnice $\delta W = 0$ a s použitím vztahů (12.23) a (12.32) vyplývá rovnice (12.21). Hilbertova metoda nám neříká, co by mělo být $T_{\alpha\beta}$ ; to byl schopen specifikovat pouze pro elektromagnetické pole v prázdném prostoru. Variacionální princip Hilberta funguje při odvozování Einsteinových rovnic v plné obecnosti.

Při práci s méně obecným metrikem, například s metrikami s určitou symetrií, může variacionální princip vést k rovnicím, které nemají žádný vztah k Einsteinovým. To je známo u velké podmnožiny Bianchiho typů, kvůli jejich prostorové homogenitě. Když jsou všechny metriky fiduciarni prostorově homogenní, jejich variace jsou také prostorově homogenní. Nelze je tedy předpokládat, že zaniknou na okraji – zaniknou buď všude, nebo nikde. V důsledku toho nelze opomenout okrajové členy.

Palatiniho variacionální princip, v němž je metrický tenzor a koeficienty připojení považovány za dvě nezávislé proměnné, poskytuje ještě obecnější způsob odvození Einsteinových rovnic. Tento přístup ukazuje, jak se koeficienty variací koeficientů připojení musí zrušit a jak by se měly odvodit rovnice, které vedou k Einsteinovým rovnicím.

Pro skutečné chápání této teorie je zásadní mít na paměti, že všechny tyto výpočty a principy jsou aplikovány na modely, kde jsou zjednodušené metriky a symetrie, což usnadňuje výpočty, ale nezaručuje, že v reálných podmínkách budeme mít jednoduché řešení. Důležité je také si uvědomit, že v praxi tyto principy slouží jako výchozí bod pro analýzu různých kosmologických a fyzikálních modelů, kde se výsledky liší v závislosti na složitosti a specifikách daného systému.

Jak funguje predikce v 3D-HEVC a jaké jsou její struktury a metody pro efektivní kódování videa
Jak modelování a optimalizace zlepšují výkon fotovoltaických zařízení?
Jak fungují hyperbolické tesselace a их геометрическая природа?