Jak dosáhnout konsensu v nelineárních heterogenních systémech?

V dynamice víceagenta (MAS) je kladeno důraz na dosažení konsensu, tedy stavu, kdy všechny agenti dosahují vzájemné shody nebo synchronizace jejich stavů. Tento proces je zvláště složitý, když každý agent má jiné dynamiky a může být vystaven různým nelineárním perturbacím. Základem pro zajištění konsensu je robustní řízení a návrh vhodných adaptivních mechanismů.

Pro ilustraci uvažujme řízení systému, ve kterém je každý agent ovlivněn nelineárními neznámými parametry, jak je popsáno v příkladu výše. Kontrolní systém pro tento případ zahrnuje speciálně navržené parametry, které zohledňují nejhorší scénáře, aby byla zajištěna stabilita systému a dosažení konsensu. Tento přístup je známý jako „robustní technika“, kde se uvažuje o nejhorší možné situaci pro všechny agenti v rámci kompaktního množiny.

Teorem 5.2 ukazuje, že pokud jsou parametry řízení správně zvoleny, jako jsou parametry ς a ρ, systém může dosáhnout konsensu. Tyto parametry musí splnit podmínky, které zajišťují stabilitu uzavřeného systému. V tomto případě je kladeno důraz na to, aby hodnota ς byla větší než λP max/2 + 1, což je klíčovým prvkem pro zajištění potřebného chování dynamiky systému. Další podmínka týkající se parametru ρ zajišťuje, že systém bude schopen kompenzovat vlivy nelineárních perturbací a dosáhnout konsensu i přes přítomnost těchto poruch.

Podrobnější analýza uzavřeného systému ukazuje, že složité interakce mezi jednotlivými složkami systému mohou být efektivně kontrolovány pomocí navrženého kontroléru (5.32). Tento kontrolér umožňuje agentům vzájemně se synchronizovat, i když každý z nich čelí různým dynamikám a nelineárním vlivům. Jak je ukázáno v příkladu 5.3, kde šest agentů vykazuje heterogenní nelineární dynamiku, klasické lineární řízení nedokáže zajistit konsensus. Naopak použití navrženého adaptivního kontroléru umožňuje agentům dosáhnout požadovaného konsensu, přičemž jednotlivé dynamiky jsou řízeny s ohledem na nejhorší scénáře.

Vztah mezi různými složkami řízení, jako jsou matice M a P, je klíčovým faktorem pro zajištění stabilního chování systému. Matice M je negativně definitní a její maximální vlastní hodnota je záporná, což je nezbytné pro dosažení stabilního uzavřeného systému. Tento fakt je zásadní pro stabilitu a růst systému, který se musí přizpůsobit změnám ve vstupech a perturbacích. Na druhé straně matice Pη je pozitivně definitní, což znamená, že systém bude mít stabilní vlastnosti i při vysokých hodnotách perturbačních faktorů.

Je důležité si také uvědomit, že pro dosažení konsensu je třeba, aby všechny složky systému byly řízeny koordinovaně a že každý agent musí mít schopnost reagovat na změny v chování ostatních agentů v reálném čase. Tento druh koordinace vyžaduje vysokou úroveň synchronizace mezi agenty, což je dosaženo pomocí sofistikovaných metod řízení, které zohledňují jak lokální, tak globální dynamiku systému.

Při návrhu těchto kontrolních strategií je nutné brát v úvahu nejen matematickou analýzu stability, ale i konkrétní aplikace a scénáře, kde se tyto systémy používají. Například v robotických systémech nebo distribuovaných senzorech je dosažení konsensu klíčovým faktorem pro správnou funkci celého systému. Bez efektivního řízení a synchronizace by agenti nemuseli být schopni spolupracovat, což by vedlo k nesouladu v chování systému a ztrátě výkonu.

Jak dosáhnout konsenzu v systémech s přepínanými dynamikami: ISS analýza a stabilita

Na základě těchto vlastností a použití Teoremu 2.5 lze tvrdit, že přepínaný systém (8.59) je ISS, což znamená, že existuje třída $KL$ funkce $\beta$ a třída $K$ funkce $\gamma$, tak že:

kde $\gamma \geq \max \{ 2 \gamma_1 \gamma_2, 2 \gamma_2 \}$. Tento výsledek poskytuje stabilitu systému a potvrzuje, že v rovnovážném bodě v počátečním stavu bude dosaženo konsenzu.

Představme si nyní teorema, které formalizuje tento výsledek:

Teorema 8.2: Zvažte MAS (8.58) s nelineárními nejistotami $g(v, w)$, které splňují podmínky (5.27), a vybavené sítí (8.1) podle předpokladů v Assumpci 8.2. Představte si, že regulátor (8.48) používá signál přepínání $\sigma(t)$, který splňuje Assumpci 8.1. Pokud je $K$ vybráno tak, že $A_s - B_sK$ je Hurwitz a $\kappa > 0$, pak existují hodnoty $\rho > 0$ a $Q > 0$, které zajistí, že uzavřený smyčkový systém dosáhne konsenzu podle vzoru (3.41).

Důkaz této teorie zahrnuje analýzu ISS čtyř subsystémů systému (8.56) v uvedených krocích. Podrobnosti této analýzy jsou následující:

1. Subsystem $\chi$: Tento subsystém je opakován v (8.59). Dle Lemma 8.4 je ISS vzhledem k vstupu $\delta$. Existuje třída $KL$ funkce $\beta_1$ a konstanta $\gamma_1 > 0$, která splňuje:

2. Subsystem $\eta$: Vzhledem k tomu, že $A_s - B_sK$ je Hurwitz, existuje pozitivně definitní matice $P > 0$, která splňuje rovnice (8.63). Můžeme konstruovat Lyapunovovu funkci pro subsystém $\eta$, která je definována jako $V_2(\eta) = \eta^T (P \otimes I_{N-1}) \eta$, a její časová derivace je negativní, což ukazuje, že subsystém $\eta$ je ISS.

3. Subsystem $\delta$: Pro tento subsystém je definována Lyapunovova funkce $V_3(\delta) = \delta^T \delta$, jejíž časová derivace ukazuje, že subsystém je ISS.

4. Subsystem $\hat{s}$: Tento subsystém vykazuje expontenciální stabilitu díky Lyapunovově funkci $V_4(\hat{s}) = \hat{s}^T P \hat{s}$, což garantuje, že $\hat{s}$ je stabilní.

5. Celkový systém: Kombinací těchto subsystémů a využitím malého ziskového teorému můžeme dojít k závěru, že celý systém dosáhne konsenzu. Pro systém (8.56) existuje třída $KL$ funkce $\hat{\beta}_1$ taková, že:

kde $\gamma_\varphi = \max \{ 2 \gamma_1 \gamma_2, 2 \gamma_2 \}$. Pokud je splněna podmínka $\gamma_\varphi \gamma_\psi < 1$, pak systém (8.56) dosáhne stabilního rovnovážného bodu a konsenzu.

Ve výše uvedeném procesu je důležité, aby čtenář pochopil, že analýza ISS subsystémů je klíčová pro zajištění stabilizace celého systému. Každý subsystém je třeba vyhodnocovat zvlášť, přičemž konečný výsledek, tedy stabilita systému a dosažení konsenzu, závisí na správné aplikaci malého ziskového teorému a stabilitní teorie pro jednotlivé složky systému. Stabilita systému tedy není dosažena pouze pro jednotlivé komponenty, ale i jejich vzájemnou interakcí.

Jak dosáhnout konsensu pomocí vzorkovaných dat v referenčních modelech?

Významným aspektem je, že vzorkovací okamžiky agentů nejsou nutně synchronní. Také doby vzorkování používané pro místní regulaci $T_{smp}^i$ se mohou lišit od dob vzorkování použité pro komunikaci přes síť $T_{net}$.

Pro řešení problému konsensu v referenčních modelech, které jsou definovány rovnicemi (14.1) a (14.4), se poskytuje dostatečná podmínka pro dosažení konsensu podle vzoru (3.14). Tento problém konsensu byl již řešen v teoremu 3.2 pro kontinuální modely, a v tomto případě se aplikuje obdobná metoda pro řízení vzorkovaných dat. Uzavřený smyčkový systém sestávající z rovnic (14.1) a (14.4) s parametrem $\mu_i = \mu_{net}^i$ je popsán rovnicí (14.10), která se upravuje pomocí transformace souřadnic (2.33).

Pro analýzu stability v případě systému se zpožděním se využívá Lyapunovovo-Razumikhinovo teorém (Teorema A.2), jelikož standardní Lyapunovova přímá teorie (Teorema 2.2) není v tomto případě dostač