Jak fungují metriky rodiny Szekeres–Szafron

Rodina metrik Szekeres–Szafron je jedním z fascinujících příkladů v relativistické kosmologii, která se zaměřuje na studium geometrie prostoru-času, kde nejsou přítomny žádné symetrie. Tento typ metriky popisuje prostor-čas s různými geometrickými vlastnostmi, které mohou mít různé zakřivení v závislosti na volbě parametrů.

Přítomnost funkce $\Phi(t, z)$, která vyhovuje rovnicím (20.46), určuje, jak se šíří geometrické vlastnosti časoprostoru v závislosti na čase a prostoru. Je to klíčová funkce, která určuje vývoj kosmologických parametrů a může mít formu specifických eliptických funkcí, jak ukázali Barrow a Stein-Schabes (1984). Když je například tlak p roven nule, rovnice (20.38) a (20.35) se zjednodušují a poskytují řešení, které jsou známá z předchozích kosmologických studií.

V rámci metriky Szekeres–Szafron je důležité si uvědomit, že tento typ prostoru nevede k symetrii v tradičním smyslu. To znamená, že ve většině případů je prostorový čas nesymetrický, což vede k tomu, že v různých oblastech prostoru se zakřivení a struktura mohou lišit. Tento jev je způsoben asymetrickým uspořádáním a rozmístěním hvězdných a galaktických struktur v různých oblastech vesmíru, což je také jedním z důvodů, proč není možné aplikovat jednoduché symetrické modely, jak tomu je u Robertson-Walkerových metrik.

Další zajímavou vlastností je, že pro různé hodnoty parametrů mohou být povrchy konstantního času (t = konst.) a konstantního prostoru (z = konst.) odlišně zakřivené. Tak například povrchy v určitém regionu mohou být kulové (sférické), zatímco v jiných oblastech mohou být povrchy s negativním zakřivením, což se projevuje jako hyperbolické plochy. To je důsledek parametrických funkcí, které definují geometrii těchto prostorů.

Na závěr je důležité si uvědomit, že metriky rodiny Szekeres–Szafron umožňují velmi flexibilní popis kosmologických modelů, které nejsou limitovány na specifické symetrické prostory. Takové modely mohou být zvláště užitečné v situacích, kde jsou předpoklady o symetrii prostoru neadekvátní, jako je tomu v případě reálných galaxií a struktury vesmíru.

Jak se vyhnout shell crossingům v kvazisférických řešeních Szekeresova typu?

V kvazisférických řešeních Szekeresova typu představují shell crossingy místa, kde se hustota stává nekonečnou, protože se vrstvy látky v modelu vzájemně „překrývají“. Tyto singularity nejsou fyzikálními singularitami prostoru-času jako např. v centru černé díry, ale spíše důsledkem nesprávného chování modelu v určitých oblastech souřadnic. K jejich charakterizaci slouží funkce χ, definovaná jako rozdíl derivací metrické funkce Φ a funkce ℰ, která popisuje prostorové nepravidelnosti modelu.

Podrobná algebraická analýza ukazuje, že diskriminanty kvadratických výrazů určujících nulové body funkce χ s ohledem na x a y – značené Δx a Δy – musí být záporné, aby shell crossing nenastal. V kvaziroviném modelu (ε = 0) je Δy vždy nezáporné, což znamená, že shell crossingům se nelze vyhnout, pokud není rozmezí proměnných x a y vhodně omezeno. Řešením je topologická identifikace hranic v rovině (x, y), která však kvůli asymetrii metriky vyžaduje zrcadlovou identifikaci stran. Výsledná plocha je jednoplošná, tzv. projektivní rovina, což přináší nové topologické potíže. Pro jejich odstranění je třeba poskládat čtyři základní obdélníky do orientovatelného celku se dvěma stranami, čímž vznikne nová elementární plocha.

V případě sférické geometrie (ε = +1) existuje možnost, jak zajistit, že χ bude mít po celé rovině (x, y) stejný znaménko – a tedy že shell crossingy nenastanou. Podmínkou je, že druhá derivace funkce Φ podle z, dělená druhou mocninou Φ, je větší než výraz Ψ² definovaný jako (P,z² + Q,z² + εS,z²)/(S²Φ²). Pokud je rovnost přesně splněna, vzniká shell crossing jako jediný bod v každé konstantní t-z ploše. Pokud je nerovnost porušena, locus χ = 0 tvoří kružnici v rovině (x, y), případně přímku, která je projekcí kružnice na kulové ploše konstantního t a z.

Při hyperbolickém vývoji (k < 0) se ukazuje, že nezbytnou podmínkou pro zachování kladnosti Φ,z je, aby derivace časové funkce velkého třesku tB podle z byla záporná: tB,z < 0. Rovněž derivace k musí být záporná: k,z < 0. U parabolického vývoje (k = 0) jsou podmínky jednodušší: Φ,z musí být kladné a zároveň větší než výraz ℰ,z /ℰ.

V případě eliptického vývoje (k > 0) vznikají komplikace při blížení se k momentu „crunchu“, tedy konečného kolapsu modelu. Aby se zabránilo vzniku shell crossingů, musí časový okamžik tohoto kolapsu, určený výrazem tC = tB + 2πM/k^3/2, růst s rostoucím z. Jinými slovy, kolaps musí nastávat později ve směru rostoucí souřadnice z. Splnění těchto podmínek zajišťuje, že Φ,z /Φ zůstává větší než M,z /(3M) a že tedy χ zůstává pozitivní.

Prostorově konečné topologie, jako jsou uzavřené vesmíry nebo červí díry, nutně obsahují extrémy funkce Φ, tedy její maxima nebo minima. V takovém případě musí být splněna podmínka χ = 0 v bodech, kde Φ,z = 0, aby metrika zůstala regulární. To znamená, že v těchto bodech musí také platit M,z = 3Mℰ,z /ℰ, a to pro všechna t i všechna x, y. Dále je třeba, aby poměr χ / √(ε − k) zůstával konečný a nenulový, aby se zachovala regularita metriky i v okolí těchto extrémů.

Zachování regularity modelu a vyhnutí se shell crossingům tedy vyžaduje nejen globální kontrolu nad chováním funkcí Φ, M, k, tB, ale i přesnou kontrolu prostorových derivací funkcí určujících anisotropii a inho

Jak vnímat geometrii subprostoru Vn v obalovém prostoru UN

Začneme tím, že pro daný vektorový prostor $V_n$ s metrikou $G_{AB}$, která je definována v jeho vnitřním prostoru, a vektorem $Y^A$, který je tangentní k tomuto prostoru, můžeme formulovat základní rovnice, které popisují chování geometrií subprostoru ve vyšších dimenzích. Když tento vektor $Y^A$ diferenciujeme kovariantně, dostaneme vztahy mezi druhými a třetími derivacemi, které ukazují, jak se geometrie subprostoru mění, když se pohybujeme podél různých směrových vektorů v obalovém prostoru.

Rovnice druhé fundamentální formy, která je definována jako $\Omega(Ŝ)_{\alpha\beta}$, nám umožňuje zkoumat, jak se mění vektory normálové báze při pohybu podél vektorů tangenciálních k subprostoru. Tento přístup je zásadní pro analýzu, jak geometrie subprostoru ovlivňuje jeho okolí v obalovém prostoru.

Pokud se zaměříme na integrabilitu těchto rovnic, zjistíme, že jsou splněny pouze tehdy, když je splněna Ricciho formule pro zakřivení $R_{\rho\alpha\beta\gamma}(g)$, což ukazuje na hlubokou propojenost mezi geometrií subprostoru a jeho vlastnostmi v obalovém prostoru. Tento vztah nám dává návod, jak zjistit, zda je možné daný subprostor $V_n$ vložit do vyššího prostoru $U_N$.

Je rovněž důležité pochopit, že křivost subprostoru není pouze funkce vnitřní geometrie, ale závisí na tom, jak je tento subprostor zasazen do vyšší dimenze. Tato závislost je vyjádřena právě ve zmíněné druhé fundamentální formě, která je v podstatě "zrcadlem" toho, jak se subprostor chová v rámci širšího prostoru. Tento jev je obzvlášť užitečný při porovnávání subprostorů, které mají stejné vnitřní geometrie (například u plochy a válce v Eukleidovském prostoru), ale liší se v tom, jak jsou umístěny v tomto prostoru.