Jak je možné prodloužit prostor-čas Lemaître-Tolman přes singularitu shell crossing a co to znamená pro kosmologii?

V teorii relativity a kosmologii představují singularity často nejistá místa, kde klasická fyzika ztrácí platnost. Singularita shell crossing, charakteristická pro Lemaître-Tolmanovy (L–T) modely, je však vnímána jako méně závažná než například singularita Velkého třesku nebo Velkého křachu (Big Crunch). Důvodem je fakt, že shell crossing vzniká jako důsledek zanedbání tlakových gradientů, které by v reálných podmínkách pravděpodobně zabránily nekonečnému zhroucení

Jak funguje více-dimenzionální Kroneckerův delta a symbol Levi-Civity v teorii tenzorů?

Pro daný n-rozměrný soubor veličin $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$, vstupuje součin do součtu se znaménkem plus pro sudé permutace a se znaménkem minus pro liché permutace. Tato kvantita (3.24) je také antisymetrická vůči všem indexům $\beta_i$ (viz Cvičení 1). To znamená, že $[D(A)]_{\beta_1 \dots \beta_n}$ zmizí, pokud jsou dva indexy $\beta_i, \beta_j$ shodné (tedy pokud se v matice $A$ objeví stejný řádek na pozicích $i$ a $j$). Takto definovaný tensor má všechny vlastnosti determinantu 1... $\beta_n$ matice $A$. Výsledkem bude +$\det(A)$, když permutace $\{1, \dots, n\} \rightarrow \{\beta_1, \dots, \beta_n\}$ je sudá, a $-\det(A)$, pokud je permutace lichá. Výsledný vztah pak lze zapsat jako:

$$\epsilon^{\alpha_1 \dots \alpha_n} A_{\alpha_1 \dots \alpha_n} = \epsilon^{\beta_1 \dots \beta_n} \det(A).$$

Dále si vezmeme matici parciálních derivací (Jacobiho matici) pro transformaci souřadnic $\{x\} \rightarrow \{x'\}$. Můžeme zapsat vztah:

$$\frac{\partial x'}{\partial x} \epsilon^{\alpha'_1 \dots \alpha'_n} = \frac{\partial x}{\partial x'} \epsilon^{\alpha_1 \dots \alpha_n}.$$

Tento vztah ukazuje, že symbol $\epsilon^{\alpha_1 \dots \alpha_n}$ je tenzorová hustota typu $[1, 0, n]$.

Pokud se nyní podíváme na více-dimenzionální Kroneckerův delta, jeho definice je následující: pro dva indexy $\alpha$ a $\beta$ platí:

$$\delta_{\alpha \beta} =$$

\begin{cases} 1, & \text{pokud} \ \alpha = \beta \\ 0, & \text{pokud} \ \alpha \neq \beta \end{cases}

Tento objekt je tenzorem, protože splňuje transformační zákon pro matici druhého řádu. Pokud jde o více-dimenzionální Kroneckerův delta, definice se rozšiřuje na následující:

Z této definice vyplývá, že pokud jsou indexy $\alpha_1, \dots, \alpha_k$ a $\beta_1, \dots, \beta_k$ různé, pak determinanta nebude nulová. Naopak pokud se některé indexy shodují, determinant je nulový.

$$\delta_{\alpha_1 \dots \alpha_n}^{\beta_1 \dots \beta_n} = \epsilon_{\alpha_1 \dots \alpha_n} \epsilon_{\beta_1 \dots \beta_n}.$$

Důležité vlastnosti tohoto Kroneckerova delta jsou následující. Pokud jsou indexy $\alpha_1, \dots, \alpha_k$ a $\beta_1, \dots, \beta_k$ permutací, delta je rovno +1, pokud je permutace sudá, a -1, pokud je permutace lichá. Pokud však permutace není platná, hodnota delty je nulová.

K aplikacím symbolů Levi-Civity a Kroneckerových deltas patří i výpočty determinantu smíšených tensorů. Můžeme ověřit, že determinant smíšeného tenzoru je skalár, jak ukazuje vzorec:

V tomto případě je determinant smíšeného tenzoru skalární veličinou.

Podobně pro determinanty u kontravariantních a kovariantních tensorů existují výrazy:

$$\det(B_{\alpha \beta}) = \epsilon_{\alpha_1 \dots \alpha_n} \epsilon_{\beta_1 \dots \beta_n} B_{\alpha_1 \dots \alpha_n} B_{\beta_1 \dots \beta_n}.$$

Tento výraz ukazuje, že determinant kovariantního tenzoru je hustota skalární s váhou -2.

Pro doubly kontravariantní tenzory je determinant hustotou s váhou +2:

Symboly Levi-Civity a Kroneckerovy delty se tedy stávají nástroji pro jednoduchý výpočet determinantu a antisymmetrizačních operací bez potřeby složitějších úvah.

Jak se mění aktivní hmotnost v modelech Lemaître-Tolman?

Modely Lemaître-Tolman (L-T) popisují dynamiku vesmíru v rámci specifických předpokladů o jeho geometrii a topologii. Představují bohatou třídu řešení, které umožňují formulovat různé kosmologické scénáře s odlišnými vlastnostmi zakřivení prostoru-času. Zajímavé je, že některé z těchto modelů mohou vykazovat chování, které je zcela odlišné od běžně známých Friedmannových modelů, zejména v oblasti chování aktivní hmotnosti a její interakce s geometrií vesmíru.

Novikov ve své interpretaci ukazuje, že přidání hmoty do určitého prostoru může vést k paradoxnímu jevu, kdy celková aktivní hmotnost systému může klesnout, i když přidáváme klidovou hmotnost. Tento jev je důsledkem negativní potenciální energie gravitační interakce mezi přidanou hmotou a již existujícím médiem. Pokud se přidá dostatečné množství klidové hmoty, může se celková aktivní hmotnost i nadále snižovat, což je v rozporu s běžným chápáním, že větší hmotnost by měla znamenat i větší gravitační interakce a tedy i vyšší celkovou hmotnost systému. Novikov ukázal, že v některých případech může dokonce nekonečné množství přidané klidové hmoty zanechat aktivní hmotnost konečnou.

Hellaby a Lake (1985) přinášejí několik dalších příkladů, které si protiřečí s intuicí založenou na R-W modelech. Například model s E > 0 všude, který má globálně uzavřený prostor, nebo model s E < 0 všude, který má otevřený prostor. Tyto příklady ukazují, že existují kosmologické modely, kde geometrii nelze jednoduše popsat tradičními nástroji, které předpokládají, že prostor je homogenní a izotropní. To ukazuje na potřebu širšího přístupu k porozumění vzorcům zakřivení v L-T modelech.

Třetí zajímavý příklad je model, kde je mezi dvěma oblastmi pozitivního zakřivení umístěna oblast negativního zakřivení, která nevyvolává kolize pláště. Tento jev je důsledkem komplexní distribuce energie a hmoty ve vesmíru, kde křivost prostoru může způsobit, že se určitá část vesmíru expanduje, zatímco jiná část se zhroutí. Tento jev se objevuje v některých konkrétních modelech L-T, kde zakřivení prostoru vede k vytváření "prázdných" nebo "neutrálních" oblastí mezi silně zakřivenými regiony. Takové modely mohou v určitém smyslu simulovat vesmír, který má více než jednu "centrální" oblast, a přesto vykazuje rozšíření.

Dále je důležité vzít v úvahu, že Mészáros (1986) zkoumal možnosti, jak ověřit L-T modely na základě pozorování. Jedním ze způsobů je sledování vnějších povrchů L-T sféry, přičemž v současnosti neexistují dostatečné důkazy pro tuto metodu. K druhému způsobu, což je detekce kosmických anizotropií v hustotě hmoty a Hubbleově parametru, Mészáros poukazuje na problémy s interpretací některých měření, přičemž ukazuje, že některé anizotropie lze lépe vysvětlit pomocí L-T modelu než pomocí tradičního Friedmannova modelu.

V konečném důsledku modely L-T poskytují fascinující alternativu k běžným kosmologickým představám. Umožňují vysoce flexibilní přístupy, které se liší od standardních výpočtů v R-W modelech a ukazují, že vesmír může vykazovat rozmanité chování závislé na místní geometrii a energetických podmínkách. Tyto modely otevřely nové směry výzkumu, ačkoli současná pozorování zatím nenabízejí definitivní důkaz pro jejich platnost.

Jak vnímáme singularity v obecné teorii relativity a jejich vliv na kosmologické modely?

Obecná teorie relativity, formulovaná Albertem Einsteinem v roce 1915, se stala základem pro naše pochopení gravitace a struktury vesmíru. Jedním z klíčových konceptů, které tato teorie zkoumá, jsou singularity – bodové oblasti ve vesmíru, kde zakřivení časoprostoru dosahuje nekonečna. Tyto singularity se vyskytují v různých typech kosmologických modelů a jsou základním prvkem při popisu chování černých děr, počátků vesmíru nebo i chování materiálu v extrémních podmínkách.

Singularity v obecné teorii relativity můžeme rozdělit na dvě hlavní kategorie: "nahé" singularity, které jsou přístupné pro pozorovatele, a "skryté" singularity, které jsou obklopeny horizontem událostí, jak tomu je v případě černých děr. Většina klasických kosmologických modelů předpokládá existenci skrytých singularit, které neovlivňují pozorovatele. Nicméně, teoretické studie naznačují, že v některých případech může dojít k vytvoření nahých singularit, které jsou otevřeny pro pozorování, což by znamenalo porušení základních principů jako je kauzalita nebo zákon zachování informace.

V rámci moderní kosmologie a teoretické fyziky jsou studie o singularitách úzce spjaty s problémem "kosmologické cenzury", což je hypotéza, která tvrdí, že nahé singularity nemohou existovat ve fyzikálně reálném vesmíru. Tento princip byl navržen v 60. letech 20. století a přetrvává jako jedna z nejdiskutovanějších záhad. I když žádný přímý důkaz neexistuje, že by kosmologická cenzura byla absolutně platná, většina vědecké komunity ji považuje za základní předpoklad.

Studium singularit ve složitějších kosmologických modelech, jako jsou modely typu Szekeres, poskytuje důležité informace o dynamice a struktuře vesmíru. Tyto modely, které umožňují nelineární, inhomogenní rozložení hmoty a energie, vykazují například možnost vzniku singularit i v rámci zdánlivě homogenních systémů. Důsledky těchto singularit mohou mít zásadní vliv na vývoj vesmíru a na vznik struktur, jako jsou galaxie a superklastery. Příkladem může být i výzkum prováděný na zakřivení prostoru ve specifických typech metrik, jak ukazují práce Gregoryho a Thompsona (1978), které analyzovaly superklastr Coma/A1367 a jeho okolí.

Je zajímavé, že určité kosmologické modely, například řešení Tolman-Bondiho pro rozpínající se prachové oblakové modely, umožňují vznik takových singularit, které jsou označovány jako nahé. Tyto studie ukazují, že v některých specifických podmínkách může být vývoj vesmíru nejednoznačný a podléhat extrémním změnám, což činí analýzu a predikce evoluce vesmíru komplikovanějšími.

Kromě samotné existence singularit hraje důležitou roli i jejich geometrická interpretace a vliv na strukturu prostoru a času. V některých případech, například u metrik typu Reissner-Nordström, lze pozorovat oscilační charakter singularit, což naznačuje možný vliv elektromagnetických jevů na jejich dynamiku. Takové modely ukazují, že singularity mohou mít nejen gravitační charakter, ale i elektromagnetické a kvantové vlastnosti, které se projeví v chování hmoty a záření v okolí těchto extrémních bodů.

Jedním z klíčových aspektů, který je třeba brát v úvahu při studiu singularit, je jejich vliv na pozorovatele a měření v rámci různých koordinačních systémů. Z hlediska geometrické optiky, jak je popsáno ve studiích Grassa, Korzyńského a dalších (2019), se jedná o problémy spojené s tokem informací a světelnými signály, které mohou být ovlivněny zakřivením prostoru do extrémních podob. To naznačuje, že pochopení chování singularit je nejen otázkou teoretických výpočtů, ale i praktických experimentálních měření v astrofyzice.

Důležité je pochopit, že singularity nejsou jen abstraktními matematickými objekty, ale že jejich studium má zásadní význam pro naše chápání kosmologických procesů, od vzniku vesmíru až po jeho konečný osud. Pochopení těchto extrémních podmínek, které se objevují při vysokých hustotách energie, je klíčem k odhalení dalších fundamentálních zákonů přírody, které mohou skrývat odpovědi na některé z nejzákladnějších otázek současné fyziky a kosmologie.