Jaké jsou vlastnosti kardinálních čísel v nekonečných množinách a jejich vliv na dimenzi vektorových prostorů?

Teorém 1.5.10. Pokud je $0 < |X| \leq |Y|$ a $Y$ je nekonečná množina, platí následující tvrzení:

Důkaz.

Krok 1. Pro případ, kdy je $|X|$ konečné nebo spočetné. Jelikož $Y$ je nekonečná, existuje v ní spočetná podmnožina $A$, přičemž můžeme napsat $Y = A \cup (Y \setminus A)$. Tedy $|Y| = \omega + |Y \setminus A|$, kde $\omega$ je kardinální číslo pro spočetnou množinu. Když je $X$ konečné nebo spočetné, platí podle Lemma 1.5.9(a), že $|X| + \omega = \omega$. Tím pádem dostaneme, že

což ukazuje požadovanou rovnici.

Krok 2. Ukážeme, že $|Y| = |Y| + |Y|$. Zvažme uspořádaný pár $(S, \leq)$, kde $S$ je množina všech dvojic $(Z, f)$, kde $Z \subseteq Y$ a $f: Z \to Z \cup Z$ je bijekce. Uspořádání je definováno tak, že $(Z, f) \leq (Z', f')$ právě tehdy, když $Z \subseteq Z'$ a $f'(z) = f(z)$ pro všechna $z \in Z$. Množina $Y$ musí obsahovat spočetnou podmnožinu $W$. Můžeme najít bijekci $h: W \to W \cup W$ podle Lemma 1.5.9(a). Tímto způsobem je $(W, h) \in S$, a tedy $S$ není prázdná.

Krok 3. Obecně platí $|Y| = 0 + |Y| \leq |X| + |Y| \leq |Y| + |Y| = |Y|$ podle Lemma 1.5.7, Propozice 1.5.8(d) a Krok 2. Tedy $|X| + |Y| = |Y|$.

Krok 1. Pro případ $|Y| \cdot |Y| = |Y|$. Zvažme uspořádaný pár $(T, \leq)$, kde $T$ je množina všech dvojic $(Z, f)$, kde $Z \to f: Z \times Z$ je bijekce. Můžeme nalézt bijekci $h: W \to W \times W$ pro spočetnou podmnožinu $W \subseteq Y$. Dále definujeme funkci $g: U \to U \times U$, kde $U$ je sjednocení všech $Z$ z $C$. Opět ukážeme, že $g$ je dobře definována, injektivní a surjektivní.

Důležitá pozorování pro čtenáře:
Důkazy týkající se nekonečných množin a kardinálních čísel v tomto kontextu mají hluboký význam v teoriích, které se zabývají strukturou nekonečných množin a jejich vzájemnými vztahy. Při studiu těchto problémů si čtenář musí být vědom, že manipulace s nekonečnými množinami je neintuitivní a velmi abstraktní, vyžaduje pečlivé pochopení axiomatických základů teorie množin, jako jsou Zornovo lemma a princip well-ordering. Klíčovým bodem, který je nutné pochopit, je, že součet nebo součin kardinálních čísel pro nekonečné množiny neodpovídá běžné intuitivní představě o sčítání nebo násobení konečných čísel.

Kdy jsou dva moduly nebo vektorové prostory skutečně „totožné“?

V této části nahradíme známý termín lineární transformace obecným pojmem lineární zobrazení. Kromě zkoumání vlastností lineárních zobrazení se budeme zabývat i podílovými moduly a fundamentální větou o lineárních zobrazeních, která nám umožňuje určit strukturu (neboli izomorfní třídy) modulů. Zejména v případě vektorových prostorů je dimenze rozhodujícím faktorem pro určení, zda jsou dva prostory izomorfní. Pojmy hodnosti a jádra lineární transformace jsou konkrétními příklady, které ilustrují sílu pojmů báze a dimenze.

Lineární zobrazení mezi volnými moduly konečné hodnosti lze reprezentovat maticemi s prvky z okruhu (nebo tělesa) skalárů. Někdy je vhodnější chápat lineární zobrazení skrze jeho matici, jindy je jednodušší pochopit vlastnosti matice prostřednictvím zobrazení, které reprezentuje. Studium lineárních zobrazení a studium matic jsou tak dvě strany téže mince.

Existuje i alternativní kritérium pro ověření linearity funkce: f : M → N je lineární právě tehdy, když pro všechna m, m′ ∈ M a r ∈ R platí f(rm + m′) = r f(m) + f(m′).

Triviální (nulové) zobrazení a identické zobrazení jsou základní příklady R-lineárních zobrazení. Jako další příklad lze uvést derivaci na okruhu R[x], která je lineární, stejně jako operace integrace (pokud je vhodně definována).

Obraz zobrazení f se značí Im f, jeho jádro Ker f. Obě množiny tvoří podmoduly. Složením dvou lineárních zobrazení vzniká opět lineární zobrazení. Pokud je lineární zobrazení bijektivní, nazýváme ho izomorfismem a říkáme, že moduly M a N jsou izomorfní, což značíme M ≅ N.

Pokud existuje izomorfismus mezi dvěma moduly, pak i jeho inverzní zobrazení je izomorfismus. Izomorfismus je tedy reflexivní, symetrická a tranzitivní relace, a tudíž relace ekvivalence.

V případě, že M a N jsou izomorfní, znamená to, že mají shodnou vnitřní strukturu z hlediska sčítání a násobení skalárem. Izomorfismus zachovává bázové vlastnosti: pokud má volný modul M bázi B a existuje izomorfismus f : M → N, pak množina f(B) tvoří bázi modulu N. Z toho plyne, že izomorfismus převádí volný modul na volný modul.

Z tohoto principu plyne, že pokud mají dva volné R-moduly stejné kardinality bází, pak jsou izomorfní. Tedy pokud existuje bijekce φ mezi bázemi B a C, můžeme ji rozšířit na izomorfismus mezi moduly. Inverzní bijekce φ⁻¹ generuje opačný směr izomorfismu. Kompozice obou zobrazení je identitou, což potvrzuje, že jde skutečně o izomorfismy.

Jako důsledek platí, že dva vektorové prostory nad stejným tělesem jsou izomorfní právě tehdy, když mají stejnou dimenzi, tj. báze o stejné kardinalitě. Každý n-rozměrný vektorový prostor V nad F je tedy izomorfní s Fⁿ.

Je důležité rozlišovat pojem izomorfismu nejen jako formální zachování algebraických operací, ale jako úplné zachování algebraické struktury. Izomorfní moduly či prostory nesou stejné informace o lineárních závislostech, o dimenzi, o lineární kombinovatelnosti, o transformacích. Pochopení izomorfismu v tomto hlubším smyslu umožňuje přechod od konkrétní reprezentace (např. vektory jako sloupce čísel) k abstraktním strukturám, kde je důležitá nikol

Jak chápat základy vektorových prostorů a jejich vlastnosti?

Představme si, že máme daný vektorový prostor $V$ nad tělesem $F$. Definice základů pro tento prostor se týká podmnožiny $B$, která splňuje dvě základní podmínky: jednak musí být lineárně nezávislá a jednak musí generovat celý prostor $V$. To znamená, že každý vektor v prostoru $V$ může být zapsán jako lineární kombinace vektorů z množiny $B$.

Důležitým výsledkem je tvrzení, že každé vektorové prostory mají základ, což odlišuje vektorové prostory od modulů. Tato vlastnost znamená, že každý vektorový prostor je "svobodný" a má nějakou konkrétní základní množinu, která jej plně popisuje. Při určování základu vektorového prostoru můžeme začít s libovolnou generující množinou. Pokud tato množina není minimální, můžeme postupně odstraňovat nadbytečné vektory, až získáme základ, který je lineárně nezávislý a zároveň generuje celý prostor. Tato minimální generující množina je pak konečným základem.

Základy jsou tedy neodmyslitelnou součástí struktury vektorového prostoru, a to jak z hlediska lineární nezávislosti, tak i z hlediska generování celého prostoru. Takový základ nám umožňuje plně pochopit, jak se vektorové prostory skládají a jak je možné je efektivně reprezentovat a analyzovat.

Mimo tyto teoretické výsledky, je užitečné si uvědomit, že různé typy základu mohou být definovány pro specifické algebraické struktury, jako jsou matice nebo polynomiální prostory. V příkladu, který se vztahuje na maticové prostory, je základ tvořen standardními maticemi, které mají jedinou jedničku na určitém místě a nuly na ostatních místech. Tato metoda vytváření základu je obecně platná pro prostory matic a polynomiálních funkcí, kde jednotlivé členy generují celý prostor.

Každý vektorový prostor tedy nejen že má základ, ale tento základ hraje centrální roli při analýze a aplikaci lineární algebry v mnoha oblastech matematiky a její aplikace. Základ je nejen nástrojem pro výpočet, ale i nástrojem pro hlubší pochopení vlastností prostorů, se kterými pracujeme.