Jaké jsou podmínky pro pravidelnost v elektromagnetickém poli a dobíjející prach?

Použitím rovnic (19.78), (19.23) a (19.80) zjistíme, že jediné nenulové složky elektromagnetického tenzoru v souřadnicích (ℳ, R) jsou Q Q FℳR = −FRℳ = , FℳR = −FRℳ = −F . (19.85) FR2 R2 Dále použitím rovnic (19.24), (19.72), (19.45), (19.79), (19.77), (19.80) a (19.78) pro první rovnici níže a (19.41), (19.45), (19.72), (19.79), (19.52), (19.77), (19.80) a (19.78) pro druhou rovnici získáme hustotu náboje a hustotu energie ve formě 4πρe uQ,r = ≡ − uQ,ℳ ≡ − Q,ℳ , (19.86) c R2R,r R2f,ℳR,t R2FuR 2uℳ,r κϵ = ≡ − 2αu ≡ − 2 . (19.87) ΓR2R,r ΓR2FR,t ΓR2FuR.

Tyto rovnice ukazují, že v souřadnicích (ℳ, R) je F(ℳ, R) jedinou neznámou funkcí (protože ℳ a R jsou nyní souřadnice a (M,Γ, Q) jsou libovolné funkce ℳ). V těchto souřadnicích získáme vztahy uℳ = uF, uR = 1/uR, (19.88), gℳℳ = − 1 2 , gℳR u = , gRR = −Δ. (19.89). Dělením rovnice (19.52) souřadnicí ℳ,r a použitím definice ℳ, rovnice (19.73), zjistíme, že v souřadnicích (ℳ, R) rovnice (19.52) má tvar G ΓN,ℳ = 1. (19.90). Funkci F lze najít z rovnice (19.38). S ρm = Qm = 0, použitím (19.44), dostáváme rovnici uα;β u β = −ρe Fαβuβ ≡ −Q,N Fαβuβ , (19.91), cϵ a použití rovnic (19.81) – (19.83) a (19.88) – (19.89) implikuje pouze jednu rovnici: F,R = − uR,ℳ 2 . (19.92).

Pokud použijeme (19.72), (19.79) a (19.90), přetvoříme rovnici (19.92) na 1 c4 ( )]} F,R = − 1 3 Γ,ℳ + 1− Q, 2 N +QQ,NN . (19.93) (uR(ℳ, R)) RΓ G. Tento výsledek se shoduje, kromě notace, s výsledkem Oriho (1990). Upozorňujeme, že jsme neuvažovali Λ = 0. Jak Ori (1990) zdůraznil, rovnice (19.81) – (19.83), (19.88) a (19.93) explicitně určují metriku, na rozdíl od reprezentace Vickersové použité v sekci 19.4.1, kde byly Einsteinovy–Maxwellovy rovnice redukovány na soustavu dvou diferenciálních rovnic. S Λ = 0 je integrál z (19.93) ve formě (ax+b)x2 (cx2+dx+e)3/2 dx, což je elementární, i když komplikované. Celý seznam výsledků je uveden v Oriho práci.

Nyní můžeme ověřit, že všechny Einsteinovy–Maxwellovy rovnice jsou splněny. Identita Q,N ≡ Q,ℳ /N,ℳ = GΓQ,ℳ /c4, která vyplývá z (19.90), je užitečná při výpočtech. Pozor, podle rovnic (19.79) – (19.80) není FuR citlivý na znaménko uR, takže podle rovnic (19.81) – (19.83) a (19.87) není citlivá na znaménko ani metrika, ani hustota hmoty. Jak je vysvětleno v poznámce po (19.73), uR > 0 a uR < 0 odpovídají různým mapám s různými doménami. Takže integrace rovnice (19.93) od R1 do R > R1 s uR > 0 znamená integraci vpřed v čase, zatímco při výpočtu stejného integrálu s uR < 0 integrujeme zpět v čase.

V následujícím textu si budeme všímat pravidelnosti v centrální oblasti nabitého prachu. Jak je uvedeno v modelu L–T, soubor R = 0 v nabitém prachu obsahuje BB/BC singularitu (kterou jsme ukázali, že lze vyhnout) a centrum symetrie, které může, ale nemusí být singularitou. Nyní odvodíme podmínky pro absenci centrální singularity. Nechť r = rc odpovídá středu symetrie. Z rovnic (19.11) – (19.12) a (19.41) vidíme, že N(r) = 𝒱 ϵ g3d3x, kde 𝒱 je koule soustředěná na r = rc v prostoru při t = konstantní. Takže pokud ϵ nemá singularitu typu Diracovy delta ve středu, musí N(r) vyhovovat N(rc) = 0. Podobně rovnice (19.11) – (19.12) a (19.24) ukazují, že pokud ve středu neexistuje singularita ρe typu delta, pak elektrický náboj musí vyhovět Q(rc) = 0. Dále předpokládáme, že ϵ(rc) ≠ 0 (což je podpořeno fyzikální intuicí). Pak, pokud jsou jak ϵ, tak ρe v bodě rc nesingulární, poměr ρe(rc)/ϵ(rc) je nesingulární, a (19.24) s (19.41) ukazují, že limr→rc Q/N = limr→rc Q, c N = ρe(rc)/[cϵ(rc)] je konečný (možná nula).

Podmínky pro pravidelnost v okolí centra jsou zásadní pro pochopení chování systému nabitého prachu v elektromagnetickém poli. Bez splnění těchto podmínek by došlo k singularitám, které mohou ovlivnit stabilitu a dynamiku celého modelu. Je také důležité si uvědomit, že složitost matematických výpočtů v těchto oblastech není pouze teoretická – má přímý vliv na to, jak lze modely použít v praktických aplikacích, například v astrofyzice nebo ve výpočtech spojených s černými dírami a jinými kosmickými objekty.

Jak souvisí zakřivení s paralelním transportem?

Existence souřadnic, které jsou zároveň přizpůsobeny jak k, tak l, nazvěme je τa a τb, je důležitým aspektem v geometrii zakřivených mnohostěnů. Pokud jsou τa a τb vybrány jako dvě z těchto souřadnic, pak pro x′ = τa a x′₂ = τb máme k′ = δα₁ a l′ = δα₂. Takové pole, jak ukazuje výpočet, vykazuje vzorec pro paralelní transport, kde veškeré diferenciální rovnice jsou lineární a homogenní, což znamená, že jsou funkcemi počátečních podmínek.

Paralelní transport je definován jako soustava diferenciálních rovnic prvního řádu pro funkce Tα₁...αk β, jejichž řešení jsou lineárními funkcemi počátečních hodnot. Pokud jsou počáteční hodnoty Tα₁...αk β(τ) zadány pro τ = 0, pak řešení rovnice paralelního transportu může být reprezentováno jako:

Tα₁...αk β(τ) = Pα₁...αk β₁...βl(τ) Tα₁...αk(0),

kde Pα₁...αk β₁...βl(τ) je lineární operátor, který mapuje počáteční hodnotu Tα₁...αk(0) na běžící hodnotu Tα₁...αk β. Tento operátor nazýváme propagátorem paralelního transportu, který závisí na dvou bodech a kromě výjimečných případů i na křivce, podél které transport probíhá. Transformuje se jako tenzorová hustota v bodě xα(τ), přičemž transformace probíhá v rámci tenzorového součinu s tenzorovou hustotou v bodě xα(0). Takový objekt nazýváme bi-tenzorem.

Propagátor paralelního transportu se řídí rovnicí:

D Pα₁...αk β₁...βl (τ) = 0.

To znamená, že propagátor paralelního transportu podléhá rovnicím pohybu, které jsou homogenní. A pokud se podíváme na paralelní transport podél uzavřené křivky, můžeme definovat speciální propagátor S, který popisuje tento transport podél uzavřené křivky a je definován následovně:

Sα₁...αk β₁...βl = Pα₁...αk β₁...βl (1).

Tento propagátor závisí pouze na počátečním a konečném bodě křivky, a pokud křivka je uzavřená, tedy se začíná a končí v tomtéž bodě, dostáváme tensorovou hustotu typu [w, k+l, k+l].

Pro transport různých typů tenzorů, jako jsou skaláry nebo vektory, existují speciální propagátory. Pro skalární hustoty je propagátor definován jako Pw, pro kontravariantní vektory jako Pαα a pro kovariantní vektory jako Pββ. Všechny tyto propagátory splňují základní rovnici paralelního transportu a mají určité počáteční podmínky:

Pw(0) = 1, Pαα(0) = δαα, Pββ(0) = δββ.

Pokud se podíváme na propagátory pro kontravariantní vektory a kovariantní vektory, zjistíme, že jsou vzájemně inverzní:

Pαα(τ) Pββ(τ) = δαβ.

To ukazuje, že propagátor Pββ je nejen propagátorem paralelního transportu kontravariantního vektoru z bodu xα(0) na bod xα(τ), ale zároveň je i propagátorem paralelního transportu kovariantního vektoru zpět z xα(τ) na xα(0) podél téže křivky.

Dalším důležitým aspektem paralelního transportu je jeho vztah k zakřivení. Pokud je křivka uzavřená a je-li transport prováděn podél této křivky, dochází k určitému projevování zakřivení v prostoru. Tento efekt se projevuje v integrálech, kde se při transportu dochází k určitým topologickým změnám, což souvisí s geodetickými křivkami a jejich zakřivením. Tyto integrály jsou klíčové pro pochopení vlivu zakřivení na transport vektorů a tenzorů v prostoru.

Když se podíváme na křivky a plochy v tomto kontextu, můžeme použít Stokesovu větu k přepočtu integrálů podél uzavřených křivek na integrály přes plochy, které jsou těmito křivkami ohraničeny. Tento postup ukazuje, jak zakřivení ovlivňuje samotnou geometrickou strukturu prostoru a jak se projevuje při paralelním transportu.

Prozkoumání vlastností propagátorů, zejména těch základních, je klíčové pro pochopení širších geometrických vlastností a vztahů mezi zakřivením a paralelním transportem v obecné relativitě a dalších oblastech geometrie.

Jaké jsou základní rovnice pohybu ideální kapaliny v obecné relativitě?

V obecné relativitě je T00(p) definován jako hustota energie měřená v daném bodě p v libovolném souřadném systému. V koordinačních souřadnicích, kde se pohybuje částice, je jedinou energií, kterou může částice mít, její vnitřní energie ϵ = (klidová energie) + (energie tepelného pohybu jejích částic) + (chemická energie). Tím pádem T00 = ϵ, což zároveň znamená, že T00 = T ∗ αβu αuβ, tedy ∗ Tαβu αuβ = ϵ. Toto je rovnost dvou skalárů, která platí ve všech souřadnicích.

Podle definice je T I0, I = 1, 2, 3 vektor energetického toku. V komovingových souřadnicích, podle definice dokonalé kapaliny, však neexistují žádné energetické toky, což znamená, že T I0 = T Iβu β = 0. To implikuje, že Tαβu β = λuα, kde λ je neznámý koeficient. Z rovnic (12.61) a (12.62) tedy zjistíme, že λ = ϵ, což dává rovnost Tαβu β = ϵuα. Tato rovnost je opět tenzorovou rovnicí.

Představme si bod q v časoprostoru a vektor vα(q) v bodě q, který je ortogonální k vektoru uα(q), tedy uα(q)vα(q) = 0. Vektor vα(q) směřuje od bodu q k sousední částici. Z (12.64) vyplývá, že projekce rychlosti na vektor vα(q) je nulová, což znamená, že částice, na kterou tento vektor ukazuje, se vůči bodu q nepohybuje. Tři lineárně nezávislé vektory, které mají tuto vlastnost, určují trojrozměrný objem, který se pohybuje s částicí v bodě q.

Pascalův zákon musí platit v tomto objemu, což znamená, že tlak p působící na povrchovou element σ v kapalině vytváří sílu f = pσ v směru nI, kde I = 1, 2, 3, je ortogonální k σ. Tlak p a síla f nezávisí na směru nI, tj. na orientaci σ v rámci kapaliny. Označme −T IJ Newtonovým (třírozměrným) tenzorem napětí. Minus před nápisem je důsledkem volby metrického znaménka (+−−−); v tomto podpisu prostorová složka energie-momentum tenzoru Tαβ není sama o sobě napětovým tenzorem τ IJ, ale −τ IJ. Podle definice napětového tenzoru musí platit: − T IJσnJ = fnI ≡ pσnI, což implikuje T IJn J = −pnI.

Ve všech těchto rovnicích vektory nI nejsou obecně ortogonální k hyperplochám, a proto nemohou definovat souřadný systém. Nicméně v každém bodě q manifoldy můžeme v tečné rovině zvolit podprostor ortogonální k uα, a v tomto podprostoru vybrat ortonormovanou bázi e α Î, I = 1, 2, 3. V této bázi bude (12.67) splněno, kde TÎĴ = e α Î e β Ĵ Tαβ.

Přejdeme-li k obecné formuli pro energii-momentum tenzor ideální kapaliny, vezmeme ortonormovanou tetradu e αi, i = 0, 1, 2, 3, v časoprostoru, kde e α 0̂ = uα, přičemž každý e α Î, I = 1, 2, 3 splňuje (12.66). Z těchto vztahů získáme komponenty Tαβ:
T0̂0̂ = Tαβu αuβ = ϵ,
T0̂Â = T β αβu αe = ϵuβe β Â Â = 0, A = 1, 2, 3,
TÂB̂ = −T Â B̂ = pδ Â B̂ = −pηÂB̂.

Pokud použijeme inverzní projekci, získáme pro Tαβ:
Tαβ = eiαe j βTij = uαuβT 0̂ 0̂ + e Âαe B̂ βT Â B̂ = ϵuαuβ − pη Â B̂e Â αe B̂ β − puαuβ + puαuβ = (ϵ+ p)uαuβ − pgαβ.

Ideální kapalina, jejíž tlak je nulový, je nazývána prachem (dust). Z toho vyplývá, že pro prach Tαβ = ϵuαuβ.

Rovnice pohybu ideální kapaliny, Tαβ ;β = 0, pro obecnou ideální kapalinu jsou ekvivalentní s rovnicemi (ϵ+ p),β u αuβ + (ϵ+ p)uα;β u β + (ϵ+ p)uαuβ ;β −p,β gαβ = 0. Identita (12.61) implikuje, že uαuα;β = 0. Po kontrakci rovnice (12.75) s uα a využití (12.61) a (12.76) dostáváme rovnici pro zachování energie, která říká, že objemová práce −puβ ;β generuje tok energie ϵuβ.

Pokud použijeme tuto rovnici v (12.75), dostáváme rovnice pro pohyb ideální kapaliny:
(ϵ+ p)uα;β u β − p,β gαβ + p,β u βuα = 0.

V Newtonovském limitu (c → ∞) a v asymptoticky kartézských souřadnicích přecházejí tyto rovnice na Eulerovy rovnice pohybu ρdv/dt = −gradp. Rovnice (12.77) a (12.78) se zjednodušují pro prach; rovnice (12.77) se stává ϵuβ ;β = 0, což je relativistická rovnice kontinuity (zachování hmoty), která v Newtonovském limitu přechází na ∂ρ/∂t + div(ρv) = 0.

Rovnice (12.78) se stává uα;β u β = 0. To znamená, že kovariantní derivace uα podél sebe je nulová, takže, jak vidíme v sekci 5.2, uα je tečný k geodetikám parametrizovaným afinně.

Rovnice pro pohyb ideální kapaliny ukazují, že v případě prachu pohyb částic probíhá po geodetikách, a vlastní čas částic prachu je afinním parametrem na těchto geodetikách. Pro ideální kapalinu je nutná a dostatečná podmínka pro geodetický pohyb slabší než p = 0. Jak vyplývá z rovnice (12.78), je p,β gαβ − uαuβ = 0. Operátor hαβ = gαβ − uαuβ projekci tenzorů na prvky hypersurface ortogonální k vektorovému poli uα.

Jaké jsou různé reprezentace metriky Robertson-Walker?

Metriky Robertson-Walker (R–W) jsou základními nástroji pro studium kosmologických modelů, zejména ve vztahu k expanze vesmíru. Různé formy těchto metrik se objevují v literatuře, přičemž některé z nich se používají častěji než jiné. Mezi nejběžnější patří metriky ve formách (17.1), (17.3), (17.5) a (17.7). Nicméně existují i jiné reprezentace, které nabízejí odlišné pohledy na geometrii a topologii vesmíru.

Jednou z těchto forem je:

$ds^2 = dt^2 - R^2(t) dr^2 + f^2(r) d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2,$

kde $f(r)$ má následující závislosti na parametru $k$ :

f(r) = \begin{cases} \sin r & \text{pro } k > 0, \\ r & \text{pro } k = 0, \\ \sinh r & \text{pro } k < 0.