Geometrická optika vychází z principu, že světlo se šíří přímočaře v homogenním prostředí a mění svůj směr pouze na rozhraní dvou prostředí s různými optickými vlastnostmi. Základním kamenem popisu těchto změn je Fermatův princip, který stanoví, že světlo volí dráhu, při které je doba průchodu mezi dvěma body minimální nebo stacionární.

Čas průchodu světla mezi body A a B přes rozhraní dvou prostředí lze matematicky vyjádřit jako součet dob v obou prostředích, přičemž rychlost světla v každém prostředí závisí na jeho indexu lomu. Z tohoto vztahu, pomocí derivace času podle polohy bodu O na rozhraní, lze odvodit zákon odrazu, kde úhel dopadu světla θ₁ se rovná úhlu odrazu θ₂.

Podobně je možné aplikovat Fermatův princip i na lom světla, kde paprsek mění směr při přechodu z jednoho prostředí do druhého. Výsledkem je známý Snellův zákon, který spojuje úhly dopadu a lomu se vztahy indexů lomu obou prostředí: n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂. Tento zákon vysvětluje nejen základní chování světla na hranici dvou prostředí, ale také fenomén úplného vnitřního odrazu, kdy při překročení kritického úhlu θ_c nedochází k lomu, ale veškeré světlo se odráží zpět do původního prostředí.

Pro praktické aplikace geometrické optiky je nezbytné zavést vhodnou konvenci znamének, která umožňuje jednoznačně určit směr šíření paprsků a orientaci optických prvků. Obecně platí, že světlo putuje zleva doprava, vzdálenosti napravo a nad referenčním bodem jsou kladné, a analogicky radii křivosti a úhly měříme podle definovaných pravidel.

Úzký okruh paprsků, které svírají s optickou osou malé úhly, se nazývá paraxiální paprsky. U těchto paprsků lze s vysokou přesností aproximovat sinus, tangens a kosinus úhlu pomocí úhlu samotného, což výrazně zjednodušuje výpočty v optických systémech.

Optické systémy jsou sestaveny z různých komponent, které světlo odrážejí či lámou a umožňují tak manipulovat s jeho drahami. Mezi základní komponenty patří rovinná zrcadla, která vytvářejí virtuální obrazy podle zákona odrazu, a zakřivená zrcadla – kulová či paraboloidální, jež sbíhají nebo rozptylují světlo. Zvláštní pozornost si zaslouží paraboloidální zrcadla, která díky své tvarové geometrii dokáží soustředit paralelní paprsky do jednoho ohniska s minimem optických aberací.

Fyzikální vlastnosti zakřivených zrcadel lze vyjádřit vztahem mezi poloměrem křivosti R a ohniskovou vzdáleností f, přičemž platí, že f = R/2 (s příslušnou znaménkovou konvencí). Toto umožňuje přesný popis odrazu a zaostření světla i u složitějších optických soustav.

Pochopení těchto principů je klíčové nejen pro návrh a analýzu optických přístrojů, ale také pro moderní technologie, jako jsou optická vlákna, lasery či optické zobrazovací systémy. Kromě základních zákonů odrazu a lomu je třeba rozumět vlivu materiálových vlastností prostředí, včetně disperze a absorpce, které modifikují chování světelných paprsků a ovlivňují kvalitu a účinnost optických systémů.

Důležitým aspektem je také chování světla při přechodu mezi médii s různými indexy lomu, kde může nastat celkové vnitřní odražení – jev zásadní například pro přenos světla v optických vláknech. Toto podtrhuje význam kritického úhlu a jeho důsledků pro návrh efektivních optických cest.

K pochopení optických systémů je rovněž nezbytné osvojit si signální konvence, které určují orientaci a značení úhlů, vzdáleností a poloměrů křivosti. Tyto pravidla jsou základem pro přesné matematické modelování a předpověď chování světelných paprsků v praxi.

Nakonec je třeba vnímat, že geometrická optika představuje pouze první úroveň popisu světla. Pro hlubší analýzu, například při malých rozměrech či při práci s koherentním světlem, je nutné doplnit ji o vlnovou optiku a kvantové aspekty světla. Avšak pochopení základů geometrické optiky a zákonů odrazu a lomu je nezbytným základem pro všechny další úvahy a aplikace v oboru optiky.

Jak vypočítat rezonanční frekvence, spektrální šířku a ztráty v optických rezonátorech?

Optické rezonátory, jako je Fabry-Pérotův rezonátor, hrají klíčovou roli v mnoha optických zařízeních, od laserů až po optická vlákna. Tyto systémy umožňují rezonanci světelných vln mezi dvěma zrcadly, kde světlo prochází tam a zpět, čímž se zvyšuje intenzita v rezonátorovém režimu. V tomto článku se podíváme na několik klíčových aspektů, které ovlivňují optické rezonátory, včetně výpočtu rezonančních frekvencí, spektrálních šířek a celkových ztrát.

Představme si například lasery HeNe, které mají vlnovou délku λ = 633 nm a délku rezonátoru d = 30 cm. Na základě rovnic pro optické rezonátory můžeme vypočítat jejich rezonanční frekvenci a spektrální šířku. Rezonanční frekvence a volný spektrální rozsah rezonátoru jsou dány vzorci, které závisí na indexu lomu materiálu mezi zrcadly a délce rezonátoru.

Pro výpočet rezonančního čísla q použijeme vztah q=2dλq = \frac{2d}{\lambda}, kde dd je délka rezonátoru a λ\lambda vlnová délka světla. V tomto příkladu, pokud máme d=0,3d = 0,3 m a λ=633\lambda = 633 nm, dostaneme q≈9,4787×105q \approx 9,4787 \times 10^{5}. Rezonanční frekvence je pak vypočítána jako νq=cq2d\nu_q = \frac{c q}{2d}, což v tomto případě odpovídá přibližně 474 THz.

Volný spektrální rozsah νF\nu_F, což je rozsah frekvencí mezi jednotlivými módy rezonátoru, je dán vzorcem νF=c2d\nu_F = \frac{c}{2d}, kde cc je rychlost světla ve vakuu a dd délka rezonátoru. Pro naši hodnotu d=0,3d = 0,3 m dostaneme νF≈500\nu_F \approx 500 MHz.

Další důležitou vlastností rezonátorů je hustota módů, což je počet módů na jednotku frekvence a jednotku délky rezonátoru. Pro rezonátor o délce dd a rychlosti světla cc platí vztah Nν=1νF=c2dN_\nu = \frac{1}{\nu_F} = \frac{c}{2d}. Proto hustota módů je M(ν)=2Nν=4dcM(\nu) = 2N_\nu = \frac{4}{d c}.

Tento vzorec nám poskytuje hodnotu, která ukazuje, jak rychle se módy v rezonátoru rozkládají podle frekvence. Pokud je rezonátor navržen tak, že ztráty jsou minimální, pak je selektivita rezonátoru vysoká, což znamená, že rezonátor bude efektivně reagovat pouze na určitou frekvenci. Když jsou ztráty v rezonátoru větší, spektrální šířka se rozšiřuje, což znamená, že rezonátor bude schopný rezonovat na širším pásmu frekvencí.

Ztráty v optickém rezonátoru jsou způsobeny několika faktory, včetně koeficientu odrazu zrcadel, pohlcování a rozptylu světla v médiu mezi zrcadly. Každý odraz v rezonátoru přispívá k fázovému posunu světelné vlny, což ovlivňuje celkovou intenzitu světla v rezonátoru. Pokud je odraz světla úplný, tedy cos⁡(ϕ)=1\cos(\phi) = 1, pak je intenzita maximální. Naopak, když je fáze odrazu taková, že dojde k interferenci, intenzita se sníží.

Vztah mezi intenzitou světla a koeficientem odrazu je dán vzorcem I=∣U∣2I = |U|^2, kde UU je amplituda světelné vlny. Tento vztah lze vyjádřit jako součet geometrické řady, která zahrnuje všechny odrazy, což vede k celkové intenzitě ImaxI_{\text{max}}, která je maximální při rezonanci.

K dalšímu pochopení je třeba se zaměřit na spektrální šířku rezonátoru, což je šířka frekvenčního pásma, ve kterém rezonátor efektivně akumuluje energii. Pro výpočet spektrální šířky použijeme výraz pro rezonanční šířku δν=νFF\delta \nu = \frac{\nu_F}{F}, kde FF je finesse rezonátoru. Finesse je míra kvality rezonátoru, která závisí na ztrátách způsobených odrazy a pohlcováním. Čím vyšší je finesse, tím užší je spektrální šířka, což znamená, že rezonátor je selektivnější a dokáže efektivněji udržet energii.

Konečně, kvalita rezonátoru, známá také jako faktor Q (Q-factor), udává, jak efektivně rezonátor udržuje energii v rezonanci. Vyšší Q-factor znamená, že energie v rezonátoru zůstává déle, což vede k užší šířce spektra a delší životnosti fotonů. Q-factor je důležitým ukazatelem pro všechny optické rezonátory, protože ovlivňuje jejich stabilitu a čistotu spektra.

Celkově platí, že optické rezonátory s vysokým Q-faktorem a nízkými ztrátami mají velmi úzký spektrální rozsah a dlouhou životnost fotonů, což je zásadní pro aplikace jako lasery a optická vlákna. Naopak rezonátory s vysokými ztrátami budou mít širší spektrální šířku a nižší účinnost. Tento princip platí nejen pro lasery, ale i pro další optické systémy, kde je kladeno důraz na přesnost a efektivitu přenosu energie.

Jak fungují optická vlákna a jejich využití v komunikaci a medicíně?

Optická vlákna, která dnes nacházejí uplatnění nejen v oblasti telekomunikací, ale také v medicíně a průmyslu, mají fascinující historii, která sahá až do 19. století. Původně byla používána k osvětlení skrytých částí strojů nebo lidského těla, a to pomocí skleněných tyčí, jimiž se vedlo světlo. Tento princip se ukázal jako efektivní v diagnostických a chirurgických aplikacích již v prvních desetiletích 20. století. V roce 1953 holandský vědec Bram van Heel poprvé ukázal přenos obrazu prostřednictvím svazků optických vláken s průhledným pláštěm, což znamenalo zásadní krok v oblasti optických technologií.

Významným pokrokem v tomto směru bylo také zjištění, že laserové paprsky mohou být použity pro komunikaci. I když ve 60. letech 20. století optická vlákna stále vykazovala vysoké ztráty signálu (okolo 1 dB na metr), výzkum v této oblasti vedl k výraznému zlepšení, které umožnilo praktické využití optických vláken v telekomunikacích. O této technologii se poprvé začalo hovořit ve 60. letech, kdy byly identifikovány teoretické parametry potřebné pro dosažení nízkých ztrát signálu při dlouhých vzdálenostech. Zásadní objev tohoto problému přinesl v roce 1964 Charles K. Kao, který byl později oceněn Nobelovou cenou za fyziku.

V roce 1970 tým vědců z Corning Glass vynalezl vlákna s nízkými ztrátami a s použitím fúzovaného oxidu křemičitého, což umožnilo přenos informací na velké vzdálenosti. Tato vlákna umožnila přenos až 65 000krát více informací než tradiční měděné dráty, což vedlo k revoluci v oblasti optických komunikací. Postupně se začala rozvíjet technologie pro výrobu optických vláken a v roce 1977 byla v Long Beach v Kalifornii poprvé realizována živá telefonní komunikace prostřednictvím optického systému.

Optická vlákna mají dvě základní části: jádro a plášť s nižším indexem lomu. Tento rozdíl v indexech lomu umožňuje světlu zůstat uvnitř jádra vlákna díky jevu zvanému celkový vnitřní odraz. Tento princip je klíčový pro správnou funkci optických vláken a je základem pro jejich použití v oblasti telekomunikací i medicíny. V oblasti komunikace je zvláště důležité, jaký materiál byl použit pro výrobu vlákna a jaký je jeho refrakční index, protože to přímo ovlivňuje efektivitu přenosu.

Existují dva hlavní typy optických vláken: skleněná vlákna a plastová vlákna. Skleněná vlákna mají výrazně nižší ztráty signálu než plastová, ale plastová vlákna jsou mechanicky odolnější, levnější a snadněji se vyrábějí, což je činí ideálními pro krátké vzdálenosti. Skleněná vlákna, zejména ta vyrobená z oxidu křemičitého, jsou však nejefektivnější pro dlouhé přenosy na velké vzdálenosti, protože jejich ztráty jsou minimální.

V oblasti optických vláken je také důležité pochopit různé struktury vláken, jako je vlákno s krokovým indexem (step-index fiber) a vlákno s proměnným indexem (graded-index fiber). Tyto struktury se liší v tom, jak jsou uspořádány refrakční indexy mezi jádrem a pláštěm vlákna, což ovlivňuje způsob, jakým se světlo šíří vláknem. Kromě toho hraje klíčovou roli i numerická apertura, která vyjadřuje schopnost vlákna sbírat světlo a tím ovlivňuje jeho efektivitu.

Je důležité také chápat, že optická vlákna nejen umožňují přenos světelných signálů na velké vzdálenosti, ale také umožňují přenos obrovského množství dat při minimálních ztrátách. Tato schopnost je využívána v současné době v širokém spektru oblastí – od telekomunikací po lékařské aplikace. Optická vlákna jsou klíčem k revoluci v přenosu dat, a to jak v rychlosti, tak v kapacitě přenosu informací.

V oblasti medicíny jsou optická vlákna klíčová pro moderní diagnostiku a chirurgii. Díky svým schopnostem přenášet světlo na obtížně přístupná místa v těle, například při endoskopických vyšetřeních, se optická vlákna stala nezbytnou součástí lékařských přístrojů. Tento vývoj, který začal v polovině 20. století, vedl k významnému pokroku ve schopnosti lékařů diagnostikovat a léčit pacienty s větší přesností a menšími zásahy.

Je také podstatné vědět, že s vývojem optických vláken a technologií přenosu dat se stále objevují nové aplikace a inovace. Technologie, která byla původně určena pouze pro komunikaci a lékařské účely, se dnes nachází v široké škále dalších průmyslových odvětví, včetně automobilového průmyslu, vojenské techniky, a dokonce i v oblasti virtuální reality, kde se používají k přenosu vysokorychlostních dat na velké vzdálenosti.

Jak doping a dynamika rekombinace ovlivňují spektrální odezvu LED

V polovodičích s vysokou koncentrací donorů se vlnové funkce donorů překrývají, což vede k vytvoření úzkého pásu nečistot, který se nachází těsně pod vodivostním pásmem (Ed) a částečně se překrývá s tímto pásmem. Tento překryv efektivně snižuje energii vodivostního pásma (Ec), což má za následek pokles minimální energie vyzařovaného fotonu pod základní mezeru mezi pásmy (Eg), v závislosti na úrovni dopingu. Navíc excitonové přechody, které probíhají při energiích nižších než Eg, dále modifikují spektrum, což způsobuje jeho vyhlazení. Tyto přechody vysvětlují, proč spektrum vyzařování silně dopovaných polovodičů připomíná experimentální spektrum, jak je ukázáno na obrázku 12.8. Tento jev ukazuje vliv dopingu a dynamiky rekombinace na spektrální odezvu LED.

Interní kvantová účinnost LED, jak bylo uvedeno v předchozím textu, se definuje jako poměr radiativních rekombinací k celkovým rekombinacím v aktivní oblasti diody. Fotonů generovaných v aktivní oblasti LED je vyzařováno ve všech směrech. Aby tyto fotony přispěly k vnějšímu optickému výstupu, musí projít z aktivní oblasti na vnější povrch zařízení. Vnější kvantová účinnost je určena poměrem fotonů, které úspěšně uniknou z LED, k celkovému počtu fotonů generovaných na pomezí. Tato účinnost je ovlivněna třemi hlavními mechanismy ztrát:

  1. Reabsorpce fotonů v polovodiči: Vyzařované fotony mohou být znovu absorbovány, což vede k vytvoření elektron-dírového páru. To obvykle nastává, když energie fotonu odpovídá šířce zakázaného pásu polovodiče.

  2. Odrážení na rozhraní polovodič-vzduch: Část fotonů je odražena zpět do polovodiče při setkání s rozhraním mezi materiály.

  3. Totální vnitřní odraz: Fotonové paprsky, které zasáhnou povrch pod úhlem větším než kritický úhel, podléhají totálnímu vnitřnímu odrazu a nemohou uniknout z diody.

Minimalizace těchto ztrát je klíčová a vyžaduje pečlivé zvážení v návrhu a konstrukci LED. Na obrázku 12.10 jsou uvedeny tyto mechanismy ztrát: (a) schematický nákres LED, kde fotony procházejí zařízením, (b) ztráty způsobené odrazem na povrchu zařízení a (c) ztráty způsobené totálním vnitřním odrazem. Absorpční ztráty jsou znázorněny na obrázku 12.10a, kde světlo vyzařované v aktivní oblasti prochází několika dráhami, přičemž může být absorbováno a generovat elektron-dírové páry. Tento proces může probíhat i na velmi krátkých vzdálenostech, o velikosti jen několik mikrometrů.

Absorpční koeficient materiálu je vyjádřen rovnicí:

α=e−αd,\alpha = e^{ -\alpha d},

kde α\alpha je koeficient absorpce materiálu. Ztráty způsobené odrazem na rozhraní mezi polovodičem a vnějším médiem jsou zobrazeny na obrázku 12.10b. Pro normální incidenci je odrazová ztráta vyjádřena vzorcem:

α2=(n2−n1)2(n2+n1)2.\alpha_2 = \frac{(n_2 - n_1)^2}{(n_2 + n_1)^2}.

Totální vnitřní odraz je popsán na obrázku 12.10c, kde paprsky, které dopadají na povrch pod úhlem větším než kritický úhel, podléhají totálnímu vnitřnímu odrazu. Tento úhel je určen vzorcem:

θc=sin⁡−1(n1n2).\theta_c = \sin^{ -1}\left(\frac{n_1}{n_2}\right).

Když je úhel incidence roven nebo větší než kritický úhel, světlo je odraženo zpět do polovodiče, místo aby prošlo ven z LED. To vede k tomu, že se fotony pohybují v kuželovém tvaru ven z diody a úměrně k tomu je plocha vrcholového oblouku kužele, jak je vyjádřeno v následující rovnici:

A=2πr2(1−cos⁡θc).A = 2\pi r^2(1 - \cos \theta_c).

Vnější kvantová účinnost LED je pak vyjádřena jako:

ηe=e−αd⋅α2⋅α3.\eta_e = e^{ -\alpha d} \cdot \alpha_2 \cdot \alpha_3.

Přičemž fotonový tok, který zahrnuje vnější kvantovou účinnost, je dán vzorcem:

ϕo=ηe⋅ϕ=ηe⋅ηi.\phi_o = \eta_e \cdot \phi = \eta_e \cdot \eta_i.

To znamená, že výstupní optický výkon LED je dán rovnicí:

Popt=ϕohν=ηexthν.P_{opt} = \phi_o h\nu = \eta_{ext} h\nu.

Pro výpočet odpovědnosti LED je použita rovnice:

Re=Popti=ηext.R_e = \frac{P_{opt}}{i} = \eta_{ext}.

Z tohoto vzorce je možné vypočítat odpovědnost diody podle vlnové délky λo\lambda_o a kvantové účinnosti.

Zlepšení vnější kvantové účinnosti LED (EQE) je zásadní pro zlepšení výkonu, zejména pokud jde o světelný výstup na jednotku elektrického vstupu. K tomu slouží několik metod:

  1. Antireflexní povlak: Tento tenký vícevrstvý optický filtr nanesený na povrch LED minimalizuje odraz světla na rozhraní mezi polovodičem a vnějším médiem. Snížením odrazu může světlo uniknout z LED a zlepšit tak její vnější kvantovou účinnost.

  2. Sférický kryt: Tento design LED pomáhá snížit ztráty způsobené totálním vnitřním odrazem (TIR). Sférický kryt mění geometrie LED a umožňuje více světlu uniknout, čímž zvyšuje světelný výstup.

  3. Zrnění povrchu LED: Tímto způsobem texturujeme povrch LED tak, aby vznikly různé bodové rozptyly, které narušují dráhu světla v zařízení. Tento proces pomáhá minimalizovat TIR a umožňuje světlu uniknout ve větším množství.

Jak zmrazování a sušení borůvek ovlivňuje jejich výživovou hodnotu a jak je správně používat v kuchyni?
Jaký byl každodenní život v antickém Řecku?
Jak se manipulace s vděčností může stát osudnou: Případ otrávené čokolády
Jak využít nové funkce Photoshopu pro tvorbu kompozitních obrázků a úpravu fotografií