Jak elektromagnetické pole ovlivňuje prach v gravitačním poli?

Einsteinovy rovnice pro metrický tensor (19.11) a elektromagnetický tensor (19.23) – (19.27) vedou k následujícím vztahům pro součásti rovnic v gravitačním poli, kde je zahrnut i elektromagnetismus. Například pro komponenty Einsteinových rovnic dostaneme:

$$\frac{8\pi G}{c^4} \left( G_{00} + \frac{Q_e^2}{R^4} + Q_m \right) = e^C - \Lambda e^C \, , \quad \frac{Q_e^2}{R^4} + Q_m G_{11} = - e^A + \Lambda e^A \,.$$

Tato rovnice zobrazuje vztah mezi geometrií prostor-časového kontinua a elektromagnetickým polem v přítomnosti prachu, jehož pohyb je ovlivněn jak gravitačními, tak elektromagnetickými silami. Rovnice 19.31 pak ukazuje, že v sféricky symetrickém případě existují další složky, které závisí na elektromagnetické interakci, například:

$$G_{33} = \frac{1}{f(\vartheta)} + \Lambda R \,.$$

Pro správný popis tohoto systému je nutné vyřešit soustavu rovnic pro $G_{\alpha\beta}$, kde pro $G_{00}$ dostaneme vztah, který zahrnuje jak prostorové, tak časové derivace metrických komponent. Tyto derivace vyjadřují vliv elektromagnetického pole na křivost prostoru.

Dalším krokem je aplikace rovnice pro konzervaci elektromagnetického pole, což vede k rovnicím, které popisují pohyb částic v tomto poli. V rovnicích 19.37 a 19.38 se objevují termíny související s Lorentzovou silou, která působí na nabité částice pohybující se v elektromagnetickém poli. Tyto rovnice mohou být použity pro analýzu chování nabitého prachu v tomto poli, kde termíny $Q_e$ a $Q_m$ reprezentují elektrické a magnetické náboje.

Zajímavým výsledkem těchto analýz je, že s použitím metriky a elektrostatických rovnic můžeme získat časově nezávislé vztahy pro hustoty hmoty a náboje, což umožňuje jednodušší modelování jejich interakce. Například:

$$\epsilon_{C,r} = (\rho_e Q_e + \rho_m Q_m) \,,$$

kde $\rho_e$ a $\rho_m$ jsou hustoty elektrické a magnetické hmoty, které se vzájemně ovlivňují.

Pro tyto případy je důležité vzít v úvahu, že elektromagnetické pole může ovlivnit i neutrální hmotu, což je relativistický efekt. Vztahy, které vznikají při řešení těchto rovnic, ukazují, že elektromagnetické pole je schopno ovlivnit geodetický pohyb částic. V praxi to znamená, že prach, který je elektricky neutrální, se bude pohybovat v geometrii prostor-času, která je modifikována elektromagnetickým polem. To je důležitý poznatek pro pochopení chování prachu v extrémních gravitačních a elektromagnetických polích.

Pokud je například $Q_N = 0$, znamená to, že elektrické pole je konstantní a prach se pohybuje po geodetikách. Když $Q_N \neq 0$, prach již neputuje po geodetikách, ale podléhá silám, které jsou přímo spojeny s elektromagnetickým polem. To ukazuje, jak elektromagnetické pole může mít vliv i na ne-nabité částice v těchto specifických podmínkách.

Kromě toho je nutné si uvědomit, že tato problematika vyžaduje důkladné pochopení nejen geometrie prostor-časového kontinua, ale také elektromagnetických interakcí mezi náboji a prachem. Všechny tyto faktory jsou propojené a vedou k složitým vzorcům pro pohyb prachu v těchto dynamických polích. Pochopení vzorců, jako jsou například:

$$\frac{Q_e^2}{R^4} + Q_m G_{11} = - e^A + \Lambda e^A \,,$$

umožňuje detailněji analyzovat chování prachu, což je klíčové pro studium mnoha astrofyzikálních jevů, jako je pohyb prachu v okolí černých děr nebo jiných masivních těles.

Jaký je podmínka, aby dva vektorová pole byla tvořena plochou, a jaký tvar mají Killingovy vektory v sféricky symetrickém Riemannově prostoru?

Uvažujeme dvě rodiny křivek, jejichž tečné vektory jsou dány rovnicemi $k^\alpha = \frac{dx^\alpha}{d\lambda}$ a $l^\alpha = \frac{dx^\alpha}{d\lambda}$, kde $\lambda$ je parametr podél každé křivky. Vybereme si jednu křivku $C$ patřící k rodině tečné k vektorovému poli $l$ a pak vezmeme všechny křivky tečné k poli $k$, které protínají $C$. Tímto vznikne plocha $S$, která obsahuje křivku $C$ a je tvořena křivkami tečnými k poli $k$.

Vektorové pole $l$ nemusí být nutně tečné k této ploše $S$, pokud ale jsou všechny vektory z pole $l$ tečné k libovolné takto vzniklé ploše $S$, říkáme, že pole $k$ a $l$ jsou tvořící plochu (surface-forming). Podmínka této vlastnosti je spojena s Lieovou derivací a komutátorem těchto vektorových polí. Jestliže označíme Lieův komutátor polí $k$ a $l$ jako $[k, l]^\alpha$, pak nezbytnou a postačující podmínkou, aby pole byla tvořící plochu, je existence skalárních funkcí $a(x)$ a $b(x)$ takových, že

$$[k, l]^\alpha = a k^\alpha + b l^\alpha,$$

kde $b(x) \neq 0$, aby pole nebyla lineárně závislá. Tento vztah zajišťuje, že průniky křivek tečných k poli $k$ a $l$ tvoří hladkou plochu.

Přecházíme nyní k případu sféricky symetrického čtyřrozměrného Riemannova prostoru, kde izometrií je rotační grupa $O(3)$. Prostor je pak invariantní vůči rotacím kolem určitého bodu a metrický tenzor musí splňovat Killingovy rovnice pro generátory této grupy. Tyto generátory odpovídají rotačním vektorům, jejichž trajektorie jsou povrchy 2-sfér (sférické orbity).

Rovnice sférické plochy v trojrozměrném eukleidovském prostoru $E_3$ jsou popsány vztahem

$$x^2 + y^2 + z^2 = R^2,$$

kde $R$ je poloměr sféry. Rotace kolem osy v rovině $(x_i, x_j)$ je popsána transformacemi

$$x_i' = x_i \cos \alpha + x_j \sin \alpha, \quad x_j' = -x_i \sin \alpha + x_j \cos \alpha,$$

kde $\alpha$ je rotační úhel.

Killingovy vektory jsou pak generátory rotačních symetrií a lze je vyjádřit jako diferenční operátory, například v kartézských souřadnicích jako

$$J_{xy} = x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}, \quad J_{yz} = y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y}, \quad J_{xz} = x \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial x}.$$

Přechodem na sférické souřadnice $x = r \sin \vartheta \cos \varphi$, $y = r \sin \vartheta \sin \varphi$, $z = r \cos \vartheta$ se generátory transformují na

$$J_{xy} = \frac{\partial}{\partial \varphi}, \quad J_{yz} = \sin \varphi \frac{\partial}{\partial \vartheta} + \cos \varphi \cot \vartheta \frac{\partial}{\partial \varphi}, \quad J_{xz} = \cos \varphi \frac{\partial}{\partial \vartheta} - \sin \varphi \cot \vartheta \frac{\partial}{\partial \varphi}.$$

Předpoklad jednotného popisu rotace pro celý prostor pomocí těchto vektorů implikuje, že souřadnice $\vartheta, \varphi$ na různých sférách musí být korelovány tak, že rotace celého prostoru je popsána stejným způsobem jako rotace jednotlivé sféry. Pokud by tomu tak nebylo, například při použití „generalizovaných“ sférických souřadnic nebo jiných netypických souřadnic, pak by rotační generátory měly komplikovanější tvar a Killingovy rovnice by mohly být splněny pouze za specifických geometrických či koordinačních podmínek.

Killingovy rovnice pro metrický tenzor $g_{\alpha \beta}(t, r, \vartheta, \varphi)$, kde souřadnice jsou označeny jako $x^0 = t$, $x^1 = r$, $x^2 = \vartheta$, $x^3 = \varphi$, vyžadují nezávislost metriky na proměnné $\varphi$ a vedou ke specifickým algebraickým i diferenciálním vztahům mezi složkami metrického tenzoru. Tato symetrie výrazně zjednodušuje řešení rovnic pole a je klíčová při konstrukci modelů sféricky symetrických prostorů, například v gravitační teorii.

Je třeba si uvědomit, že samotná symetrie a splnění Killingových rovnic není pouze geometrickým požadavkem, ale přináší hlubší fyzikální a matematické implikace: omezuje možné formy metriky, určuje zachování veličin podél geodetik, a často umožňuje integrabilitu rovnic pohybu v daném prostoru. Rovněž přináší jasné nástroje k analýze vlastností prostoru, například přítomnost horizontů, statických oblastí nebo singularit.

Významné je také pochopení vztahu mezi Lieovým komutátorem vektorových polí a jejich schopností tvořit plochy, což je důležité nejen v čisté geometrii, ale i v aplikacích jako jsou proudění v diferenciální geometrii nebo při studiu foliací prostorů v obecné relativitě.

Jak vypadá zobrazení kovariantního vektoru ve spinorové reprezentaci?

Zobrazení kovariantního vektoru $v^{\alpha}$ ve spinorové reprezentaci je definováno vztahem:

$$v_{\dot{A}\dot{B}} = v^{\alpha} g_{\alpha \dot{A}\dot{B}}.$$

Zde je $v_{\dot{A}\dot{B}}$ hermitovský spinor (tedy hustota!) a zároveň skalár vzhledem k transformačním změnám souřadnic na manifoldu. Maticový základ $g_{\alpha \dot{A} \dot{B}}$ tvoří bázi v prostoru hermitovských matic $2 \times 2$, což znamená, že koeficienty rozkladu $v_{\dot{A}\dot{B}}$ v této bázi jsou jednoznačně určeny. To vede k existenci inverzní lineární transformace mezi $v_{\dot{A}\dot{B}}$ a $v^{\alpha}$, která je dána vztahem:

$$v^{\alpha} = g^{\dot{A}\dot{B}} v_{\dot{A}\dot{B}}.$$

Tento vztah musí platit pro libovolné vektory $v^{\alpha}$ a spinory $v_{\dot{A}\dot{B}}$, což znamená, že Pauliho matice a jejich inverzní matice $g_{\alpha \dot{A} \dot{B}}$ musí splňovat vztah:

$$g_{\alpha \dot{A} \dot{B}} g_{\beta \dot{A} \dot{B}} = \delta_{\alpha \beta}.$$

Tento vzorec je důležitý pro zachování konzistence zobrazení a ukazuje, že inverzní Pauliho matice jsou získány z odpovídajících Pauliho matic snížením indexu s pomocí metriky a snížením spinorových indexů pomocí symbolů Levi-Civity.

Pokud se podíváme na konkrétní reprezentaci Pauliho matic v Minkowského prostoru, můžeme definovat Pauliho matice, jak je uvedeno v následujícím tvaru:

$$\sigma^i_{\dot{A}\dot{B}} = \begin{pmatrix}$$

1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma^2_{\dot{A}\dot{B}} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma^3_{\dot{A}\dot{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Pro prostor s křivou metrikou, jako je Schwarzschildova metrika, můžeme použít bázi ortonormálních kontravariantních vektorů k převodu mezi křivým prostorem a prostým Minkowského prostorem. Mějte na paměti, že pro metriky zakřivených prostorů se používají speciální transformační vzorce a Pauliho matice definované v zakřivených prostorech se liší od těch v plochých prostorech, protože jejich struktura musí zohledňovat zakřivení a metrické vlastnosti prostoru.

$$A_{\alpha \beta \dot{A} \dot{B}} = \epsilon_{\dot{R}\dot{S}} (g_{\alpha \dot{R}} g_{\beta \dot{S}} + g_{\alpha \dot{S}} g_{\beta \dot{R}}),$$

Zajímavým důsledkem tohoto rozdělení je, že antisymetrické objekty v 2-dimenzionálním vektorovém prostoru musí být proporcionální k symbolům Levi-Civity $\epsilon_{\dot{A}\dot{B}}$, což vede k tomu, že $A_{\alpha \beta \dot{A} \dot{B}} = \Lambda_{\alpha \beta} \epsilon_{\dot{A} \dot{B}}$, kde $\Lambda_{\alpha \beta}$ odpovídá inverznímu metrickému tenzoru.

Když se podíváme na spinorový obraz nulového vektoru, který je definován vztahem $k^{\alpha} k_{\alpha} = 0$, zjistíme, že spinorový obraz takového vektoru má zvláštní vlastnost, která vede k tomu, že spinorový obraz nulového vektoru je spinorem s jedním indexem. Tento spinor je určen pouze fází, což znamená, že různé fázové faktory neovlivňují samotný nulový vektor.

Pro správnou manipulaci s těmito objekty a pro úspěšnou aplikaci v praxi, jako je analýza Weylovy tenzory, je klíčové porozumět jejich symetriím a vlastnostem. Například, spinorový obraz Weylovy tenzory je definován jako:

Důsledkem této definice je, že Weylovy tenzory se transformují do velmi elegantního a jednoduchého formátu, kde jsou všechny jejich indexy symetrické. To je základní vlastnost, která výrazně zjednodušuje následnou analýzu a výpočty. Taková symetrie také ukazuje, že mnoho složitých identit, které platí pro Weylovy tenzory, se v přítomnosti spinorové reprezentace stává výrazně jednoduššími.

Jak definujeme termodynamiku v relativistické hydrodynamice?

V literatuře se obvykle setkáváme s popisem vodičů nebo anizotropních tekutin, které vyžadují pokročilejší termodynamiku pro svou úplnou charakterizaci. Základní rovnice pohybu pro dokonalou tekutinu jsou dané rovnicemi (12.17), přičemž Tαβ je specifikováno rovnicí (12.73). Označme n jako hustotu částic v daném objemu. V tomto rámci uvažujeme pouze procesy, kdy částice nejsou vytvářeny ani zanikány, takže celkový počet částic v objemu v čase t2 bude buď stejný jako v jakémkoli předchozím čase t1 < t2, nebo se bude rovnat součtu počtu částic v t1 a těch, které mezi t1 a t2 do objemu vstoupily nebo z něj vyšly.

Kromě rovnic pohybu (12.17) tedy postulujeme i rovnici kontinuity pro n:

$$(nu^\alpha)_{;\alpha} = 0.$$ $$\mathcal{H} = \frac{\epsilon + p}{n}.$$

Nyní postulujeme, že pro jednu „částici“ tekutiny stále platí pravidla fenomenologické termodynamiky (v další kapitole uvidíme, že v kosmologii touto „částicí“ může být například galaktické seskupení nebo dokonce větší objekt). Entalpie splňuje Gibbsovu identitu:

Protože $\epsilon$ a $p$ jsou dány Einsteinovými rovnicemi a $n$ a $V = 1/n$ mají jasnou fyzikální interpretaci, můžeme považovat $H$ a $\mathcal{H}$ za dané. Fenomenologická termodynamika říká, že pro úplný termodynamický popis jednosložkových látek jsou v zásadě dostačující dvě stavové funkce, zatímco ostatní funkce lze vypočítat z rovnice stavu. Podle tohoto principu lze říci, že maximálně dvě z funkcí $p, V$ a $\mathcal{H}$ jsou nezávislé. V tomto případě bude diferencielle forma $(d\mathcal{H} - V dp)$ závislá pouze na dvou proměnných, což znamená, že musí existovat integrační faktor. Tento faktor označme jako $1/T$, což nám umožňuje napsat:

což je dokonalý diferenciál funkce $S$, tedy platí:

$$d\mathcal{H} = \frac{dp}{n} + TdS.$$

Nicméně existuje problém s touto úvahou. Tento problém zůstal dlouho nepozorován, protože řešení Einsteinových rovnic používané v astrofyzice jsou téměř výhradně vysoce symetrická: jsou sféricky symetrická, stacionární a axiálně symetrická, nebo homogenní podle typu Bianchi (případy Robertson–Walkerových prostorů jsou podmnožinou tohoto typu). V prvních dvou případech závisí všechny metrické komponenty a tedy všechny termodynamické veličiny pouze na dvou proměnných, takže (15.58) může být skutečně považováno za definici $T$ a $S$. Ve třetím případě závisí všechny termodynamické veličiny pouze na jedné proměnné (společně se spolupracujícím časem), a tak je na látku aplikována ještě jednodušší rovnice stavu typu $\epsilon = \epsilon(p)$.

Existence termodynamického schématu nebyla dlouho rozpoznána, protože všechny dnes známé kosmologické řešení s nízkou symetrií spadají do omezených tříd metrik, kde termodynamický schéma neexistuje. Tento problém byl poprvé identifikován Bona a Collem (1985, 1988) a Coll a Ferrandem (1989), kteří ukázali, že vesmír Stephani (Stephani, 1967a) – který obecně nemá žádnou symetrii – získává 3-rozměrovou symetrii působením termodynamického schématu.

Problém existence termodynamického schématu se také objevuje v dvou třídách metrik nalezených Szafronem (1977), přičemž všechny ostatní známé řešení Einsteinových rovnic jsou vakuová nebo mají pramen v podobě prachu, nebo mají vysokou symetrii.

Závěrem lze konstatovat, že při zvažování prostorů bez symetrie je nutné počítat s komplikovanějším termodynamickým schématem než u jednosložkových dokonalých tekutin. Tato konstatování se vztahují nejen na kosmologické modely, ale také na systémy s nižší symetrií. Při podrobnějším zkoumání termodynamiky jednosložkových dokonalých tekutin v relativistických podmínkách musí být vzata v úvahu nejen výběr vhodné rovnice stavu, ale i geometrické a symetrické vlastnosti prostoru, ve kterém se nacházejí.

Jak pozorovat změny polohy světelných zdrojů v kosmologii

Představme si situaci, kdy pozorovatel $\mathcal{O}$ pravidelně přijímá světelné paprsky od vzdáleného zářiče $\mathcal{E}$ během dlouhého časového období. Každý paprsek na své cestě od $\mathcal{E}$ k $\mathcal{O}$ prochází evoluujícími kosmickými strukturami, jako jsou prázdné oblasti (voids) a galaxijní shluky. Tato struktura způsobuje, že se směr paprsku mění. Fenomén, že pohybující se hmota "zametá" světelné paprsky procházející skrz ni, byl poprvé zpozorován Bondim (1947). Tento jev nazýváme drift polohy.

Později se Krasinski a Bolejko (KB, 2011) zabývali změnami polohy definovanými podobně, ale pod jiným názvem – opakovatelnost světelných drah (RLP). Imponovali tímto podmínky na kosmologické modely podle Szekerese (1975) a spočítali rychlost driftu pro paprsky procházejícími evolvujícími kosmickými prázdnotami. Nedávno Korzyński a Kopiński (2018) navrhli elegantní definici driftu polohy v obecném časoprostoru. Kritérium HP je nezbytnou podmínkou pro nulový drift v definici KK; pro porovnání tří kritérií viz Krasinski (2023).

K prozkoumání driftu je důležité pochopit, jak se světelný paprsek šíří v časoprostoru. Označme $k^{\mu}$ jako tečnou vektorovou pole na centrální dráze $\gamma_0$ svazku přijatého pozorovatelem, a $\xi^{\mu}$ jako vektor deviace geodetiky v tomto svazku. V této sekci použijeme symbol $\lambda$ pro affiní parametr na paprscích. Zavádíme operátor deviace geodetiky $\mathcal{G}[\cdot]$, definovaný takto:

Tento operátor je základem pro studium změn směru světelných paprsků.

Pokud pozorovatel $\mathcal{O}$ má čtyř-rychlost $u^{\mu}$, jeho trajektorie interaguje s centrální dráhou $\gamma_0$ ve vázaném bodě $P$. Vytvoříme ortonormovaný tetrad $u^{\mu}, e^{\mu}_{1}, e^{\mu}_{2}, n^{\mu}$, kde $n^{\mu}$ je projekce $k^{\mu}$ na prostor $u^{\perp}$ ortogonální k $u^{\mu}$. Vzniklé vektory $e^{\mu}_1$ a $e^{\mu}_2$ jsou určené až do rotací kolem $n^{\mu}$, což znamená, že jsou to vektory v rovině obrazové plochy (screen space).

Představme si, že pozorovatel a zářič se pohybují podél svých světových čar, kde světelný paprsek mezi nimi se stále mění a tato změna bude ukazovat drift, který je v podstatě důsledkem evoluce kosmických struktur mezi pozorovatelem a zářičem. Tato změna se projevuje, i když zůstáváme v oblasti, kde paprsky neinteragují přímo s prostorovými singularitami. Zásadní je, že výpočty driftu vycházejí z toho, že změna směru paprsku je spojená s pohybem pozorovatele a zářiče, tedy s jejich dynamikou v širším kosmologickém rámci.