Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Типы задач интернет-олимпиады по математике

для школьников 7 - 11 классов. 2007 год.

Типовые задания для школьников 7 классов:

1. Учащиеся выполняли на доске упражнения на приведение подобных слагаемых и затем стерли знаки между слагаемыми. Восстановите запись

  . 

2.Число составляет 40% от числа . Сколько процентов число составляет от числа ? 

3.Отец старше сына на 24 года. Сколько лет отцу, если он старше сына в 3 раза? 

4. Найдите , если ? 

5. Длины отрезков равны . При каких значениях из этих отрезков можно составить треугольник?   

6. Медиана, проведенная к одной из боковых сторон равнобедренного треугольника, делит его периметр на две части, длиной 15 см и 6 см. Определите длины сторон. 

7. Вычислить . 

8. При совместной работе трех тракторов различной мощности поле было вспахано за 6 дней. Если бы половину поля сначала вспахать одним трактором, то при дальнейшей совместной работе двух тракторов вся работа была бы закончена за 8 дней. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором отдельно? 

9. Известно, что и .

Найдите . 

10. Два парома курсируют через реку с постоянными скоростями, поворачивая у берегов без потери времени. Они одновременно отправляются от противоположных берегов и в первый раз встречаются в 700 метрах от одного из берегов. Затем продолжают движение к берегам, поворачивают, возвращаются и встречаются второй раз в 400 метрах от другого берега. Определите ширину реки. 

Типовые задания для школьников 8 классов:

1. Число составляет 40% от числа . Сколько процентов число составляет от числа ? 

2. Разложить на множители . 

3. Сократите дробь  . 

4. Решите систему уравнений

  . 

5. Упростите  . 

6. Разложите на множители  .   

7. Пусть - корни уравнения . Составить уравнение, корнями которого будут числа и . 

8. В первенстве школы по шахматам была сыграна 231 партия. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый с каждым сыграл одну партию. 

9. В треугольнике медианы равны 5 и 6 и пересекаются под прямым углом. Найдите площадь треугольника. 

10. Два парома курсируют через реку с постоянными скоростями, поворачивая у берегов без потери времени. Они одновременно отправляются от противоположных берегов и в первый раз встречаются в 700 метрах от одного из берегов. Затем продолжают движение к берегам, поворачивают, возвращаются и встречаются второй раз в 400 метрах от другого берега. Определите ширину реки. 

11. При каких значениях параметра уравнение

   

имеет ровно два решения?

12. при всех действительных значениях .  Найдите . 

 

Типовые задания для школьников 9 классов:


Упростите .  При каких значениях уравнение имеет корни разных знаков?  Упростите выражение при

  . 

Найдите значения , при которых отношение корней уравнения равно 2.  Упростите

  . 

Имеется два сплава, в одном из которых содержится 20% , а в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы составить из них 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?  Два парома курсируют через реку с постоянными скоростями, поворачивая у берегов без потери времени. Они одновременно отправляются от противоположных берегов и в первый раз встречаются в 700 метрах от одного из берегов. Затем продолжают движение к берегам, поворачивают, возвращаются и встречаются второй раз в 400 метрах от другого берега. Определите ширину реки.  Найдите наибольшее значение функции

  .   

9.  при всех действительных значениях .  Найдите . 

10. Определите площадь равнобедренной трапеции, у которой длины оснований 10 см и 26 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам. 

  11. При каких значениях параметра уравнение

     

имеет ровно два решения?

12. Решите уравнение

 

Типовые задания для школьников 10 классов:

1. Найдите наибольшее решение уравнения .

2. В арифметической прогрессии    Найти

3. При каких прямые и перпендикулярны?

4. Решите уравнение .

5. Найдите наименьшее значение функции .

6. Найдите координаты точек пересечения графика функции и графика обратной к ней функции.

7. На прямой  найдите точку, равноудаленную от точек и .

8. Две трубы, работая вместе, наполняют резервуар водой за 6 часов 15 минут. Одна труба наполняет 70% объема за 10 часов. За какое время другая труба может одна заполнить 45% объема?

9.  При каком наибольшем натуральном значении выражение принимает целые значения?

10.  Решите неравенство .

11.  При каких значениях   многочлен  делится на без остатка?

12. При каких значениях параметра   система уравнений    имеет ровно 4 различных решения?

Типовые задания для школьников 11 классов:

1. В арифметической прогрессии    Найти

2. При каких значениях функция является нечетной?

3.  При каких прямые и перпендикулярны?

4. Две трубы, работая вместе, наполняют резервуар водой за 6 часов 15 

  минут. Одна труба наполняет 70% объема за 10 часов. За какое время 

  другая труба может одна заполнить 45% объема?

5. При каких значениях и   функция является обратной к функции ?

6.  Найдите решение уравнения.

7. Решите систему уравнений

8. Найдите наибольшее значение функции 

  .

9.  Решите неравенство.

10. Функция, заданная на всей числовой оси, удовлетворяет равенству 

  . Найдите ее корни на отрезке .

11. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 28. Найдите боковое ребро пирамиды, если стороны оснований пирамиды равны 2 и 5.

12. При каких значениях параметра уравнение 

  имеет единственное решение?