Построение и анализ функции полезности и

спроса. Карта кривых безразличия

Пример. При разработке плана заказа путевок для оздоровительных мероприятий коллектива фирмы проведены исследования потребностей сотрудников фирмы на путевки по туристическим маршрутам () и путевки санаторно-курортного лечения (). В результате регрессионного анализа получена следующая зависимость денежных средств, вносимых сотрудниками за путевки, от числа путевок указанных видов: =. Построить карту линий безразличия и выполнить расчеты вариантов потребления путевок.

Решение: а) построим карту безразличия для заданной функции. Кривые безразличия являются линиями равного уровня, на которых функция полезности (или другими словами уровень затрат) принимает одно и тоже значение. Для построения кривых безразличия следует выразить одно из благ через другое и уровень затрат, величина которого принимает постоянное значение .

Например, выразим :, , , .

Подставляя различные значения при равных значениях можно построить кривые безразличия. В нашем случае функция при представляет собой уравнение окружности. Запишем его в каноническом виде:

,

.

Центр окружности находится в точке (), а радиус . Найдем кривые безразличия для функций полезности , равных . Радиусы окружностей, определяющих кривые функции полезности соответственно равны: ;;. Так как и положительны, дуги кривых расположены только в первом квадранте координат. Результаты построения кривых безразличия представлены на рисунке 1.

Ряд3
 

Ряд1
 

Ряд2
 

Рисунок 1 - Кривые безразличия для разных уровней потребления

Кривая безразличия (ряд 1) соответствует уровню потребления, равному . Кривая безразличия (ряд 2) соответствует уровню потребления . Кривая безразличия (ряд 3) соответствует уровню потребления ;

б) предположим, что в базовом периоде в фирме использовалось 20 туристических и 10 санаторно – курортных путевок. Предельная норма заменяемости путевок (или эквивалентная норма заменяемости)

,

а расходы на приобретение путевок составляли 1800. В планируемом периоде предполагается, что расходы на приобретение путевок увеличатся до 2000. Требуется рассчитать, сколько путевок будет приобретено, если предельная норма заменяемости путевок не изменится. Рассмотреть, каким образом изменится предельная норма заменяемости, в случаях: а) предложение путевок санаторно-курортного лечения останется на базовом уровне; б) предложение возрастет до 15 штук; в) предложение возрастет до 20 штук.

При неизменной предельной норме заменяемости в плановом периоде, значения и найдем, решая совместно заданное уравнение функции полезности и прямой предпочтения:

=,

.

При решении получаются два корня и . Второй корень необходимо отбросить как нереальный. Тогда значение , то есть примерно 11 – 12 штук. Следовательно, при неизменной предельной норме заменяемости, при увеличении расхода на путевки до 2000, то есть на (2000:1800)100%-100%=11,1%, число туристических путевок увеличится на четыре штуки (или на 20 процентов), а путевок санаторно-курортного лечения на две штуки (или на 20 процентов). Таким образом, при определении предложения путевок санаторно-курортного типа в плановом периоде будем иметь:

- если предложение путевок санаторно-курортного лечения останется на базовом уровне, то из уравнения находим число туристических путевок. Оно будет равно примерно 24 -25 штук, а предельная норма заменяемости определится из соотношения

;

- если предложение путевок санаторно-курортного лечения возрастет до 15 штук, то число туристических путевок будет примерно равно 21-22 штукам, а;

- если предложение путевок санаторно-курортного лечения возрастет до 20 штук, то и .

Результаты анализа говорят о том, что с ростом предложения путевок санаторно-курортного лечения число туристических путевок незначительно снижается, а предельная норма заменяемости этих благ резко дифференцируется.

Получим функцию спроса из функции полезности (потребления), если известен доход потребителя и цены благ и исходить из гипотезы, что потребитель тратит весь свой бюджет на приобретение рассматриваемого набора благ.

Предположим, что средняя стоимость туристической путевки составляет д. е., а стоимость путевки санаторно-курортного лечения - д. е. Установлено также, что на приобретение путевок в год фирма может выделить:

а) 10 000 д. е.; б) 100 000 д. е. Требуется найти функцию спроса для целевой функции потребления путевок на предприятии в целом и определить оптимальный спрос на путевки для вариантов а) и б).

Распределение средств на приобретение путевок осуществляется в соответствии с бюджетным ограничением:

, (1)

где - затрачиваемые денежные средства (доход потребителя).

Из задачи о максимальном выборе потребителя следует, что отношение предельных полезностей благ пропорционально ценам этих благ , тогда или .

Выразим через : ,

(2)

Подставим (2) в (1) получим:

,

,

,

откуда , тогда .

Значения и определяют оптимальный спрос на путевки.

Для случая , и оптимальный спрос равен:

шт.,

шт.

В основе модели поведения потребителя лежит утверждение о том, что при установленных ценах и имеющемся доходе потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей, то есть получить максимум полезности.

Для случая , и оптимальный спрос равен:

шт.,

шт.

Анализ функций спроса. Чтобы определить характер рассматриваемых путевок (благ), необходимо рассчитать эластичности их спроса по доходу, по цене и частные эластичности замены.

Эластичность спроса по доходу определяется по формуле:

.

Эластичность спроса по цене определяется по формуле:

.

Частные эластичности замены определяются по формуле:

,

где - доля суммарного дохода, ;

- благо.

При имеем прямую эластичность по цене, при - перекрестную эластичность.

Для случая, когда , и найдем:

-эластичность спроса по доходу на первое благо

;

-эластичность спроса по доходу на второе благо

;

-эластичность спроса на первое благо относительно цены первого блага

;

-эластичность спроса на второе благо относительно цены второго блага

;

-эластичность спроса на первое благо относительно цены второго блага

;

-эластичность спроса на второе благо относительно цены первого блага

;

-частные эластичности замены и .

Для случая, когда , и найдем:

- эластичность спроса по доходу на первое благо ;

-эластичность спроса по доходу на второе благо ;

-эластичность спроса на первое благо относительно цены первого блага ;

-эластичность спроса на второе благо относительно цены второго блага ;

-эластичность спроса на первое благо относительно цены второго блага ;

-эластичность спроса на второе благо относительно цены первого блага ;

-частные эластичности замены и .

На основе изучения величин эластичностей по доходу можно отметить, что путевки туристического вида являются неэластичными по доходу и представляют собой необходимые блага. Путевки санаторно-курортного лечения эластичны по доходу, и имеют характер предмета относительной роскоши. Оба вида благ для варианта а) не являются эластичными по цене. Эластичными по перекрестной цене являются лишь туристические путевки по варианту б). Так как все частные эластичности замены отрицательны, можно заключить, что туристические путевки и путевки санаторно-курортного лечения являются не конкурирующими взаимодополняющими благами.

Варианты заданий.

1.  Функция потребления , цены .

2.  Функция потребления , цены .

3.  Функция потребления , цены .

4.  Функция потребления , цены .

5.  Функция потребления , цены .

6.  Функция потребления , цены .

7.  Функция потребления , цены .

8.  Функция потребления , цены .

9.  Функция потребления , цены .

10.  Функция потребления , цены .

11.  Функция потребления , цены .

12.  Функция потребления , цены

.

13.  Функция потребления , цены

.

14.  Функция потребления , цены

.

15.  Функция потребления , цены

.

16.  Функция потребления , цены .

17.  Функция потребления , цены .

18.  Функция потребления , цены .

19.  Функция потребления , цены .

20.  Функция потребления , цены .

21.  Функция потребления , цены .

22.  Функция потребления , цены .

23.  Функция потребления , цены .

24.  Функция потребления , цены .

25.  Функция потребления , цены .

26.  Функция потребления , цены .

27.  Функция потребления , цены

.

28.  Функция потребления , цены

.

29.  Функция потребления , цены

.

30.  Функция потребления , цены

.