Методические рекомендации. Решение текстовых задач

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя образовательная школа № 000

с углублённым изучением отдельных предметов

г. Уссурийска Уссурийского округа

Методические рекомендации

Решение текстовых задач

работу выполнила

учитель математики

2014 год

В разделе В( решение текстовых задач) единого государственного экзамена есть задачи на проценты. Решение таких задач вызывает у учеников определённые трудности. Данный материал поможет выпускнику успешно подготовиться к ЕГЭ по математике. Он состоит из двух частей.

Часть первая - решение восьми типов задач на проценты.

Часть вторая – задачи для самостоятельного решения с ответами.

Часть первая - решение задач.

Задача 1. Пять рубашек дешевле куртки на 5%. На сколько процентов шесть рубашек дороже куртки?

Решение:

Пусть x - стоимость 5 рубашек, y – одной куртки, т. к. 5 рубашек дешевле 1 куртки на 5%, тогда

1). y – 100%

x – 95%, получим 95y = 100x, x = y = 0,95y стоимость 5 рубашек.

2). 0,95 y : 5 = 0,19y стоимость одной рубашки, т. е. одна рубашка составляет 19% от стоимости пиджака.

3). 0,19y6 = 1,14y стоимость 6 рубашек, т. е 6 рубашек на 14% дороже пиджака.

Ответ: 14%

Задача 2. Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

Решение:

Пусть x – стоимость брюк, y – стоимость рубашки, z – стоимость пиджака,

т. к. брюки дороже рубашки на 30% , то x = y + 0,3y с другой стороны

брюки дешевле пиджака на 22%, то x = z – 0,22z. Получили уравнение:

y + 0,3y = z – 0,22

1,3y = 0,78z

y = 0,6z, т. е. рубашка составляет 60% стоимости пиджака или пиджак дороже рубашки на 40%.

Ответ: 40%.

Задача 3. В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 16% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

Возьмем стоимость акций в воскресенье за 1 и пусть в понедельник акции подорожали на а%, тогда

1) 1 – 100%

x – a%, получим 100x = 1а, x ==0,01a на столько акции подорожали в понедельник.

2) 1 + 0.01а столько стали стоить акции в понедельник.

3) 1 + 0.01а - 100%

y - a%, получим

y = = (1 – 0,01a) 0,01a = 0,01a – 0,0001a на столько подешевели акции во вторник.

4) 1 – 0,01a - 0,01a + 0,0001a = 1 – 0,0001a столько стали стоить акции во вторник.

По условию задачи акции стали во вторник стоить дешевле на 16%, получим уравнение:

1 – ( 1 – 0,0001a) = 0,16

a = 1600

a = 40

Ответ: 40%.

Задача 4. Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 кг изюма?

Решение:

1) Изюм содержит 5% влаги, тогда сухого вещества в изюме будет

100% - 5% = 95%, тогда

20кг - 100%

х - 95%, получим х = = 19 кг сухого вещества.

2) Виноград содержит 90% влаги, тогда сухого вещества в винограде будет

100% - 95% = 10%, тогда

х кг - 100%

19 кг - 10%, получим х = = 190 кг

Ответ: 190 кг.

Задача 5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери – студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вчетверо, общий доход семьи вырос бы на 198%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вчетверо, общий доход семьи сократился бы на 3%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение:

Введем переменные:

Составим и решим систему уравнений:

, составим и решим уравнение:

100 – y – z = 97 – y – 0,25z

100 – z = 97 – 0,25z

z = 3

z = 4 , выполним замену, получим систему:

Решим уравнение:

384 – 4y + y = 294

384 -3y =294

y = 30

Ответ: 30%

Задача 6. В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

Решение:

Запишем условие задачи

раствор 10 л 5 л 15л

24% = 0,24 + 0% = 0 = х% = 0,01х

вещество 10 0,24 0 5 15 0,01х

составим и решим уравнение: 100,24 + 0 5 = 150,01х

100,24 = 150,01х

0,15х = 2,4

х = 16

Ответ: 16%

Задача 7. Первый сплав содержит 5% меди, второй – 11% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение:

Запишем условие задачи:

Сплав х кг (х + 4) кг (х + х + 4) кг

5% = 0,05 + 11% = 0,11 = 10% = 0.1

Вещество 0,05х 0,11(х + 4) 0.1(х + х 4)

составим и решим уравнение: 0,05х + 0,11(х + 4) = 0,1(2х + 4)

5х + 11х + 44 = 20х + 40

-4х = -4

х = 1

Найдём массу третьего сплава : 1 + 1 + 4 = 6 кг

Ответ: 6 кг.

Задача 8. Смешав, 43-процентный и 89-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 69- процентный раствор кислоты.

Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50- процентного раствора той же кислоты, то получили бы 73-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 43-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:

первый случай

раствор х кг у кг 10 кг х + у + 10

43% = 0,43 + 89% = 0,89 + 0% = 0 = 69% = 0,69

вещество 0,43х 0,89у 0 (х + у + 10)0,69

второй случай

раствор х кг у кг 10 кг х + у + 10

43% = 0,43 + 89% = 0,89 + 50% = 0,5 = 73% = 0,73

вещество 0,43х 0,89у 10 0,5 (х + у + 10)0,73

составим и решим систему уравнений:

46х = 1610

х = 35

Ответ: 35 кг.

Часть вторая – задачи для самостоятельного решения с ответами.

Задача 1. Четыре рубашки дешевле куртки на 20%. На сколько процентов шесть рубашек дороже куртки?

(Ответ: 20%)

Задача 2.Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?

( Ответ: 10%)

Задача 3. В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 81% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?

(Ответ: 90%)

Задача 4. Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 82 кг изюма?

( Ответ: 779 кг)

Задача 5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери – студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 114%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 2%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

( Ответ: 39%)

Задача 6. В сосуд, содержащий 7 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

(Ответ: 7%)

Задача 7. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй – 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

(Ответ: 135 кг)

Задача 8. Имеется два сосуда. Первый содержит 75 кг, а второй - 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 52% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится, раствор, содержащий 58% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

( Ответ: 33 кг)

Список использованной литературы.

1.Единый государственный экзамен. Математика. Тематический сборник заданий. Под редакцией ёнова ,. ЕГЭ - 2013.

2.Математика. 30типовых вариантов заданий для подготовки к единому государственному экзамену. ФИПИ – школьникам и учителям. Под редакцией ёнова, . ЕГЭ - 2013.

3. Математика. Типовые тестовые задания. Под редакцией ёнова, . ЕГЭ - 2014.