Исходные данные о продаже квартир на вторичном рынке жилья

Исходные данные о продаже квартир на вторичном рынке жилья

("1") Табличные значения стандартных функций распределения:

t0.05,14 = 2.145 F0.05,1,14 = 4.6

c20.025,14 =26.1 c20.975,14 =5.63

1. Парная регрессия y на x1.

а) Найти уравнение линейной регрессии для x1.

("2") Таким образом, выборочные средние значения = 32,3; = 18,2; = 605,9;

выборочная дисперсия = 34,3;

выборочная ковариация cov(x, y) = = 605,9-32,3*18,2 = 18,04;

Коэффициенты регрессии b1== = 0,53

= 18,2 – 0,53*32,3 = 1,08

При увеличении жилой площади на 1 кв. м цена квартиры в среднем возрастает на 0,53 тыс.$.

Уравнение регрессии = 1,08 + 0,53 * x.

б) рассчитать коэффициент корреляции

Между величиной жилой площади квартиры и ценной квартиры наблюдается умеренная положительная зависимость.

в) определить среднюю величину y при x1=35.

Средняя цена квартиры при жилой площади 35 кв. м составляет 19.63 тыс.$. Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице.

("3") г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.

С учетом значений из обеих таблиц:

Остаточная дисперсия

Дисперсия среднего значения

= 0.920

Стандартное отклонение

Дисперсия индивидуального значения y0

Стандартное отклонение y0

Для доверительной вероятности g=0,95 уровень значимости a = 1-g = 0,05.

Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости a = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16-2 =14 составляет t0.05,8 = 2,31.

Доверительный интервал для среднего значения

19.63 – 2.145×0.96 £ y £ 19.63 + 2.145×0.96

17.57£ y £ 21.69

Доверительный интервал для индивидуального значения

19.63 – 2.145×3.61 £ y0 £ 19.63 + 2.145×3.61

11.89 £ y0 £ 27.37

("4") С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с площадью 35 кв. м с вероятностью 95% лежит в пределах от 17,57 до 21,69 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 11,89 до 27,37 тыс.$.

д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии b1 и дисперсии возмущений s2.

Дисперсия коэффициента регрессии == 0.022

Стандартное отклонение

Доверительный интервал для коэффициента регрессии b1

0.53–2.145×0.148 £ b1 £ 0.53+ 2.145×0.148

0.21 £ b1 £ 0.85

С надежностью 0,95 увеличение площади квартиры на 1 кв. м приводит к увеличению цены квартиры на величину от 0,21 до 0,85 тыс.$.

Табличные значения распределения c2 Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют

;

Доверительный интервал дисперсии возмущений

7,42 £ s2 £ 34,42

Интервал для стандартного отклонения 2,72 £ s £ 5,87.

С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 7,42 до 34,42, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 2,72 до 5,87.

Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.

Общая сумма квадратов отклонений y = 281,27

Остаточная сумма квадратов = 169,59

("5") Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27–169,59 = 111,68

Величина F-критерия

= 9,23,

где m – число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.

Табличное значение F-распределения Фишера для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m-1=1 составляет F0,05,1,14=4,6.

Так как расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии y по x1 следует признать значимым, т. е. заслуживающим доверия.

Определим коэффициент детерминации.

0,40

Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 40% определяется фактором x –площадью квартиры.

2. Парная регрессия y на x2.

а) Найти уравнение линейной регрессии для x2.

("6") Таким образом, выборочные средние значения = 13,1; = 18,2; = 232,025;

выборочная дисперсия = 32,9;

выборочная ковариация cov(x, y) = = 232,025-13,1*18,2 = -6,4;

Коэффициенты регрессии b1== = -0,19

= 18,2 – (-0,19)*13,1 = 20,7

При увеличении времени пути до метро на 1 мин. цена квартиры в среднем снижается на 0,19 тыс.$.

Уравнение регрессии = 20,7 – 0,19 * x.

б) рассчитать коэффициент корреляции

Между временем пути до метро от квартиры и ценной квартиры наблюдается слабая отрицательная зависимость.

в) определить среднюю величину y при x2=12.

Средняя цена квартиры при времени пути до метро 12 минут составляет 19.63 тыс.$.

Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице

("7") г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.

С учетом значений из обеих таблиц:

Остаточная дисперсия

Дисперсия среднего значения

= 1,21

Стандартное отклонение

Дисперсия индивидуального значения y0

Стандартное отклонение y0

Для доверительной вероятности g=0,95 уровень значимости a = 1-g = 0,05.

Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости a = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16-2 =14 составляет t0.05,8 = 2,31.

Доверительный интервал для среднего значения

18,42 – 2,145×1,1 £ y £ 18,42 + 2,145×1,1

16,06£ y £ 20,78

Доверительный интервал для индивидуального значения

18,42 – 2,145×4,46 £ y0 £ 18,42 + 2,145×4,46

8,85 £ y0 £ 27,99

("8") С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с временем пути до метро 12 минут с вероятностью 95% лежит в пределах от 16,06 до 20,78 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 8,85 до 27,99 тыс.$.

д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии b1 и дисперсии возмущений s2.

Дисперсия коэффициента регрессии == 0.035

Стандартное отклонение

Доверительный интервал для коэффициента регрессии b1

-0,19–2,145×0,187 £ b1 £ -0,19 + 2,145×0,187

0,59£ b1 £ 0,21

С надежностью 0,95 увеличение времени пути до метро на 1 минуту приводит к увеличению цены квартиры на величину от – 0,59 до 0,21 тыс.$.

Табличные значения распределения c2 Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют

;

Доверительный интервал дисперсии возмущений

11,44 £ s2 £ 53,03

Интервал для стандартного отклонения 3,38 £ s £ 7,28.

С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 11,44 до 53,03, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 3,38 до 7,28.

Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.

Общая сумма квадратов отклонений y = 281,27

Остаточная сумма квадратов = 261,27

("9") Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27–261,27 = 20

Величина F-критерия

= 1,07,

где m – число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.

Табличное значение F-распределения Фишера для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m-1=1 составляет F0,05,1,14=4,6.

Так как расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии y по x1 следует признать значимым, т. е. заслуживающим доверия.

Определим коэффициент детерминации.

квартира стоимость регрессия вариация

0,07

Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 7% определяется фактором x –временем пути до метро.

preview_end()