Алгоритмы численного решения уравнений в частных производных

Алгоритмы численного решения уравнений в частных производных (УЧП) являются важным инструментом для моделирования различных физических процессов, описываемых этими уравнениями. Применение численных методов позволяет решать задачи, для которых аналитические решения либо не существуют, либо трудно найти. Основными подходами к численному решению являются методы конечных разностей, конечных элементов и конечных объемов.

1. Метод конечных разностей
   Метод конечных разностей заключается в аппроксимации производных с помощью разностных отношений. Для этого пространство и время дискретизируются на сетку, и уравнение в частных производных заменяется на систему разностных уравнений, которые могут быть решены численно. Для решения задачи на сетке используем центральные, вперед и назад разности для приближенной оценки производных по времени и пространству. В зависимости от конкретной задачи разностные схемы могут быть стабильными, устойчивыми или иметь различные порядки точности.

   • Пример: уравнение теплопроводности
     Для уравнения теплопроводности в форме $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$, метод конечных разностей может быть применен с использованием разности второго порядка для пространственного и первого порядка для временного производного:

     $$\frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2}$$

     Здесь $u_i^n$ — значение функции в точке $x_i$ и момент времени $t_n$.

2. Метод конечных элементов
   Метод конечных элементов используется для решения дифференциальных уравнений на сложных геометриях и в областях с неоднородными свойствами. Пространственная область делится на конечное количество элементов, в каждом из которых решение аппроксимируется полиномами. Алгоритм состоит в формулировке слабой формы задачи и дискретизации ее на сетке, что приводит к решению системы линейных уравнений. Важными аспектами метода являются выбор функций аппроксимации и способ решения системы линейных уравнений, полученной после дискретизации.

   • Пример: уравнение Навье-Стокса
     Для уравнения Навье-Стокса метод конечных элементов может быть применен к моделированию течения жидкости. Расчетные области могут быть как прямоугольными, так и сложными, что позволяет гибко подходить к решению задачи с различными условиями.

3. Метод конечных объемов
   Метод конечных объемов активно используется для решения уравнений, описывающих законы сохранения (например, для задач гидродинамики или аэродинамики). Принцип метода заключается в интегрировании уравнения по малым объемам, результатом чего является система уравнений для каждой ячейки. Эти уравнения обычно представляют собой аппроксимации потоков через границы ячеек. Для устойчивости и точности схемы используются методы, такие как расширенные схемы для аппроксимации потоков, адаптивные сетки и системы управления ошибками.

   • Пример: уравнение Бернулли для течения жидкости
     Применение метода конечных объемов позволяет эффективно моделировать динамику течения с учетом всех особенностей потоков, включая удары и скачки давления.

4. Метод характеристик
   Метод характеристик используется для решения гиперболических уравнений в частных производных, таких как уравнения движения. Алгоритм основывается на том, что решение задачи можно выразить вдоль характеристик, что преобразует уравнение в обычные дифференциальные уравнения вдоль этих характеристик. Это позволяет существенно упростить задачу и сделать решение более эффективным.

   • Пример: уравнение Шарля
     В задачах с гиперболическими уравнениями, такими как уравнение Шарля, метод характеристик помогает найти решение поэтапно вдоль траекторий, что особенно важно для моделирования волн и скачков.

5. Выбор численного метода
   При выборе численного метода для решения УЧП необходимо учитывать множество факторов: тип уравнения (гиперболическое, параболическое или эллиптическое), геометрия области, требования к точности решения, наличие или отсутствие аналитических решений для верификации. Каждому методу характерны свои ограничения по времени вычислений, стабильности, точности и сложности реализации.

6. Стабильность и сходимость
   Для эффективного решения УЧП важными характеристиками численного метода являются его стабильность и сходимость. Стабильность означает, что ошибка численного решения не растет экспоненциально с увеличением числа шагов дискретизации. Сходимость означает, что с уменьшением шага сетки решение численного метода стремится к решению точного уравнения. Для анализа этих свойств часто используются критерии Лакса и Куранта-Фридрихса-Леви.

7. Использование параллельных вычислений
   Для больших задач численного решения уравнений в частных производных часто требуется использование параллельных вычислений и высокопроизводительных вычислительных систем. Распараллеливание методов позволяет существенно ускорить процесс решения сложных и ресурсоемких задач, таких как моделирование атмосферы, океанографии и других физических явлений.

Численное решение задач оптимизации с ограничениями: методика проведения занятия

1. Введение в постановку задачи

• Объяснить формулировку задачи оптимизации с ограничениями: минимизация (или максимизация) целевой функции при наличии равенств и неравенств.

• Представить математическую модель:

  $$\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \quad \text{при условиях} \quad g_i(x) \leq 0, \quad h_j(x) = 0,$$

  где $f$ — целевая функция, $g_i$ — функции неравенств, $h_j$ — функции равенств.

2. Классификация методов

• Обзор основных подходов: методы безусловной оптимизации с учетом ограничений, методы штрафных функций, проекционные методы, методы лагранжевых множителей, внутренние точки и др.

• Обсуждение преимуществ и ограничений каждого метода.

3. Теоретические основы

• Рассмотреть необходимые условия оптимальности: условия Каруша-Куна-Таккера (ККТ).

• Дать интерпретацию этих условий и показать их роль в численных алгоритмах.

4. Практическая часть — реализация алгоритмов

• Пошагово разобрать реализацию одного-двух методов:
  а) Метод штрафных функций (penalty method): построение вспомогательной функции без ограничений, выбор параметров штрафа, итеративное приближение к решению.
  б) Метод внутренней точки (interior-point method): формулировка барьерных функций, правила обновления приближений, управление параметрами.

• Показать алгоритмическую структуру, особенности реализации и сходимости.

5. Работа с ограничениями

• Объяснить способы учета ограничений в численных алгоритмах (явное и неявное).

• Рассмотреть проекционные методы для неравенств, преобразование равенств, стабилизацию расчетов.

6. Использование программных средств

• Демонстрация практической работы на выбранном ПО или языках программирования (например, MATLAB, Python с библиотеками SciPy, CVXOPT).

• Показать, как формализовать задачу, настроить параметры алгоритма и интерпретировать результаты.

7. Анализ результатов и отладка

• Обсудить критерии сходимости и точности.

• Рассмотреть типичные проблемы: застревание в локальных минимумах, неустойчивость при жестких ограничениях, проблемы с выбором параметров.

• Способы их преодоления.

8. Итоговое закрепление

• Разбор контрольных задач с разными типами ограничений.

• Поиск решения с объяснением промежуточных шагов.

• Обсуждение результатов и выводов.

Методы численного решения задач теплообмена: подробный план семинара

1. Введение в задачи теплообмена
   1.1 Классификация задач теплообмена (стационарные и нестационарные)
   1.2 Основные уравнения теплообмена: уравнение теплопроводности, граничные и начальные условия
   1.3 Типичные задачи: одномерные, двумерные и трехмерные задачи

2. Обзор численных методов решения задач теплообмена
   2.1 Методы дискретизации пространства и времени
   2.2 Основные подходы: метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных объемов (МКОб)

3. Метод конечных разностей (МКР)
   3.1 Дискретизация уравнения теплопроводности во времени и пространстве
   3.2 Явные, неявные и полуявные схемы
   3.3 Устойчивость, сходимость и точность МКР
   3.4 Особенности обработки граничных условий
   3.5 Примеры решения одномерных и двумерных задач

4. Метод конечных элементов (МКЭ)
   4.1 Основные принципы МКЭ: разбиение области на элементы, аппроксимация функции температуры
   4.2 Формулировка слабой формы уравнения теплопроводности
   4.3 Построение системы уравнений и способы ее решения
   4.4 Особенности применения МКЭ к нестационарным задачам
   4.5 Применение адаптивных сеток и оценка ошибки

5. Метод конечных объемов (МКОб)
   5.1 Принцип сохранения физических величин в контрольных объемах
   5.2 Дискретизация уравнений теплообмена в интегральной форме
   5.3 Обработка потоков через границы объемов
   5.4 Преимущества метода для сложных геометрий и многокомпонентных систем
   5.5 Примеры решения задач теплообмена с конвекцией и излучением

6. Временная дискретизация в нестационарных задачах
   6.1 Методы явной и неявной интеграции по времени
   6.2 Схемы Эйлера, Кранка-Николсона, Рунге-Кутты и их применение
   6.3 Влияние шага по времени на устойчивость и точность

7. Особенности численного моделирования различных видов теплообмена
   7.1 Теплопроводность
   7.2 Конвекция: естественная и вынужденная
   7.3 Излучение: моделирование теплового излучения и его влияние на расчет
   7.4 Многофизические задачи с взаимодействием теплопереноса и механических процессов

8. Адаптация и оптимизация численных методов
   8.1 Адаптивное сеточное разбиение
   8.2 Методы ускорения сходимости: методы релаксации, многосеточные методы
   8.3 Параллельные вычисления и реализация на современных вычислительных платформах

9. Проверка и верификация численных моделей
   9.1 Тестовые задачи с аналитическими решениями
   9.2 Анализ ошибок и критерии точности
   9.3 Валидация моделей на экспериментальных данных

10. Практические примеры и кейсы
    10.1 Решение задач теплообмена в теплообменниках
    10.2 Моделирование охлаждения и нагрева технических устройств
    10.3 Особенности численного моделирования в строительной теплофизике

11. Заключение
    11.1 Сравнение методов по точности и вычислительной стоимости
    11.2 Рекомендации по выбору метода в зависимости от задачи
    11.3 Современные тенденции в численных методах теплообмена

Обучение методам аппроксимации численных задач с сингулярностями

Обучение студентов методам аппроксимации для численного решения задач с сингулярностями требует системного подхода, включающего теоретическую подготовку и практические навыки. Основные этапы и ключевые моменты обучения:

1. Введение в сингулярности и особенности задач

   • Объяснить природу сингулярностей в контексте дифференциальных уравнений и интегральных уравнений.

   • Рассмотреть типы сингулярностей: алгебраические, логарифмические, обусловленные геометрией или граничными условиями.

   • Продемонстрировать влияние сингулярностей на поведение решений и на точность численных методов.

2. Анализ поведения решения вблизи сингулярных точек

   • Обучить построению асимптотических разложений решений около сингулярностей.

   • Ввести понятие особых функций и весовых функций, адекватно описывающих локальное поведение решения.

   • Обратить внимание на слабые и сильные сингулярности, их различия и методы учета.

3. Методы аппроксимации с учётом сингулярностей

   • Рассмотреть специальные базисные функции (например, функции типа Гаусса, полиномы с весом, специальные ортогональные системы), способные аппроксимировать сингулярное поведение.

   • Изучить технику выделения сингулярной части решения и аппроксимации регулярной части.

   • Применить метод выравнивания (matching asymptotics) для совмещения локальных и глобальных приближений.

   • Рассмотреть адаптивные сетки и сетки с концентрацией узлов около сингулярных точек.

4. Численные методы и алгоритмы

   • Изучить методы коллокации, метод Галеркина, метод моментов с модифицированными весовыми функциями.

   • Рассмотреть регуляризацию сингулярных интегралов (например, вычитание сингулярной части, метод частичных интегралов).

   • Обучить вычислению специальных интегралов с сингулярными ядрами с использованием подходящих формул квадрирования.

5. Практические занятия и реализация

   • Практиковать реализацию адаптивных алгоритмов с контролем ошибки.

   • Выполнять численные эксперименты с различными типами сингулярностей и сравнивать эффективность различных аппроксимационных схем.

   • Анализировать сходимость и устойчивость методов на тестовых задачах.

6. Использование программных средств

   • Ознакомить с библиотеками и пакетами для численного решения задач с сингулярностями (например, специализированные модули в MATLAB, Python SciPy).

   • Разбирать примеры кода, подчеркивая особенности обработки сингулярных точек.

7. Контроль и оценка знаний

   • Использовать задачи с известными аналитическими решениями для проверки правильности аппроксимаций.

   • Организовать лабораторные работы и курсовые проекты, где студенты реализуют и исследуют методы аппроксимации для сингулярных задач.

Такой комплексный подход позволяет сформировать у студентов глубокое понимание и практические навыки для успешного применения методов аппроксимации в задачах с сингулярностями.

Численное решение уравнений с частными производными методом конечных разностей

Метод конечных разностей (МКР) используется для численного решения дифференциальных уравнений с частными производными (ДУЧП), заменяя производные их конечными разностями на сетке.

1. Дискретизация области
   Прежде чем применить метод конечных разностей, необходимо разбить область решения (пространственную и/или временную) на сетку. Для этого вводятся шаги сетки: $\Delta x$ и $\Delta t$ для пространственной и временной переменных соответственно. Пространственные переменные $x_i$ и временные $t_n$ определяются как:

   $$x_i = x_0 + i \Delta x, \quad t_n = t_0 + n \Delta t$$

   где $i$ и $n$ — индексы по пространственной и временной сетке.

2. Замена производных конечными разностями
   Для каждого производного выражения в уравнении с частными производными используется аппроксимация с помощью конечных разностей. Основные схемы для пространственных и временных производных:

   • Первая производная по пространству (центральная разность):

   $$\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1} - u_{i-1}}{2\Delta x}$$

   • Вторая производная по пространству (центральная разность):

   $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{\Delta x^2}$$

   • Первая производная по времени (например, явная схема):

   $$\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u^{n+1}_i - u^n_i}{\Delta t}$$

   • Вторая производная по времени (для схемы второго порядка):

   $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u^{n+1}_i - 2u^n_i + u^{n-1}_i}{\Delta t^2}$$

3. Построение системы разностных уравнений
   Заменив производные их конечными разностями, можно получить разностные уравнения для каждого узла сетки. Например, для уравнения теплопроводности:

   $$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

   Применяя центральные разности, получаем:

   $$\frac{u^{n+1}_i - u^n_i}{\Delta t} = \alpha \frac{u^{n}_{i+1} - 2u^n_i + u^n_{i-1}}{\Delta x^2}$$

   Переписывая это уравнение, получаем разностное уравнение для $u^{n+1}_i$:

   $$u^{n+1}_i = u^n_i + \frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} (u^n_{i+1} - 2u^n_i + u^n_{i-1})$$

4. Граничные и начальные условия
   Для численного решения необходимо задать начальные и граничные условия. Начальные условия задаются для всех узлов на первом шаге по времени ($t_0$), а граничные условия могут быть различных типов (Дирихле, Неймана и др.):

   • Граничные условия Дирихле:

   $$u(0, t) = f(t), \quad u(L, t) = g(t)$$

   • Граничные условия Неймана:

   $$\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = h(t), \quad \frac{\partial u}{\partial x}(L, t) = k(t)$$

5. Решение системы уравнений
   Решение разностной схемы сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для каждого временного шага. Для каждого временного уровня, зная значения $u^n_i$, можно вычислить значения $u^{n+1}_i$ на следующем шаге, используя разностное уравнение. Это можно делать итеративно до достижения желаемой точности или времени.

6. Типы схем и их устойчивость
   Для обеспечения точности и устойчивости метода важно правильно выбрать тип схемы (явная, неявная, смешанная). Явные схемы просты в реализации, но могут быть неустойчивыми при больших шагах по времени $\Delta t$, особенно для диффузионных уравнений. Для неявных схем стабильность обеспечивается за счет решения системы линейных уравнений, что делает их более подходящими для задач с жесткими условиями.

7. Оценка ошибки и сходимости
   Оценка ошибки численного метода конечных разностей включает анализ дискретизации и оценки погрешностей, связанных с конечными разностями и сходимостью алгоритма. Применяются различные критерии сходимости, такие как условие Куранта-Фридрихса-Леви (CFL), которое определяет ограничения на выбор шага по времени в зависимости от шага по пространству для обеспечения устойчивости.

Метод Эйлера для решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Метод Эйлера — это один из самых простых численных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Он используется для приближенного нахождения решения начальной задачи типа Коши для ОДУ:

где $f(x, y)$ — заданная функция, а $(x_0, y_0)$ — начальные условия задачи.

Алгоритм метода Эйлера основывается на аппроксимации производной на малом интервале, предполагая, что решение вблизи точки можно аппроксимировать с помощью линейной функции. В дискретной форме метод Эйлера выражается следующим образом:

где:

• $y_n$ — приближенное значение решения в точке $x_n$,

• $h$ — шаг по $x$ (размер шага),

• $f(x_n, y_n)$ — значение функции производной в точке $(x_n, y_n)$.

Метод Эйлера начинается с вычисления значения функции $f(x_0, y_0)$ на начальном шаге и затем используется для нахождения последующих значений $y_n$, используя рекуррентную формулу. Таким образом, на каждом шаге $x_n$ значение функции $y_{n+1}$ вычисляется как $y_n + h f(x_n, y_n)$, где $h$ — шаг интегрирования, который влияет на точность метода.

Основная идея метода заключается в том, что изменение функции $y(x)$ на малом шаге $h$ можно аппроксимировать линейно, исходя из значения функции $f(x_n, y_n)$ в текущей точке. Это приводит к линейному приближению решения на каждом шаге, что упрощает вычисления, но в то же время увеличивает погрешности с увеличением шага $h$.

Метод Эйлера имеет порядок точности 1, что означает, что погрешность на каждом шаге пропорциональна шагу $h$, и она будет уменьшаться при уменьшении шага. Однако, для сложных или жестких задач этот метод может быть недостаточно точным и требовать дополнительных улучшений, таких как методы Рунге-Кутты.

Методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) заключается в нахождении решения уравнения с заданными начальными условиями. Для различных типов ОДУ существуют различные методы решения, каждый из которых имеет свои особенности и области применения.

1. Метод прямого интегрирования
   Этот метод применяется в случае, когда уравнение может быть интегрировано напрямую. Он используется для уравнений, которые можно привести к форме, позволяющей непосредственное нахождение решения. Например, для уравнений вида $\frac{dy}{dx} = f(x)$ решение можно найти путем простого интегрирования.

2. Метод разделения переменных
   Метод применяется к уравнениям, которые можно записать в виде $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$. При этом обе части уравнения можно "разделить" так, чтобы все зависимости от $x$ находились с одной стороны, а зависимости от $y$ — с другой. После разделения переменных уравнение интегрируется по обеим частям.

3. Метод интегрирующего множителя
   Этот метод используется для решения линейных ОДУ первого порядка, имеющих вид $\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)$. Метод заключается в умножении уравнения на специальную функцию, называемую интегрирующим множителем, что позволяет привести его к уравнению, поддающемуся прямому интегрированию.

4. Метод вариации произвольной константы
   Метод применяется к линейным неоднородным уравнениям. Сначала решается однородное уравнение, после чего в его решение вводятся произвольные константы, которые зависят от функции $x$, а затем эти константы определяются из исходного уравнения.

5. Метод Лагранжа для систем ОДУ
   Для решения системы ОДУ с несколькими переменными используется метод Лагранжа. Суть метода заключается в представлении системы в виде уравнений первого порядка и нахождении решения через использование функции Лагранжа.

6. Метод характеристик
   Этот метод применяется для решения уравнений в частных производных (УЧП), но также может быть использован для решения некоторых типов нелинейных ОДУ, таких как уравнения, содержащие производные более высокого порядка. Метод заключается в преобразовании задачи в систему ОДУ для нахождения решения через характеристики.

7. Численные методы решения
   В случае, когда аналитическое решение невозможно или крайне сложно получить, прибегают к численным методам. Наиболее распространенными методами являются метод Эйлера, метод Рунге-Кутты и метод многократных шагов. Эти методы позволяют найти приближенные решения задачи Коши с заданной точностью.

8. Метод Лиапунова
   Для анализа устойчивости решений задачи Коши используется метод Лиапунова, который применяется для исследования поведения решений в окрестности равновесных состояний системы. Метод включает построение функции Лиапунова, которая характеризует энергию системы и позволяет исследовать стабильность решения.

9. Метод Гринса
   Метод Гринса применим в случае линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Суть метода заключается в представлении решения через так называемую функцию Грина, которая описывает воздействие начальных условий на решение уравнения.

10. Методы асимптотического анализа
    Асимптотический анализ используется для нахождения приближенных решений в предельных случаях (например, при малых или больших значениях параметров). Включает такие методы, как разложение в ряд Тейлора или использование методов Вейерштрасса.

Каждый из этих методов обладает своими преимуществами и ограничениями, и выбор метода зависит от конкретной задачи и вида дифференциального уравнения. В практике часто используются комбинации различных методов для получения более точных и эффективных решений.

Приближенное решение системы линейных уравнений методом минимальных норм

Рассмотрим систему линейных уравнений
$A x = b, \quad A \in \mathbb{R}^{m \times n}, \quad b \in \mathbb{R}^m, \quad x \in \mathbb{R}^n,$
где матрица $A$ может быть прямоугольной или вырождена. Если система несовместна (то есть $b \notin \operatorname{Im}(A)$) или имеет множество решений, используется метод минимальных норм для нахождения приближенного решения $x$ с минимальной нормой.

1. Постановка задачи минимальных норм
   Требуется найти вектор $x$, минимизирующий

То есть минимизируется норма решения среди всех приближенных решений.

2. Общее решение

• Если система совместна, то решение с минимальной нормой даётся псевдообратной матрицей Мура–Пенроуза:

где $A^{+}$ — псевдообратная $A$.

• Если система несовместна, то метод минимальных норм даёт решение, минимизирующее невязку:

где $x$ — единственное решение, минимизирующее $\|A x - b\|_2$ и обладающее минимальной нормой $\|x\|_2$.

3. Вычисление псевдообратной матрицы
   Пусть сингулярное разложение (SVD) матрицы $A$ имеет вид:

где

• $U \in \mathbb{R}^{m \times m}$ — ортогональная матрица,

• $V \in \mathbb{R}^{n \times n}$ — ортогональная матрица,

• $\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}$ — диагональная матрица, у которой диагональные элементы $\sigma_i$ — сингулярные числа $A$.

Псевдообратная матрица вычисляется как:

где $\Sigma^{+}$ получается из $\Sigma$ заменой всех ненулевых диагональных элементов $\sigma_i$ на $\frac{1}{\sigma_i}$ и транспонированием.

4. Алгоритм нахождения приближенного решения:

• Выполнить SVD разложение $A = U \Sigma V^{T}$.

• Построить $\Sigma^{+}$, заменяя все ненулевые $\sigma_i$ на $1/\sigma_i$.

• Вычислить $x = V \Sigma^{+} U^{T} b$.

5. Свойства решения:

• $x$ минимизирует $\|A x - b\|_2$, то есть это решение наилучшего приближения в смысле наименьшей квадратичной ошибки.

• Среди всех таких решений имеет минимальную евклидову норму $\|x\|_2$.

• Решение единственно.

6. Пример для случая $m \ge n$, полный ранг $A$:
   Если $\operatorname{rank}(A) = n$, тогда

Это частный случай метода минимальных норм (решение нормального уравнения).

7. Область применения:
   Метод минимальных норм используется для решения переопределённых (сверхопределённых) или несовместных систем, при этом обеспечивается устойчивое и уникальное приближенное решение с минимальной нормой.

Метод Эйлера для численного решения дифференциальных уравнений

Метод Эйлера — один из простейших численных методов решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Он применяется для аппроксимации решения дифференциального уравнения вида:

dy/dx = f(x, y),
с начальными условиями y(x?) = y?.

Метод основан на замене производной конечной разностью и использует тангенс угла наклона касательной в текущей точке как приближение к функции на малом отрезке. Идея заключается в том, чтобы на каждом шаге приближённо рассчитывать значение функции, используя информацию о её производной на предыдущем шаге.

Пусть нужно найти приближённое решение на интервале [x?, x?], разбитом на N равных шагов длиной h:

h = (x? ? x?) / N.

Тогда значения x_k и приближённые значения y_k находятся рекуррентно по формулам:

x_{k+1} = x_k + h,
y_{k+1} = y_k + h * f(x_k, y_k),
для k = 0, 1, ..., N?1.

Точка (x_{k+1}, y_{k+1}) вычисляется на основе значений функции и её производной в предыдущей точке. Это приводит к ломаной линии, приближающей истинную траекторию решения. Метод является явным и линейным по вычислениям, что делает его простым в реализации.

Погрешность метода Эйлера — локальная ошибка порядка O(h?) и глобальная ошибка порядка O(h), что означает, что точность метода линейно зависит от величины шага. При малых значениях h метод может давать достаточно точные результаты, однако он чувствителен к жесткости уравнений и может быть неустойчив при неудачном выборе шага.

Метод Эйлера часто используется как базовая модель в численном анализе, на основе которой строятся более устойчивые и точные методы, такие как метод Эйлера с пересчётом (модифицированный Эйлер), метод Рунге — Кутты и др.