МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
Б2.Б5 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Основная образовательная программа подготовки бакалавра
по направлению
подготовки бакалавриата
080500.62 Бизнес-информатика
1 ТЕМЫ И План ЛЕКЦИЙ
1.1 Введение. Предмет теории вероятностей.
Предмет теории вероятностей и ее роль в естествознании. Выдающийся вклад отечественных ученых в обоснование и развитие теории вероятностей. Случайные события, операции над событиями. Вероятность событий и способы ее определения. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
Основные теоремы теории вероятностей
Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности и теорема гипотез (Байеса). Независимые испытания. Схема испытаний Бернулли, формула Бернулли. Теоремы Муавра-Лапласа.
1.2 Случайные величины
Случайные величины, определение и примеры случайных величин. Функция распределения, её свойства. Дискретные случайные величины. Понятие о биномиальном законе распределения и распределении Пуассона. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности и ее свойства. Важнейшие числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, их
свойства. Понятие о начальных и центральных моментах. Функции случайных величин. Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Понятие о нормальном законе распределения, его роль и место в теории вероятностей. Равномерный и показательный (экспоненциальный) законы распределения.
1.3 Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей.
Закон больших чисел. Теоремы Чебышева и Бернулли. Понятие о центральной предельной теореме.
1.4 Математическая статистика и ее основные задачи
Предмет, задачи и основные понятия математической статистики. Выборочный метод. Вариационный ряд и выборочная функция распределения. Группированная выборка, гистограмма.
1.5 Точечное и интервальное оценивание
Оценивание параметров закона распределения. Общие требования к оценкам. Состоятельные, несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии. Метод моментов. Оценивание числовых характеристик системы двух случайных величин. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Понятие о распределениях Стьюдента и хи-квадрат. Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины.
1.6 Проверка статистических гипотез
Проверка статистических гипотез, примеры. Общая схема проверки гипотез. Критическая область, уровень значимости. Ошибки первого и второго рода. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий нормально распределенных случайных величин и гипотезы о виде закона распределения. Критерии Колмогорова и Пирсона.
1.7 Основы дисперсионного анализа
Однофакторный дисперсионный анализ. Двухфакторный дисперсионный анализ.
1.8 Корреляционный и регрессионный анализ.
Коэффициент корреляции. Функции и коэффициенты регрессии. Оценивание коэффициентов и функции регрессии по методу наименьших квадратов. Построение доверительных интервалов для коэффициентов и значений функции регрессии.
2 ТЕМЫ И План ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
На практических занятиях студенты приобретают умения и навыки использования соответствующих вероятностно-статистических методов. По каждой из основных тем выдаются индивидуальные расчетные задания с последующей проверкой и обсуждением полученных результатов.
Темы занятий
2.1 Введение. Предмет теории вероятностей. Основные теоремы теории вероятностей.
Элементы комбинаторики.
2.2 Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности и теорема гипотез (Байеса). Независимые испытания. Схема испытаний Бернулли, формула Бернулли. Теоремы Муавра-Лапласа.
2.3 Случайные величины
2.4 Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей.
2.5 Вариационные ряды и их характеристики. Теория выборочного метода. Точечные и интервальные оценки.
2.6 Проверка статистических гипотез
2.7 Основы дисперсионного анализа
2.8 Корреляционный и регрессионный анализ.
3 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Самостоятельная работа, предусмотренная программой в общем объеме 83 часа, выполняется по указанным в программе темам. Она включает подготовку к практическим занятиям, выполнение расчётных заданий, а также углубленное изучение вопросов, предложенных преподавателем.
Вопросы для самостоятельного изучения
Все основные темы, необходимые для усвоения дисциплины в объеме, предусмотренном программой, излагаются на лекциях. Однако, с целью стимулирования более активного подхода к её изучению, часть вопросов, по усмотрению лектора, может предлагаться для углубленного самостоятельного изучения. К ним относятся следующие:
1. Вывод формулы Бернулли
2. Теоремы Муавра-Лапласа
3. Распределение функций случайных величин
4. Свойства биномиального закона распределения
5. Распределение Пуассона
6. Показательный (экспоненциальный) закон распределения,
7. Распределение хи-квадрат
8. Распределение Стьюдента
9. Группированная выборка, гистограмма и кумулята
10.Марковские процессы
Методические указания по изучению дисциплины
Для самостоятельного или более углубленного изучения вышеуказанных тем предлагается следующая литература:
Раздел: Теория вероятностей
1. Случайные события и вероятности. Классическое и статистическое определения вероятности. Понятие условной вероятности. Свойства вероятности.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
2. Колмогорова. Элементарные события. Правила действия со случайными событиями и вероятностями их осуществления. Сумма, произведение и разность событий. Вероятностное пространство. Борелевская сигма-алгебра.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
3. Связь комбинаторики и вероятности. Равновероятные события. Правило суммы и правило произведения.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
4. Выбор с возвращением и без. Выбор упорядоченный и неупорядоченный. Основные соотношения.
. Вероятность. Т.1,2 –М.: МЦНМО, 2004.
5. Формула полной вероятности. Примеры расчётов.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
6. Формула Байеса условной вероятности. Априорная и апостериорная вероятность.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
7. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.
. . Статистический анализ данных на компьютере. М.: ИНФРА-М, 1998, - 528с.
8. Полигон распределения. Характеристики случайной величины. Функция распределения.
. . Статистический анализ данных на компьютере. М.: ИНФРА-М, 1998, - 528с.
9. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность распределения непрерывной случайной величины.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
10. Числовые характеристики распределения вероятностей. Свойства математического ожидания и дисперсии. Е(аХ±bY) и D(аХ±bY).
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
11. Основные числовые характеристики распределения вероятностей и случайных величин. Квантили, квартили, мода, медиана, эксцесс, асимметрия. Производящие функции моментов.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
12. Взаимная зависимость и независимость случайных величин, событий и экспериментов. Ковариация, корреляция.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
13. Понятие случайного выбора. Трудности осуществления случайного выбора.
. . Статистический анализ данных на компьютере. М.: ИНФРА-М, 1998, - 528с.
14. Геометрическая вероятность. Задача о встрече. Задача о переломанной палочке.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
15. Биномиальное распределение. Числовые характеристики распределения. Математическое ожидание и дисперсия. Полиномиальное распределение.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
16. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее событие.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
17. Распределение Пуассона. Числовые характеристики распределения. Математическое ожидание и дисперсия.
18. Связи распределений Пуассона, биномиального и нормального. Метод моментов.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
19. Геометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение. Математическое ожидание и дисперсия.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
20. Равномерное распределение. Числовые характеристики распределения. Математическое ожидание и дисперсия. Коэффициент асимметрии и эксцесс. Задача о точности измерения прибором с крупной шкалой.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
21. Логарифмически нормальное распределение. Математическое ожидание, мода, медиана и дисперсия.
. . Статистический анализ данных на компьютере. М.: ИНФРА-М, 1998, - 528с.
22. Показательное распределение. Числовые характеристики распределения. Математическое ожидание и дисперсия. Связь с функцией Муавра – Лапласа. Коэффициент асимметрии и эксцесс.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
23. Нормальное распределение. Числовые характеристики распределения. Математическое ожидание и дисперсия. Функция Лапласа. Использование таблиц.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
24. Формула Стирлинга и её вывод.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
25. Локальная теорема Муавра – Лапласа. Основные соотношения. Свойства f(x).
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
26. Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Основные соотношения. Свойства F(x).
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
27. Распределения хи-квадрат и Стьюдента. Таблицы и их расчёт на компьютере. Математическое ожидание и дисперсия.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
28. Теорема Бернулли. Теорема Чебышева. Закон больших чисел.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
29. Центральная предельная теорема.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
30. Последовательности, образующие цепь Маркова. Терминология цепей. Примеры.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
31. Поток событий. Описание потока. Пуассоновский поток.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
32. Последовательности случайных величин в дискретном вероятностном пространстве. Случайное блуждание. Принцип отражения. Закон арксинуса.
. Вероятность. Т.1,2 –М.: МЦНМО, 2004.
33. Интеграл Стильтьеса. Примеры расчёта.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
34. Характеристическая функция. Основные соотношения и свойства.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
35. Использование характеристической функции для расчета моментов и распределений сумм случайных величин. Совместное распределение случайных величин.
. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988. – 448 с.
Раздел: Математическая статистика
1. Понятие математической статистики и связь между теорией вероятности и математической статистикой. ПР. 1 ч. . Макаров. Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
2. Понятия генеральной совокупности. Закон распределения в многомерной нормальной генеральной совокупности. Его основные характеристики. Частные (маргинальные) плотности. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
3. Понятие случайного выбора. Трудности осуществления случайного выбора. Основные способы организации выборки. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
4. Основные выборочные характеристики. Вариационный ряд и порядковые статистики. Эмпирическая функция распределения. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
5. Основная модель математической статистики – схема испытаний Бернулли. Основные характеристики распределения. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
6. Центральная предельная теорема, закон больших чисел и представление о связи характеристик выборки и генеральной совокупности. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
7. Методы описательной статистики. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
8. Шкалы измерений. Допустимые операции в шкале. Выборки «без распределения». Ранги и ранжирование. Связки. Средние ранги. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
9. Тройной тест. Парные наблюдения. Параметрические и непараметрические статистические модели. ПР. 1 ч. . . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
10. Понятие статистической гипотезы. Основные типы гипотез. Вероятности при гипотезе и альтернативе. Виды альтернатив. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
11. Статистическая проверка гипотез. Общая логическая схема статистического критерия. Характеристики качества критерия. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
12. Уровень значимости. Критическое событие. Типы ошибок. Мощность критерия. Статистика критерия. ПР. 1 ч. . Макаров. Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
13. Особенности проверки статистических гипотез на примере схемы испытаний Бернулли. Выбор уровня значимости. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
14. Критерий знаков для одной выборки. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
15. Гипотеза в двухвыборочной задаче. Критерий Манна – Уитни. Статистика Манна-Уитни. Метод проверки. Совпадения. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
16. Критерий Уилкоксона. Статистика Уилкоксона. Свойства статистики. Связь со статистикой Манна-Уитни.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
17. Парные наблюдения. Анализ с помощью критерия знаков и с помощью ранговых сумм Уилкоксона. Приближение нормального закона для больших выборок. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
18. Однофакторный анализ. Критерии Краскела-Уоллиса и Джонкхиера. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
19. Оценивание эффектов обработки. Непараметрический подход. Оценки сдвига. Метод контрастов. ПР. 1 ч. . . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
20. Двухфакторный анализ. Критерии Фридмана и Пейджа. Ассимптотика критериев. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
21. Параметры генеральной совокупности, модели и выборки. Статистическое оценивание параметров генеральной совокупности. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
22. Точечные оценки и их свойства (несмещённость, состоятельность и эффективность). Оценка среднего и дисперсии по выборке. Выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
23. Метод моментов для оценки параметров выборки. Метод максимального правдоподобия для оценки параметров выборки. Метод квантилей для оценки параметров выборки. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
24. Неравенство информации и его применение. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
25. Байесовское статистическое оценивание. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
26. Интервальные оценки и доверительные области. Состоятельность оценок. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
27. Оценка выборочного среднего при известной дисперсии и при неизвестной дисперсии. Доверительный интервал для среднего. Оценка выборочной дисперсии и доверительный интервал для неё. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
28. Статистические гипотезы для одной выборки с нормальным распределением. Проверка гипотезы при известной дисперсии и при неизвестной дисперсии. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
29. Статистические гипотезы для двух выборок с нормальным распределением. Проверка гипотезы при известной дисперсии и при неизвестной дисперсии. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
30. Основы статистического исследования зависимостей. Линейный регрессионный анализ. Оценки методом наименьших квадратов. Проверка предпосылок в задаче регрессионного анализа. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
31. Таблицы сопряженности признаков. Значимые и незначимые таблицы сопряженности признаков. Ожидаемые и наблюдаемые частоты. Теорема Пирсона – Фишера. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
32. Связь признаков в количественных шкалах. Коэффициент корреляции. Доверительные интервалы. ПР. 1 ч. . . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
33. Критерии согласия и однородности Колмогорова для простой гипотезы. Статистика Колмогорова. Алгоритм проверки гипотезы. Характеристики качества критерия. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
34. Критерий согласия хи-квадрат Пирсона для простой гипотезы и критерий согласия хи-квадрат Фишера для сложной гипотезы. Критерий согласия для Пуассоновского распределения ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
35. Планирование статистического эксперимента. Задачи взвешивания монет и исследования шин. ПР. 1 ч.
. . Статистический анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА-М, 1998, –528с.
