Об определения вектора углового ускорения абсолютно твердого тела

УДК 531.1/2

СТ. Н.БЪЧВАРОВ, В. Д.ЗЛАТАНОВ

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА УГЛОВОГО УСКОРЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

1. Введение

Известно, что скорость произвольной точки М абсолютно твердого тела определяется формулой

называемой законом распределения скоростей точек тела.

Вектор в формуле (1), называемый вектором угловой скорости тела, не зависит от выбора точки М и полюса А и является важной кинематической характеристикой движения.

Введение вектора угловой скорости осуществляется в основном двумя способами. Первый способ основан на понятии вектора бесконечно малого поворота тела. Обычно сначала рассматривается твердое тело с одной неподвижной точкой А и двумя бесконечно близкими положениями, соответствующими моментам и . Перемещение произвольной точки М тела перпендикулярно вектору . Вводится вектор таким образом, что , и после этого из равенства определяется вектор . Пусть точка А движется скоростью . Вводится система координат, имеющая начало в точке А и перемещающаяся поступательно со скоростью . Движение тела складывается из переносного поступательного движения со скоростью и относительного вращательного движения вокруг точки А. В результате этого сложения получается формула (1) ([2], [6], [9], [10] и др.). Введение вектора бесконечно малого поворота можно осуществить в соответствии с теоремами конечного поворота Эйлера и Шаля и пользуясь осью конечного поворота тела ([14], [16]). Подробнее теория конечного поворота тела изложена в [7].

Другой часто встречающийся способ введения вектора основан на том, что с твердым телом связан подвижной триэдр . Для единичных векторов имеем

Во время движения твердого тела единичные векторы , постоянные по модулю, меняют свои направления, и поэтому . Производная представляется в виде

На основании соотношения (2) имеем , поэтому , откуда следует, что . Коэффициенты представляют собой компоненты кососимметрического тензора, которому сопоставляется вектор , причём . Тогда формулы (3) принимают известный вид:

Радиус-вектор , соединяющий некоторую неподвижную точку О с произвольной точкой М тела, представлен как векторная сумма радиус-вектора полюса и радиус-вектора , определяющего положение точки М относительно полюса А, т. е. . Здесь вектор неизменно связан с телом и поэтому координаты постоянны во времени. Дифференцируя и используя соотношения (4), приходим к формуле (1) . Этот способ в каком-то смысле более формальный, но с другой стороны предлагает возможность связывания вектора с углами Эйлера.

В середине прошлого столетия болгарский ученый Аркадий Стоянов опубликовал несколько работ на тему “О кинематике идеально твердого тела” [11,12], результаты которых представлены в [13]. В них кинематика общего движения абсолютно твердого тела представлена дедуктивным способом, без использования метода подвижного триэдра, формул (4) Пуансона и вектора бесконечно малого поворота. Принимается, что общее движение твердого тела в пространстве определяется движением трех точек не лежащих на одной прямой. Решалась следующая задача: в данный момент времени известны скорости трех “основных” точек ; требуется определить скорость произвольной точки М этого тела. Решением этой задачи стала формула для определения вектора угловой скорости тела при помощи скоростей трех точек и их взаимных положений [13]

Доказательство этой формулы следует непосредственно из закона распределения скоростей (1). Выражая последовательно скорости “основных” точек, имеем

Векторно умножая равенства слева на соответственно и складывая, получаем

Здесь принято во внимание, что , и, учитывая равенство , получаем равенство (5).

2. Цель исследования

Цель настоящей работы – определить вектор углового ускорения тела , если известны скорости и ускорения трех “основных точек” в данный момент времени.

3. Определение вектора углового ускорения

Определим вектор углового ускорения твердого тела в общем случае его движения (рис. 1). Представляем формулу (5) в виде

и дифференцируем по времени

Имея в виду, что

подставляя (7) в (6) и совершая несложные преобразования, получаем для вектора углового ускорения

где вектор угловой скорости нужно выразить при помощи (5). Полученной формулой (8) определяется вектор углового ускорения через скорости и ускорении трех неколлинеарных основных точек , в предположении, что движение этих точек известно.

4. Частные случаи движения твердого тела

Рассмотрим определение углового ускорения в случаях, когда на движение твердого тела наложены некоторые ограничения.

·  Поступательное движение твердого тела. В случае поступательного движения: скорости и ускорения всех точек тела равны между собой

Подставляя (9) последовательно в (5) и (8) получаем

т. е. векторы и при поступательном движении тела равны нулю.

·  Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Это движение твердого тела, при котором две точки и тела неподвижны. Прямая, определённая этими точками, называется неподвижной осью тела. Теперь движение тела определяется движением только одной точки , находящейся вне оси вращения (рис. 2).

Тело абсолютно твердое, поэтому

после дифференцирования по времени имеем

потому что и . Из этого следует, что и , т. е. скорость любой точки тела вне оси вращения перпендикулярна плоскости, определённой этой точкой и этой осью. Поэтому введём вектор , направленный по оси вращения, таким образом, чтобы его векторное произведение на или равнялось , т. е.

Здесь О – произвольная точка на оси. Если размерность – м/с, размерность – м и размерность – с-1, то коэффициент пропорциональности перед векторным произведением в правой части равенства равняется единице.

Обозначим ортогональную проекцию точки на ось вращения и представим вектор как . Тогда формула (11) примет вид

где . Умножаем обе части равенства слева векторно на

или

и так как , находим

Дифференцируя по времени, получаем

где – ускорение точки , , а .

·  Плоскопараллельное движение тела. В этом случае каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости (плоскость движения). Для задания плоскопараллельного движения тела достаточно задать движение какого-либо сечения тела плоскостью, параллельной плоскости (рис. 3). Положение и движение этой плоской фигуры в ее плоскости вполне определяется двумя точками и , причём

Дифференцируем последнее соотношение по времени и находим

так как . Отсюда следует, что разность скоростей точек и в любой момент времени перпендикулярна прямой, соединяющей эти точки. Введём вектор , перпендикулярный плоскости движения, таким образом, чтобы разность скоростей равнялась векторному произведению вектора угловой скорости на , т. е.

После векторного умножения второго векторного равенства (15) на , имея в виду, что , для вектора угловой скорости получаем

а после векторного умножения первого равенства (15) на и учитывая, что , получаем формулу для определения вектора при помощи скоростей точек и плоской фигуры тела

Из равенств (16) и (17) находим два выражения для определения углового ускорения плоской фигуры тела скоростями и ускорениями точек и этой фигуры.

Дифференцируя по времени формулу (16), имеем

где можно получить из формулы (17).

Дифференцируя по времени формулу (17), получаем

где вектор определяется только ускорениями точек и , а также их взаимным положением.

·  Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. В этом случае точки тела движутся по поверхностям сфер с центром в неподвижной точке (рис. 4).

Движение тела вполне определяется движением сферической фигуры, полученной пересечением тела со сферой с центром . С другой стороны движение этой сферической фигуры определяется движением её двух точек и . Пусть третья основная точка – это неподвижная точка . Тогда имеем

Дифференцируя по времени, получаем

т. е. во время движения

так как . Имеем

Векторно умножая третье равенство слева на , снова получаем

В формуле (20), в отличие от формулы (16), скорости и точек и не всегда перпендикулярны одной неподвижной оси.

Дифференцируя (20) по времени, имеем

причём скорости и и ускорения и точек и не всегда перпендикулярны одной неподвижной оси, как это было в случае плоскопараллельного движения.

5. Пример

Рассмотрим кривошипно-ползунный механизм (рис. 5). Кривошип ОА длиной вращается с постоянной угловой скоростью . Определить угловую скорость и угловое ускорение шатуна АВ при и .

Шатун совершает плоское движение. Для скоростей и ускорений основных точек А и В (АºА1, ВºА2 ) имеем

где – единичный вектор оси , а и единичные векторы, определяющие направлений скоростей и .

Используя формулу (16) и имея ввиду, что , получаем угловую скорость шатуна АВ

Для определения углового ускорения шатуна воспользуемся формулой (18). Имея в виду, что , , , , , получаем

Векторы и перпендикулярны плоскости движения. Знак “–“ перед указывает, что вращение шатуна совершается в данный момент времени по часовой стрелке, а “+” перед , что шатун вращается замедленно, и вектор направлен к наблюдателю.

Полученные результаты совпадают с результатами решения этих задач при помощи мгновенного центра скоростей и законов распределения скоростей и ускорений.

6. Заключение

После краткого обзора принятых в литературе способов введения вектора угловой скорости в кинематике абсолютно твердого тела в работе представлена формула для вычисления угловой скорости по трём точкам, не лежащим на одной прямой. На основании этой формулы получены формулы для определения углового ускорения в общем случае движения твёрдого тела и в частных случаях, с использованием скорости и ускорения трех “основных” точек. Применение полученных формул проиллюстрировано на примере кривошипно-шатунного механизма. Результаты совпадают с результатами решения этих задач традиционными методами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.  Теоретическая механика, т. І. - М.: Физматгиз, 1960.-515 с.

2.  Основной курс теоретической механики, т. І. - М.: Наука, 1965.-467 с.

3.  Механика, ч. І. - С.: Стандартизация принт, 2001.-391 с.

4.  Механика. - М.: РХД 2001.-368 с.

5.  Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - М.: Наука, 1965.-424 с.

6.  , Механика. - М.: Наука, 1988.-215 с.

7.  Аналитическая механика. - М.: Физматгиз, 1961.-824 с.

8.  Курс по теоретична механика, ч. І. - С.: Техника, 1974.-427 с.

9.  Розе Н.В. Теоретическая механика І. - Л.-М.: Гостехиздат, 1933.-428 с.

10.  Синг Дж.Л. Классическая механика. - М.: Физматгиз, 1963.-448 с.

11.  Върху кинематиката на твърдо тяло. - Годишник на Държавната политехника, т. ІІІ, кн. І, С. 1950.

12.  Върху кинематиката на абсолютно твърдото тяло, ІІ. - Годишник на ИСИ, т. V, С. .

13.  Теоретична механика, ч. ІІ Кинематика и динамика. - С.: Наука и изкуство, 1953, 1956.

14.  К. Теоретическая механика. - М.: Гостехиздат, 19с.

15.  О распределении скоростей в твердом теле. - Республиканский межведомственный сборник “Механика твердого тела”.– Киев: Наукова думка, 1969.-с 77-81.

16.  Т. Аналитическая динамика. - М.-Л.:ОНТИ, 1937.-586 с.

Поступила в редакцию 13.02.2007

После доработки 10.03.2007