Методы построения численных сеток и их адаптивность

Методы построения численных сеток играют ключевую роль в решении дифференциальных уравнений и моделировании физических процессов. Численная сетка представляет собой дискретизацию области решения задачи, в которой точки сетки соответствуют расчетным узлам, в которых вычисляются значения переменных. Важно правильно выбрать тип сетки и метод её адаптации в зависимости от сложности задачи и требуемой точности.

1. Равномерные сетки. Это сетки, где расстояния между соседними узлами одинаковы. Такой подход прост и эффективен для задач, где решение меняется слабо или линейно. Пример использования — решение уравнений с постоянными коэффициентами и в области, где нет резких изменений решения.

2. Неравномерные сетки. В этих сетках расстояния между узлами могут варьироваться в зависимости от требований задачи. Обычно они используются для решения задач, где решение имеет резкие изменения, например, в области сильных градиентов (шоки, сингулярности). Для этого создаются сетки с более плотными узлами в местах, где решение требует большей точности.

3. Адаптивные сетки. Это динамически изменяющиеся сетки, которые могут изменять свою структуру во время решения задачи в зависимости от характера решения в разных частях области. Метод адаптивной сетки основан на идее, что точность решения можно улучшить путем увеличения плотности узлов в тех местах, где решение имеет высокие градиенты, и уменьшения плотности в областях с более плавным изменением. Существуют несколько подходов для построения адаптивных сеток:

   • Метод динамической адаптации. В этом методе сетка пересчитывается на каждом шаге решения, и узлы перераспределяются с учётом текущего состояния решения. Такие методы широко используются в задачах, где требуется высокая точность в определённых областях (например, при моделировании движущихся фронтов или фазовых переходов).

   • Метод адаптации на основе ошибки. В этом случае сетка адаптируется с учётом ошибки на предыдущем шаге. Если ошибка в некоторой части области велика, узлы в этой области смещаются или добавляются для повышения точности. Это позволяет минимизировать ошибку на каждом шаге расчета.

4. Метод конечных элементов (МКЭ). В этом методе область разбиения делится на элементы с произвольной геометрией, и решение задачи приближается с использованием простых функций на каждом элементе. Этот метод позволяет строить адаптивные сетки с учетом формы области и особенностей решения. МКЭ широко используется для решения многомерных задач, где геометрия области сложна.

5. Метод конечных разностей. Для применения метода конечных разностей на сложных областях часто используются адаптивные сетки, которые подбираются так, чтобы более точно учитывать области с высокой изменчивостью решения. В этих случаях сетка делается более мелкой в местах с большим градиентом решения.

Адаптивность сетки играет важную роль в моделировании, поскольку позволяет эффективно контролировать точность решения и избегать перерасхода вычислительных ресурсов на несущественные области. Однако это также влечет за собой увеличение сложности вычислений, поскольку необходимо поддерживать алгоритмы, которые эффективно обновляют и перераспределяют сетку.

Методы вычисления параметров случайных процессов

Основные методы вычисления параметров случайных процессов включают:

1. Метод теоретического анализа (анализ через закон распределения). Этот метод предполагает использование математических моделей для нахождения статистических характеристик случайного процесса, таких как математическое ожидание, дисперсия, автокорреляционная функция. Для простых процессов (например, для процессов с нормальным распределением) можно использовать известные аналитические формы этих характеристик.

2. Метод выборки (эмпирическое определение параметров). Суть метода заключается в сборе статистических данных о случайном процессе из наблюдений (выборок). Затем с помощью этих данных рассчитываются оценки параметров процесса, такие как среднее, дисперсия, автокорреляция и другие параметры, используя методы математической статистики, например, метод максимального правдоподобия или метод моментов.

3. Метод автокорреляции и спектральный анализ. Автокорреляционная функция позволяет оценить зависимость значений процесса в разных точках времени. Для вычисления спектра случайного процесса используется преобразование Фурье автокорреляционной функции. Спектральный анализ используется для определения мощности сигнала в различных частотных диапазонах.

4. Метод максимального правдоподобия. Этот метод основывается на построении функции правдоподобия, которая описывает вероятность наблюдения данных при различных значениях параметров процесса. Оценка параметров осуществляется путем максимизации этой функции.

5. Метод моментов. Включает вычисление моментов случайного процесса (например, первого момента — математического ожидания, второго момента — дисперсии) на основе выборки данных и последующее решение системы уравнений для нахождения неизвестных параметров.

6. Метод наименьших квадратов. Этот метод используется для минимизации ошибки аппроксимации модели случайного процесса. Он применяется в регрессионном анализе для поиска параметров, которые минимизируют отклонение между наблюдаемыми значениями и предсказанными значениями модели.

7. Метод фильтрации Калмана. Этот метод используется для оценки параметров в условиях шума и ошибок измерений. Он позволяет по ряду наблюдений и моделей процессов оценить состояние системы с учетом погрешностей измерений.

Каждый из этих методов подходит для различных типов случайных процессов и зависит от доступных данных, характера процесса и требуемой точности.

Проведение занятия по методам оптимизации для нахождения глобального экстремума функции

1. Цели и задачи занятия
   Задача занятия — ознакомить студентов с методами поиска глобальных экстремумов функции, применяемыми в различных областях науки и инженерии. В процессе занятия важно акцентировать внимание на математических основах методов, их применении, а также преимуществах и недостатках каждого метода.

2. Подготовка к занятию
   Перед занятием необходимо обсудить основные понятия, такие как экстремумы функции, критерии оптимальности (первый и второй), градиент, выпуклость функции и другие теоретические основы. Также стоит предварительно объяснить студентам, что глобальный экстремум отличается от локального, и что его нахождение является более сложной задачей.

3. Введение в методы оптимизации
   В начале занятия следует сделать краткий обзор существующих методов оптимизации, уделяя внимание их различиям. Основное внимание следует уделить:

   • Методам градиентного спуска.

   • Эвристическим методам (например, генетические алгоритмы).

   • Методу Монте-Карло.

   • Методам, основанным на исследованиях теории выпуклых функций (метод Нелдера-Мида, метод градиентного подъема и спуска).

4. Методы оптимизации для нахождения глобального экстремума

   1. Градиентный метод
      Начать стоит с градиентного спуска, при этом необходимо акцентировать внимание на его ограничениях. Для нахождения глобального экстремума важно, чтобы функция была выпуклой. Показать, как работает метод градиентного спуска, как рассчитывается шаг и как регулируется его скорость. Далее, важно обсудить, что градиентный метод может застрять в локальных минимум, если функция не выпуклая.

   2. Эвристические методы (генетические алгоритмы)
      Генетические алгоритмы — один из популярных методов для поиска глобального экстремума, который не требует знаний о градиенте функции. Описание работы генетического алгоритма состоит из нескольких этапов: генерация начальной популяции, кроссинговер, мутация, отбор. Важно объяснить, что этот метод может быть применен для решения задач с высокоразмерными пространствами поиска и сложными зависимостями.

   3. Метод Монте-Карло
      Метод Монте-Карло используется для моделирования и статистического анализа, а также для поиска глобальных экстремумов в многомерных задачах. Он заключается в случайном переборе значений функции в пределах допустимого пространства. Следует обсудить, что этот метод является стохастическим, а значит, не гарантирует нахождения точного глобального экстремума, но может эффективно искать его в условиях неопределенности.

   4. Метод Нелдера-Мида
      Метод Нелдера-Мида — это не градиентный метод, который также используется для поиска глобальных экстремумов. Он применим к задачам оптимизации, где градиент функции не вычисляется или недоступен. Метод основан на многогранниках и пересоздает их для нахождения оптимума. Важно объяснить, что этот метод эффективно работает для непрерывных функций и может быть использован в условиях высокой сложности.

5. Применение методов на примере
   После теоретической части занятия необходимо предложить студентам решить несколько задач с использованием различных методов. Например, для функции f(x) = x^2 — стандартная задача для градиентного спуска и его модификаций. Для более сложных функций, например, многомерных или со множественными локальными экстремумами, использовать эвристические методы.

6. Выводы и подведение итогов
   В конце занятия следует подытожить, какие методы наиболее эффективны для поиска глобального экстремума в зависимости от типа функции (выпуклая, невыпуклая, многомерная и т.д.). Также следует обратить внимание на недостатки каждого из методов и условия, при которых их применение наиболее оправдано.

Реализация и применение метода Монте-Карло в вычислительной математике

Метод Монте-Карло представляет собой класс численных методов, основанных на использовании случайных величин для решения различных математических и инженерных задач. Этот метод находит широкое применение в вычислительной математике благодаря своей универсальности и эффективности при решении проблем, которые трудно поддаются аналитическому решению. Основная идея заключается в том, чтобы с помощью случайных выборок аппроксимировать решение задачи, которое в других случаях может быть либо слишком сложным, либо невозможным для точного вычисления.

Основные этапы реализации метода Монте-Карло

1. Генерация случайных чисел
   На первом этапе необходимо генерировать случайные числа, которые соответствуют определенному распределению вероятности, используемому для моделируемой задачи. Обычно используется равномерное или нормальное распределение, но могут применяться и другие типы, в зависимости от требований конкретной задачи.

2. Симуляция процесса
   Вторым шагом является моделирование многократных повторений или реализаций случайного процесса, используя сгенерированные случайные величины. Например, для задачи интегрирования функции методом Монте-Карло каждое случайное число может быть точкой в области, в которой нужно вычислить интеграл.

3. Оценка статистической характеристики
   После выполнения симуляций проводится оценка статистической характеристики (например, среднего значения, дисперсии или вероятности события), которая будет являться приближенным решением задачи. В процессе симуляции важно соблюдать баланс между количеством проб и необходимой точностью результата.

4. Уменьшение погрешности
   Для повышения точности необходимо увеличить количество случайных выборок, что уменьшит статистическую погрешность. С увеличением числа проб приближается точное значение, при этом важным фактором является правильная обработка результатов, чтобы избежать систематических ошибок.

Применение метода Монте-Карло

Метод Монте-Карло применяется в широком спектре задач, включая, но не ограничиваясь, следующими областями:

1. Численное интегрирование и решение дифференциальных уравнений
   Метод часто используется для вычисления интегралов, когда аналитическое решение невозможно или требует значительных усилий. Например, для вычисления многомерных интегралов, которые трудно решаются классическими методами, метод Монте-Карло позволяет быстро и с высокой точностью получить приближенные значения.

2. Моделирование случайных процессов и систем
   Метод Монте-Карло используется для моделирования сложных систем, таких как системы в квантовой механике, термодинамике и молекулярной динамике. Здесь можно применять случайные величины для моделирования молекулярных движений, взаимодействий частиц и других случайных процессов.

3. Оптимизация
   Метод используется для решения задач оптимизации, например, в задачах поиска максимума или минимума функции в условиях неопределенности или многокритериальных задачах, где другие методы могут быть трудоемкими или неэффективными.

4. Оценка вероятностей и симуляция сценариев
   В финансовых и экономических моделях метод Монте-Карло применяется для оценки рисков и предсказания вероятностей различных событий. В частности, его используют для оценки стоимости опционов, анализа инвестиций, расчета стоимости портфелей и моделирования экономических процессов в условиях неопределенности.

5. Генетические алгоритмы и машинное обучение
   Метод Монте-Карло используется в алгоритмах оптимизации для решения задач, где требуется подобрать параметры модели с учетом случайных факторов. В некоторых методах машинного обучения, таких как методы, основанные на цепях Маркова или байесовских сетях, Монте-Карло применяется для интеграции и поиска вероятностных распределений.

6. Инженерия и физика
   В области инженерных расчетов метод Монте-Карло используется для решения задач, связанных с моделированием распространения излучения, теплопередачей и другими процессами, где происходит случайное взаимодействие частиц или поля. Это позволяет находить решения для задач, которые сложно описать с помощью детерминированных моделей.

Преимущества и недостатки метода Монте-Карло

Основными преимуществами метода Монте-Карло являются его универсальность и способность решать задачи высокой сложности, которые не поддаются аналитическим методам. Кроме того, он относительно прост в реализации и хорошо масштабируется на многопроцессорных системах, что делает его эффективным при решении задач с большим числом переменных.

Среди недостатков можно отметить высокие вычислительные затраты на выполнение большого числа симуляций, особенно для задач высокой размерности. Также метод требует большого объема случайных чисел, что может ограничить его применение в случае дефицита вычислительных ресурсов или необходимости высокой точности.

Роль численных методов в решении аэродинамических задач

Численные методы являются фундаментальным инструментом для решения сложных задач аэродинамики, где аналитические решения либо отсутствуют, либо слишком громоздки для практического использования. Основная цель численных методов — аппроксимация уравнений, описывающих движение воздуха и взаимодействие потоков с телами, для получения точных и управляемых результатов.

В аэродинамике ключевыми математическими моделями являются уравнения Навье–Стокса, которые описывают поведение вязкой несжимаемой или сжимаемой жидкости. Численные методы позволяют дискретизировать эти дифференциальные уравнения с помощью конечных разностей, конечных элементов, конечных объемов или спектральных методов. Это обеспечивает возможность аппроксимации непрерывного поля скорости, давления, температуры и других параметров потока на сетке вычислительной области.

Использование численных методов позволяет учитывать сложные геометрии летательных аппаратов, различные режимы обтекания, включая ламинарные и турбулентные потоки, а также переходные явления. Методы турбулентного моделирования, такие как RANS (Reynolds-averaged Navier–Stokes), LES (Large Eddy Simulation) и DNS (Direct Numerical Simulation), реализуются через численные алгоритмы и позволяют прогнозировать воздействие турбулентности на аэродинамические характеристики.

Численные методы обеспечивают эффективное решение задач оптимизации формы и аэродинамических характеристик, что важно для повышения топливной эффективности, снижения сопротивления и улучшения устойчивости конструкции. Современные CFD (Computational Fluid Dynamics) пакеты используют адаптивные сетки и параллельные вычисления, что увеличивает точность и скорость моделирования.

Таким образом, численные методы дают возможность детально исследовать аэродинамические процессы, проводить виртуальные испытания, снижая затраты на экспериментальные исследования и ускоряя процесс разработки новых летательных аппаратов.

Численные методы решения интегральных уравнений и оценка их сходимости и точности

Интегральные уравнения широко применяются в математическом моделировании и инженерных задачах. Их аналитическое решение зачастую невозможно, поэтому применяются численные методы, основная задача которых — приближённое построение решения с контролируемой точностью.

Классификация интегральных уравнений:

1. Уравнения Фредгольма первого и второго рода.

2. Уравнения Вольтерры первого и второго рода.

3. Особые и слабособственные интегральные уравнения.

Численные методы для решения интегральных уравнений строятся на дискретизации интегрального оператора и замене интеграла суммой, что приводит к решению системы линейных или нелинейных уравнений.

Основные численные методы:

1. Метод прямоугольников, трапеций, Симпсона (квадратурные методы).
   Интеграл заменяется на сумму с помощью выбранной квадратурной формулы. В итоге исходное интегральное уравнение сводится к линейной системе относительно значений искомой функции в узлах.

2. Метод коллокации.
   Искомая функция аппроксимируется линейной комбинацией базисных функций (например, полиномов, сплайнов). Коэффициенты выбираются так, чтобы уравнение выполнялось в конечном числе точек (коллокационных узлах).

3. Метод галеркина.
   Искомое решение также представляется в виде разложения по базису, но коэффициенты определяются из условия минимизации остатка по норме пространства. Это приводит к системе уравнений, решаемой численно.

4. Метод моментов (проекций).
   Аналогичен методу Галеркина, но проекцию на базисные функции производят с помощью весовых функций, что упрощает вычисления.

5. Метод разностных схем.
   Применяется преимущественно для уравнений Вольтерры и особых интегральных уравнений, основан на замене интеграла разностной суммой и аппроксимации производных.

Оценка сходимости:

Сходимость численного метода означает, что при уменьшении параметра дискретизации (например, шага сетки h > 0) приближённое решение стремится к точному решению уравнения.

• Для линейных интегральных уравнений с непрерывным ядром и решениями из пространства непрерывных функций обычно доказывается равномерная сходимость численных методов при условии сходимости квадратурных формул и плотности базисов.

• Для методов Галеркина и коллокации сходимость обеспечивается при правильном выборе базисных функций и достаточной гладкости решения.

• Важным критерием является стабильность численного метода — малое возмущение данных не должно приводить к большим ошибкам в решении.

Оценка точности:

Точность численного метода характеризуется порядком аппроксимации, то есть степенью зависимости погрешности от шага дискретизации h.

• Для квадратурных методов точность определяется порядком выбранной квадратурной формулы (например, метод трапеций – второй порядок, метод Симпсона – четвёртый порядок).

• В методах Галеркина и коллокации точность зависит от степени аппроксимирующих базисных функций и гладкости решения.

• Важной характеристикой является норма погрешности в соответствующем функциональном пространстве (например, норма максимума или L2-норма).

• Практическая оценка точности часто проводится с помощью сравнений с эталонным решением или по остаточному в уравнении.

Итоговые замечания:

• Выбор численного метода определяется типом интегрального уравнения, свойствами ядра и требуемой точностью.

• Для устойчивых уравнений Фредгольма второго рода численные методы дают высокоточные решения при достаточно гладких ядрах.

• Для уравнений первого рода и с особенностями требуется применение специальных регуляризационных подходов для стабилизации решения.

• Адаптивные методы с контролем ошибки и выбором шага сетки повышают эффективность и точность численных решений.

Методы численного решения дифференциальных уравнений для многомерных задач

Для численного решения дифференциальных уравнений (ДУ) многомерных систем существует несколько методов, которые можно классифицировать по различным признакам: по типу уравнений (обычные или частные), по подходу к интеграции (явные или неявные методы), по точности и стабильности. Основные методы для многомерных задач включают:

1. Метод Эйлера
   Метод Эйлера является одним из самых простых и широко используемых для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в многомерных задачах. Векторное дифференциальное уравнение вида

   $$\frac{d \mathbf{y}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{y}, t)$$

   в методе Эйлера аппроксимируется разностным соотношением:

   $$\mathbf{y}(t + \Delta t) = \mathbf{y}(t) + \Delta t \cdot \mathbf{f}(\mathbf{y}(t), t)$$

   где $\mathbf{y}(t)$ — вектор состояний системы, $\Delta t$ — шаг по времени. Метод является явным и простой в реализации, однако он может быть неустойчив для жестких задач.

2. Метод Рунге-Кутты
   Семейство методов Рунге-Кутты является более точным по сравнению с методом Эйлера. Наиболее распространенным является метод четвертого порядка (RK4), который для многомерных систем можно записать как:

   $$\mathbf{y}(t + \Delta t) = \mathbf{y}(t) + \frac{\Delta t}{6} \left( k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right)$$

   где $k_1, k_2, k_3, k_4$ — вычисляются по формулам для каждого шага. Этот метод обеспечивает хорошую точность и стабильность для большинства задач.

3. Методы Адамса
   Методы Адамса представляют собой семейство многошаговых методов, где текущее значение решения вычисляется как линейная комбинация значений функции в предыдущих точках. Например, метод Адамса 3-го порядка может быть записан как:

   $$\mathbf{y}(t + \Delta t) = \mathbf{y}(t) + \frac{\Delta t}{24} \left( 55f(t) - 59f(t-\Delta t) + 37f(t-2\Delta t) - 9f(t-3\Delta t) \right)$$

   Данные методы требуют использования предварительных значений функции для нескольких предыдущих шагов, что может быть неудобно для задач с жесткими условиями.

4. Неявные методы (методы Бенжамина, метод Адамса-Моултона)
   Для жестких задач часто используются неявные методы, которые обеспечивают большую стабильность при больших шагах по времени. Один из таких методов — метод Бенжамина, который является более стабильным, чем явный метод Эйлера, но требует решения системы линейных уравнений на каждом шаге.

5. Методы конечных разностей
   Методы конечных разностей применяются для численного решения частных дифференциальных уравнений (ЧДУ). Основная идея метода заключается в замене производных конечными разностями. В многомерных задачах разности вычисляются по каждому направлению в пространстве, что приводит к системе алгебраических уравнений для каждого шага времени и пространственного разбиения.

6. Методы конечных элементов
   Методы конечных элементов (МКЭ) являются стандартным инструментом для решения многомерных дифференциальных уравнений в сложных геометриях. Этот метод использует разбиение области на конечные элементы и аппроксимацию функции на каждом элементе с использованием полиномов. Он применяется для решения как параболических, так и эллиптических уравнений в частных производных.

7. Методы спектральных элементов
   Спектральные методы используются для решения дифференциальных уравнений на регулярных сетках с высоким порядком точности. Метод заключается в разложении решения в ряд по базисным функциям (например, по функциям Фурье или полиномам), что позволяет достичь высокой точности при малых размерах сетки.

8. Методы Монте-Карло
   Методы Монте-Карло используются для решения задач, где необходимо учитывать вероятностные или случайные процессы. Эти методы могут быть полезны для многомерных систем с большим числом переменных, где традиционные методы интеграции являются вычислительно дорогими.

9. Метод сингулярных возмущений (метод регуляризации)
   Этот метод используется для решения дифференциальных уравнений, содержащих сильно возмущенные или сингулярные компоненты. Он включает в себя преобразование уравнений с помощью регуляризующих функций для стабилизации численного решения.

Методы численного решения многомерных дифференциальных уравнений могут сочетать различные подходы для повышения точности и стабильности решения, в зависимости от особенностей конкретной задачи, структуры уравнений и условий на границе.

Метод сопряженных градиентов для решения систем линейных уравнений

Метод сопряженных градиентов (МСГ) является итерационным методом решения систем линейных уравнений, где матрица системы симметрична и положительно определена. Этот метод использует итерационные подходы для нахождения числового решения, которое минимизирует ошибку на каждом шаге, что делает его особенно эффективным для больших разреженных систем.

Пусть дана система линейных уравнений вида $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$, где $A$ — симметричная и положительно определенная матрица размерности $n \times n$, $\mathbf{x}$ — вектор неизвестных, $\mathbf{b}$ — вектор правых частей. Метод сопряженных градиентов основывается на итерационном улучшении текущего приближения решения с использованием направления, которое называется сопряженным градиентом.

Основной алгоритм

1. Инициализация: Задается начальное приближение $\mathbf{x_0}$ для решения, и вычисляется начальная ошибка $\mathbf{r_0} = \mathbf{b} - A\mathbf{x_0}$.

2. Итерации:

   • Для каждого шага $k$, вычисляется сопряженный градиент $\mathbf{p_k}$, который является направлением для следующего шага. На первом шаге это просто $\mathbf{r_0}$.

   • Определяется величина шага $\alpha_k$, минимизирующая ошибку вдоль направления $\mathbf{p_k}$:

     $$\alpha_k = \frac{\mathbf{r_k}^T \mathbf{r_k}}{\mathbf{p_k}^T A \mathbf{p_k}}$$

   • Обновляется решение:

     $$\mathbf{x_{k+1}} = \mathbf{x_k} + \alpha_k \mathbf{p_k}$$

   • Вычисляется новая ошибка:

     $$\mathbf{r_{k+1}} = \mathbf{r_k} - \alpha_k A \mathbf{p_k}$$

   • Определяется коэффициент для нового сопряженного градиента:

     $$\beta_k = \frac{\mathbf{r_{k+1}}^T \mathbf{r_{k+1}}}{\mathbf{r_k}^T \mathbf{r_k}}$$

   • Обновляется направление:

     $$\mathbf{p_{k+1}} = \mathbf{r_{k+1}} + \beta_k \mathbf{p_k}$$

3. Остановка: Процесс продолжается до тех пор, пока ошибка $\|\mathbf{r_{k+1}}\|$ не станет достаточно малой, что свидетельствует о достижении требуемой точности.

Преимущества метода

1. Эффективность для больших систем: МСГ является эффективным для решения разреженных систем линейных уравнений, поскольку на каждом шаге требуется только умножение на матрицу $A$, что существенно снижает вычислительную сложность по сравнению с прямыми методами, такими как метод Гаусса.

2. Память: Метод требует хранения лишь векторов $\mathbf{x_k}$, $\mathbf{r_k}$ и $\mathbf{p_k}$, что делает его пригодным для использования при ограниченных ресурсах памяти.

3. Применение для симметричных и положительно определенных матриц: МСГ подходит только для таких систем, что ограничивает его область применения, однако для таких задач он является одним из наиболее эффективных методов.

Метод сопряженных градиентов широко используется в различных областях, таких как вычислительная физика, инженерия, анализ больших данных и машинное обучение, где требуется решение линейных систем с большой размерностью и разреженностью.

Метод численного интегрирования с помощью многочленов Лагранжа

Метод численного интегрирования с использованием многочленов Лагранжа основан на аппроксимации интегрируемой функции интерполяционным многочленом Лагранжа, построенным на конечном наборе узловых точек. Пусть дана функция $f(x)$, определённая на интервале $[a, b]$, и задан набор узлов $x_0, x_1, \ldots, x_n$, где $a \leq x_0 < x_1 < \cdots < x_n \leq b$. Интерполяционный многочлен Лагранжа $L_n(x)$ степени $n$ выражается через базисные многочлены Лагранжа:

где

Для численного интегрирования функции $f(x)$ по интервалу $[a, b]$ подставляется её аппроксимация $L_n(x)$, и интеграл оценивается как:

Интегралы от базисных многочленов $\int_a^b \ell_i(x) dx$ могут быть вычислены аналитически или численно заранее, образуя коэффициенты весов $w_i = \int_a^b \ell_i(x) dx$. Таким образом, интегральная формула принимает вид:

Данная формула является частным случаем квадратурных формул с интерполяционными многочленами, где веса зависят от расположения узлов. Выбор узлов и порядок многочлена влияет на точность метода. Для равномерно расположенных узлов получаются классические формулы Ньютона-Котеса. Метод обеспечивает высокую точность для гладких функций при достаточном количестве узлов, однако при большом числе узлов могут возникать эффекты Рунге.

Важным аспектом является оценка погрешности численного интегрирования через остаточный член интерполяционного многочлена, который связан с производной функции порядка $n+1$. Конкретно, если $f \in C^{n+1}[a,b]$, погрешность $R$ может быть выражена через производную:

где $\xi \in (a,b)$.

Метод численного интегрирования с помощью многочленов Лагранжа является базой для построения многих классических квадратурных формул и позволяет эффективно вычислять интегралы, используя лишь значения функции в узлах.