Корневые векторы и корневые подпространства. Терема об инвариантности корневого подпространства. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Линейная независимость корневых векторов. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

Def 1. Ненулевой вектор , называется корневым вектором линейного оператора , соответствующим числу , если существует натуральное , такое, что выполняется равенство . Минимальное для которого справедливо это равенство называется высотой вектора .

Рассмотрим подпространство - линейную оболочку всех таких векторов , для которых справедливо равенство . Тогда справедлива:

Лемма. (Подпространство отлично от нулевого вектора) ( - собственное значение оператора ).

Доказательство. Если - собственное значение, то существует собственный вектор , такой, что , т. е. . Если подпространство содержит ненулевой вектор , то пусть - наименьшее натуральное число, такое, что , тогда . Но тогда , следовательно - собственный вектор оператора , а - его собственное значение.#

Отсюда, в частности, следует, что собственный вектор линейного оператора является корневым высоты 1 ( ).

По аналогии с собственным вектором говорят, что корневой вектор принадлежит собственному значению .

Поэтому можно дать следующее определение.

Обозначим ={ : - корневой вектор оператора принадлежащий собственному значению или }.

Теорема 1. (О корневом подпространстве). Множество :

1)  Является подпространством;

2)  Это подпространство инвариантно относительно любого оператора , где принадлежит основному полю К.

Доказательство. 1) a. по построению множества

b. Если , то . Значит если то и

c. Если и , то выбрав в качестве

получаем . Значит если то и .

То есть множество является подпространством.

2)  Возьмём , т. е. обозначим .

Воспользовавшись очевидным тождеством имеем:

.

Следовательно и значит . Инвариантность доказана.

Эта теорема позволяет так сформулировать (эквивалентное) определение корневого подпространства .

Def 2. Линейная оболочка корневых векторов, соответствующих собственному числу , называется корневым подпространством, соответствующим собственному числу .

Def. 2а. Пусть дан оператор . Корневым подпространством, отвечающим собственному числу оператора называется множество , состоящее из векторов , для которых существует такое натуральное число , что .

Таким образом: . Если - собственные векторы оператора , то им соответствующие корневые подпространства обозначаются как , т. е. собственному значению соответствует корневое подпространство , или сокращённо - .

Def. 3. Пусть - подпространство инвариантное относительно линейного оператора , т. е. . В этом случае определён оператор , действующий по формуле . Таким образом определённый оператор называется ограничением (сужением) оператора на инвариантное подпространство . Говорят так же, что индуцирован оператором .

Лемма 1. Если , то .

(Другими словами, если и , то при

Доказательство. Пусть , т. е. и . Тогда и следовательно , а т. к. , то . #

Пусть различные собственные значения оператора и - соответствующие корневые подпространства. Тогда справедлива следующая

Теорема 2. (О прямой сумме корневых подпространств). Сумма подпространств: является прямой суммой, т. е.

Доказательство проведём индукцией по k. 1) При k=1 утверждение очевидно.

2) Пусть утверждение справедливо для (k-1) корневых подпространств и докажем его справедливость для k корневых подпространств. Так как , то . Поэтому из следует, , где . Так как корневые подпространства инвариантны относительно оператора , то и по предположению индукции .

По лемме 1 из при следует, что , а значит и . #

Лемма 2 (О линейной независимости корневых векторов). Пусть - корневые векторы принадлежащие одному собственному значению , с попарно различными высотами . Тогда линейно независимы.

Доказательство проведём индукцией по k. Расположим корневые векторы в порядке возрастания их высот.

1)  При k=1 утверждение леммы очевидно.

2)  При k=2 имеем , возьмём , .

Тогда .

3)  Пусть утверждение леммы справедливо для (k-1) и докажем его справедливость для k.

Рассмотрим равенство и ,

тогда

и по предположению индукции имеем .#

Теорема 3 (О разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств). Пусть - все собственные значения линейного оператора с алгебраическими кратностями , соответственно , а корневые подпространства. Тогда и

Доказательство. Докажем, что . Действительно, - инвариантное подпространство, возьмем базис в () и дополним его до базиса всего пространства : . Обозначим линейную оболочку - подпространство , тогда и матрица оператора в базисе будет иметь вид

.

Характеристический многочлен оператора в этом случае можно представить в виде произведения двух многочленов степени r и (n-r), соответственно: . Предположим, что , тогда должен быть корнем характеристического уравнения , т. е. собственным значением матрицы . По матрице построим оператор - линейный оператор с матрицей в базисе . Тогда - собственное значение оператора и существует собственный вектор , при этом . Обозначим , причем и запишем , причем: , т. е.

Тогда с одной стороны и , но (!):

- противоречие. Это противоречие доказывает, что . Тогда аналогично Тогда , а , так как - подпространство . Отсюда получаем, что и , как подпространство, имеющее ту же размерность. #

Следствие. Максимальная высота корневого вектора, принадлежащего не превосходит .

Доказательство. Пусть с высотой . Тогда векторы - корневые векторы, принадлежащие с попарно различными высотами (по определению). Тогда по Лемме 2 они линейно независимы и их число штук. Это противоречит тому, что . #

Способ нахождения корневых векторов:

1.  Ищем собственные числа

2.  Для каждого собственного числа решаем систему(мы) уравнений , где - кратность корня , как корня характеристического уравнения. Отсюда находим корневые векторы высоты .

Другое доказательство теоремы

Теорема 3а (О разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств). Каков бы ни был линейный оператор комплексного пространства , это пространство раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно операторакорневых подпространств.

Для доказательства теоремы вначале разложим пространство в прямую сумму инвариантных подпространств, а затем докажем, что эти подпространства – корневые.

Лемма 3. Каков бы ни был линейный оператор комплексного пространства , это пространство раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно оператораподпространств.

Доказательство. Пусть - n-мерное комплексное линейное пространство, - линейный оператор, имеющий в произвольном базисе пространства V матрицу . Характеристический многочлен оператора (матрицы ) в комплексном пространстве раскладывается в общем виде на сомножители так:

Замечание. В действительном пространстве такое разложение возможно в случае наличия у характеристического многочлена только действительных корней.

Рассмотрим рациональную функцию и разложим её на сумму элементарных дробей в виде:

.

После приведения к общему знаменателю из равенства числителей получается тождество: , где - многочлен, равный произведениюна многочлен, получаемый из вычёркиванием множителя : .

Подставив в полученное тождество, оператор вместо t, получим операторное равенство:

(*)

Операторы обладают следующим свойством: .

Действительно, в произведении содержатся все множители, содержащиеся в разложении , и при подстановки оператора вместо t это произведение станет аннулирующим. Умножая (*) на и используя свойство получаем для любого i=1,2,…,k равенство .

Теперь мы можем разложить пространство V прямую сумму. Действуем обеими частями операторного равенства (*) на произвольный вектор пространства V:

(**)

или , где .

Покажем, что разложение такого вида единственно. Действительно, допустим, что существует другое такое разложение: , где ( i=1,2,…,k). Это значит, что найдутся такие векторы , что . Тогда действуя на обе части равенства оператором , и используя свойства и , получаем , т. е. . Единственность доказана.

Равенство (**) означает, что V является суммой подпространств , а единственность этого разложения равносильна тому, что сумма прямая:

(***)

Подпространства инвариантны. Лемма 3 доказана.

Для завершения доказательства теоремы покажем, что построенные таким образом подпространствасуть корневые подпространства.

Лемма 4.

Доказательство. В произведении входят все множители, составляющие характеристический многочлен оператора . Поэтому из теоремы Гамильтона-Кэли следует, что .

Это означает, что для любого выполнено , т. е. , что равносильно включению .

С другой стороны, пусть . В каждом прообразе оператора при входит множитель , обращающий в нулевой вектор .

Поэтому формула (**) для такого имеет вид . Значит, , поэтому справедливо и включение . #

Таким образом мы доказали, что пространство раскладывается в прямую сумму подпространств инвариантных относительно оператора, являющихся его корневыми подпространствами .#