ГЕОМЕТРИЯ.

УРОК: «СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ»

Предмет: Геометрия

Тема: Сложение векторов

Класс: 9 класс
Педагог: , заместитель директора по воспитательной работе, учитель математики и информатики.

Учреждение образования: МОУ Шуринская средняя общеобразовательная школа Кемеровской области
Город: Кемеровская область

Учащиеся должны:

Знать, как находится сумма двух и нескольких векторов, законы сложения векторов; какие векторы называются противоположными.

Уметь строить сумму данных векторов, пользуясь правилом треугольника и параллелограмма, применять правила при решении задач.

Ход урока.

I.  Организационный момент: объяснить цели урока

II.  Проверка пройденного материала:

Тестирование:

1. Верно ли утверждение:

Если = , то и коллинеарны

да нет

2. № 000 (б). Определите вид четырехугольника АВСD, если:

, а векторы и не коллинеарны. (трапеция)

3. № 000 (в).

В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Равны ли векторы и

Да нет

III. Объяснение нового материала

План объяснения

1. Противоположные векторы

Определение:

Два вектора, имеющие равные модули и противоположные направления, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору , обозначается (- ) и (произносится «минус »).

На рисунке изображены противоположные векторы и , т. е. ½½=½ ½и . Если =, то = -

2. Правило треугольника

Если переместить тело из точки А в точку В, а потом из точки В в точку С (Рисунок1), то суммарное перемещение из А в С представляется вектором . Так складывают векторы и :

+ =

В рассмотренном случае конец первого вектора является началом второго вектора . В общем случае векторы и складываются следующим образом ( рисунок справа). Сначала откладывают от какой-либо точки А вектор = , а потом от точки В вектор=. Тогда вектор представляет сумму векторов и : + = + =

3. Сумма двух векторов.

Итак, суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу треугольника.

В частности, если вектор складывается с противоположным ему вектором (-), то в сумме получается нулевой вектор: + (-) = 0. Складывая векторы и по правилу треугольника, мы поступали так:

Выбирали точку А, откладывали от нее =, затем от точки В откладывали вектор = и получали вектор = +. Покажем, что полученный таким образом результат, т. е. сумма векторов и не зависит от выбора точки А. Для этого выберем какую-нибудь точку А1, отличную от точки А. По правилу треугольника построили векторы = и = .Требуется проверить, что векторы и АС равны. Действительно, т. к. = и =, то =, тогда АВВ1А1 - параллелограмм, отсюда АА1 = ВВ1. Аналогично из векторного равенства = вытекает, что = . Тогда т. к. два вектора и равны третьему вектору, то =. Следовательно, АСС1А1 - параллелограмм, отсюда =

При сложении векторов и имеют место следующие неравенства для модулей этих векторов:

½ + ½ £ ½ ½ + ½½ и ½ + ½³ ½½ ½ - ½½½ причем равенство ½ + ½=½½ ½ - ½½½ достигается только в случае противоположно направленных векторов и .

Эти неравенства вытекают из неравенства треугольника для любых точек А, В и С ( в том числе и лежащих на одной прямой).

Анимация двух векторов.

4. Сложение векторов

При сложении векторов, как и при сложении чисел, выполняются переместительный и сочетательный законы. Кроме этого вы познакомитесь с правилом, по которому можно построить сумму двух неколлинеарных векторов.

5. Переместительный закон сложения.

Теорема: (Переместительный закон сложения векторов или коммутативность сложения)

Для любых векторов и справедливо равенство: + = +

Доказательство: Рассмотрим сначала случай коллинеарных векторов и . Тогда либо , либо . Если , то отложим на прямой а от произвольной точки А вектор = , а затем от точки В отложим вектор = . Тогда по определению = + . Теперь на прямой b½½ а от произвольной точки А1 отложим вектор =, затем =. Тогда по определению = +. , т. к. ½½ = ½ + ½ = ½ ½ + ½½ и ½½ = ½ +½ = ½½ +½½. ½ ½ и½½ - скаляры, то

½ ½ + ½½=½½ +½½, поэтому ½½=½½.

Если , то отложим на прямой а от произвольной точки А вектор = , а затем от точки В отложим вектор = . Тогда по определению = + . Теперь на прямой b½½ а от произвольной точки А1 отложим вектор =, затем =. Тогда по определению = +. , т. к. ½½ = ½ + ½ =½ ½ ½ -½½½ и ½½ = ½ +½ = ½ ½½ -½ ½½. ½ ½ и½½ - скаляры, то

½ ½ ½ -½½ ½=½ ½½ -½ ½½, поэтому ½½=½½.

6. Правило параллелограмма

Правило параллелограмма.

Раньше, чтобы получить сумму векторов и , мы пользовались правилом треугольника. В доказательстве предыдущей теоремы мы получили правило параллелограмма: Если два вектора не коллинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного на них параллелограмма. Итак, чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от произвольной точки О вектор = и = и построить параллелограмм ОАСВ. Тогда = +

Тренажер

Укажи вектор, равный сумме двух векторов

7.Сочетательный закон умножения

Операция сложения векторов, как и операция сложения чисел, обладает и сочетательным свойством.

Теорема: (Сочетательный закон сложения, или ассоциативность сложения).Для любых , и справедливо равенство: ( + )+ = + (+)

Доказательство: Отложим от точки А вектор = , а затем от точки В - вектор = и от точки С - вектор=. Т. к. по правилу треугольника + =+=

И + =+=, то ( + )+ = (+)+=+ =

И + (+) = +(+)=+=. Итак, ( + )+ = + (+)

Теорема доказана.

Замечание: Сочетательный закон сложения векторов справедлив для любого числа векторов

Тренажер (отрабатываются навыки законов сложения)

Укажите недостающие значения в формулах.

8. Сумма нескольких векторов

Суммой нескольких векторов называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к первому вектору прибавляется второй, к полученному вектору прибавляется третий и т. д. Сумма векторов , , и обозначается так: ++ +. Из определения вытекает способ построения суммы нескольких векторов.

Построим, например, сумму ++ + векторов , , и. От произвольной точки О отложим вектор =, от точки А отложим вектор =, а затем от точки В - вектор =, наконец, от точки С - вектор =. Тогда, по определению, вектор - сумма векторов , , и или = ++ +.

Тренажер (показ анимации сложения пяти и семи векторов)

Выводы по теме:

1. Два вектора, имеющие равные модули и противоположно направленные, называются противоположными.

2. Суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу треугольника.

3. Правилом треугольника называется следующее последовательное построение: сначала откладывают от произвольной точки А вектор =, а потом от точки В - вектор =. Тогда = +

4. Если вектор складывается с противоположным ему вектором, то в сумме получится нулевой вектор.

5. Теорема (Переместительный закон сложения): Для любых векторов и справедливо равенство: +=+

6. Правило параллелограмма: если два вектора не коллинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного параллелограмма.

7. Теорема(Сочетательный закон сложения): Для любых векторов и справедливо равенство: ( +)+ = +(+ ).

8. Суммой нескольких векторов называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к первому вектору прибавляется второй, к полученному вектору прибавляется третий.

9. Способ построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

10. Если начало первого вектора совпадает с концом последнего, то суммой таких векторов будет нулевой вектор.

IV. Закрепление полученных знаний:

Тестирование:

1. Дан треугольник АВС. Выразите через векторы = и = вектор