Теория вероятностей и математическая статистика

Негосударственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ПСИХОЛОГО-СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

_________________

"_____"__________________20___ г.

Рабочая программа дисциплины

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Направление подготовки

230700 – ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

Профиль подготовки

Прикладная информатика (в экономике)

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

Очная, заочная

Москва

2012

Рабочая программа предназначена для бакалавров кафедр Информатики и математики и Информационных технологий очной формы обучения факультета информационных технологий МПСУ, обучающихся по направлению подготовки 230700 – Прикладная информатика.

1. Цели освоения дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика

Цель преподавания дисциплины определяется необходимостью дать студентам научное представление о методах исследования случайных событий и случайных величин.

Требования ФГОС: вероятности, случайные процессы, статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.

Особенности статистического анализа количественных и качественных показателей. Методы шкалирования при обработке качественных признаков. Проблема размерности в многомерных методах исследования. Многомерные методы оценивания и статистического сравнения.

Многомерный статистический анализ. Множественный корреляционно-регрессионный анализ. Компонентный анализ. Факторный анализ. Кластер-анализ. Классификация без обучения. Дискриминантный анализ. Классификация с обучением. Канонические корреляции. Множественный ковариационный анализ.

Современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа. Применение многомерных статистических методов в социально-экономических исследованиях.

2.Место дисциплины (модуля) в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина (модуль) Теория вероятностей и математическая статистика входит в Математический и естественнонаучный цикл дисциплин, Базовую часть учебного плана.

Знание материала учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» необходимо для изучения курсов «Математические методы в исследовании экономики», «Математическая экономика», «Эконометрика».

Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения курса: для успешного освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» необходимо предварительное изучение курса «Математика», в первую очередь разделов «Дифференциальное и интегральное исчисление», «Теория рядов», «Линейная алгебра».

3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля) Математические методы в исследовании экономики.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

- знать:

основные понятия комбинаторики, теории вероятностей,

основы теории случайных процессов,

основные понятия и задачи математической статистики;

- уметь:

применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач,

пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками при решении статистических задач,

применять современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа в социально–экономических исследованиях,

уметь содержательно интерпретировать формальные результаты.

- иметь представление:

о целях и задачах теории вероятностей и математической статистике их роли и месте в социально-экономических исследованиях,

о современных направлениях в теории вероятностей и математической статистике,

о методологических проблемах теории вероятностей и математической статистики.

Основными видами занятий являются лекции, практические занятия.

Основными видами промежуточного контроля является опрос, защита практических работ, выполняемых в компьютерных классах.

Основным видом рубежного контроля знаний является экзамен.

4. Структура и содержание дисциплины (модуля) Математические методы в исследовании экономики.

Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 часа.

5. Образовательные технологии

Лекционные занятия проводятся с использованием педагогической технологии продукционного обучения.

Используя проектор на большой экран и (или) интерактивную доску, преподаватель демонстрирует студентам вид экрана своего компьютера и выполняет операции по решению задачи изучаемой темы, объясняя суть выполняемой работы.

Наблюдая за действиями преподавателя, студент повторяет их, самостоятельно решая задачу изучаемой темы.

В результате студент приобретает не только знания, но и практические навыки по решению задач на компьютере.

Альтернативным вариантом проведения лекционного занятия является демонстрация слайдов лекционного материала с подробным объяснением излагаемого учебного материала. Это занимает примерно половину лекционного занятия. Затем студентам предлагается воспроизвести на своих компьютерах решение тех задач, которые перед этим объяснял преподаватель. При этом преподаватель оказывает индивидуальную помощь тем студентами, у которых возникают затруднения при выполнении задания.

Содержание дисциплины

ТЕМА 1. Введение

Предмет и содержание дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». Соотношение теории вероятностей и математической статистики. Задачи математической статистики в области экономических исследований. Роль математической статистики в анализе закономерностей в компьютерных информационных системах.

I. Теория вероятностей

ТЕМА 2. Основные понятия комбинаторики

Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания с повторением и без повторения.

ТЕМА 3. Классическое определение вероятности

Предмет теории вероятностей. Случайные события. Противоположные события. Независимые события. Относительная частота. Классическое и геометрическое определение вероятности. Элементарная теория вероятностей. Методы вычисления вероятностей.

ТЕМА 4. Аксиоматическое определение вероятности. Условная вероятность

Пространство элементарных событий. Алгебра событий: теоремы о вероятности суммы событий, противоположных событий, сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу. Аксиоматическое определение вероятности. Условная вероятность. Теоремы о вероятности произведения зависимых и независимых событий. Полная вероятность. Формула Байеса.

ТЕМА 5. Дискретные случайные величины

Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения, ее свойства, график. Биномиальное распределение, гипергеометрическое распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение, отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля).

ТЕМА 6. Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины. Плотность распределения случайной величины (плотность вероятности). Формула для вероятности попадания случайной величины в данный интервал, выраженный через плотность вероятности, геометрический смысл формулы, случай малого интервала. Равномерное распределение, нормальное распределение, экспоненциальное распределение, логарифмическое нормальное (логнормальное) распределение.

ТЕМА 7. Математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание и дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания. Среднее квадратичное отклонение. Формула для вычисления дисперсии, ее свойства. Определение математического ожидания и дисперсии для основных дискретных и непрерывных распределений. Геометрический и вероятностный смысл параметров нормального закона распределения случайной величины.

ТЕМА 8. Многомерные случайные величины

Многомерные случайные величины. Функция распределения: дискретные и непрерывные случайные величины, полиномиальное, равномерное и нормальное распределения. Граничные распределения. Моменты многомерной случайной величины. Ковариация, коэффициент корреляции. Условные распределения. Регрессионная зависимость. Прямые регрессии.

ТЕМА 9. Характеристические и производящие функции

Характеристические и производящие функции, их свойства, вычисление математического ожидания и дисперсии. Характеристические и производящие функции суммы независимых случайных величин. Характеристические и производящие функции основных распределений: распределения Бернулли, равномерного распределения, распределения Пуассона, нормального распределения.

ТЕМА 10. Предельные теоремы

Значение предельных теорем. Сходимость по вероятности. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел: теоремы Чебышева, Бернулли, Колмогорова. Предельные теоремы Муавра-Лапласа (локальная и интегральная). Центральная предельная теорема Ляпунова.

ТЕМА 11. Метод Монте-Карло

Сущность метода статистических испытаний (метода Монте-Карло), оценка погрешностей. Случайные числа. Разыгрывание дискретной случайной величины, противоположных событий, полной группы событий. Разыгрывание непрерывной случайной величины, метод обратных функций, метод суперпозиции. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло.

ТЕМА 12. Марковские цепи

Марковские случайные процессы. Цепи Маркова. Вероятности перехода. Теорема о предельных вероятностях. Стационарное распределение. Матрица перехода. Равенство Маркова.

ТЕМА 13. Случайные функции

Понятие случайной функции. Корреляционная теория случайной функции. Математическое ожидание. Дисперсия. Взаимная корреляционная функция и её свойства. Стационарные случайные функции. Спектральная теория стационарных случайных функций. Дельта-функция. Стационарный белый шум. Понятие о преобразовании стационарной случайной функции линейной динамической системой.

ТЕМА 14. Случайные процессы

Понятие случайного процесса. Процессы с независимыми приращениями. Потоки событий. Пуассоновский процесс: стационарность, отсутствие последействия, ординарность. Винеровский процесс. Ветвящийся процесс. Процессы гибели и размножения.

ТЕМА 15. Теория массового обслуживания

Классификация систем массового обслуживания (СМО). Показатели эффективности массового обслуживания. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Одно - и многоканальные СМО. Замкнутые СМО. СМО, с ограниченной длиной очереди, с ожиданием, с ограниченным временем ожидания. Вероятность отказа в СМО, вероятность обслуживания; среднее количество требований, ожидающих начало обслуживания; интенсивность входного потока требований, интенсивность обслуживания, относительная и абсолютная пропускная способность СМО, среднее число занятых обслуживанием приборов, общее количество требований в СМО, среднее время ожиданием требованием начала обслуживанием; средний экономический эффект, полученный при обслуживании одного требования; величина потерь в системы, стоимость эксплуатации одного канала в единицу времени, стоимость убытков в результате ухода требований из СМО в единицу времени, стоимость единицы времени простая прибора в СМО.

II. Математическая статистика

ТЕМА 16. Основные понятия математической статистики

Предмет математической статистики. Статистическая совокупность. Выборки. Гистограмма и полигон частот. Статистическая (эмпирическая) функция распределения. Выборочные характеристики и их распределения. Асимптотические свойства выборочных моментов. Точные выборочные распределения: Стьюдента (t–распределение), Фишера–Снедекора (F–распределение), Пирсона (-распределение). Таблицы математической статистики и работа с ними.

ТЕМА 17. Оценка параметров. Точечные оценки

Состоятельные, эффективные смещенные и несмещенные оценки параметров. Статистическое среднее, статистическая дисперсия и статистическое среднее квадратичное как точечные оценки неизвестных: математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения и корреляции. Метод наибольшего правдоподобия.

ТЕМА 18. Доверительные оценки

Доверительные интервалы и интервальные оценки. Мера надёжности. Доверительные оценки неизвестной вероятности по большим выборкам. Доверительная оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии. Доверительная оценка среднего квадратичного отклонения.

ТЕМА 19. Статистические гипотезы

Математические методы проверки статистических гипотез. Основная и конкурирующая гипотезы, уровень значимости, ошибки первого и второго родов, критическая область, мощность критерия.

Проверка гипотезы о равенстве двух средних, при условии, что дисперсии равны, а выборки, принадлежат к генеральным совокупностям с нормальным распределением, t-критерий.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий по двум выборкам, принадлежащим к генеральным совокупностям с нормальным распределением, F-критерий.

Критерии согласия. Критерий c2. Проверка гипотезы о принадлежности выборки к равномерно распределенной генеральной совокупности. Проверка гипотезы о принадлежности выборки к нормально распределенной генеральной совокупности.

ТЕМА 20. Дисперсионный анализ.

Основные понятия дисперсионного анализа. Случайная, детерминированная и смешанная модели дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ. Общая средняя. Уровни фактора. Групповые средние. Общая, факторная и остаточная суммы квадратов отклонений, связь между ними. Общая, факторная и остаточная дисперсии. Сравнение факторной и остаточной дисперсии. Проверка гипотезы о равенстве групповых средних. Случай неодинакового числа испытаний на различных уровнях. Двухфакторный дисперсионный анализ. Понятие о многофакторном дисперсионном анализе.

ТЕМА 21. Корреляционный анализ

Основные понятия корреляционного анализа. Двумерная модель корреляционного анализа и точная оценка её параметров: коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции. Способы вычисления выборочных характеристик. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции, шкала Чеддока. Интервальные оценки параметров связи.

Трехмерная модель корреляционного анализа. Точечные оценки парных выборочных коэффициентов корреляции, частных выборочных коэффициентов корреляции, выборочных множественных (совокупных) коэффициентов корреляции и детерминации. Проверка значимости и нахождение интервальных оценок для значимых коэффициентов.

ТЕМА 22. Особенности статистического анализа количественных и качественных показателей.

Статистические методы обработки эмпирических данных. Методы шкалирования при обработке качественных признаков. Непараметрические методы оценки корреляционной связи, коэффициенты ассоциации и контингенции. Ранговая корреляция. Выборочные коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендала. Проверка гипотез о значимости выборочных ранговых коэффициентов корреляции Спирмена и Кендала. Показатели согласованности, коэффициент конкордации Кендала, коэффициент взаимной сопряженности.

ТЕМА 23. Регрессионный – анализ

Основные понятия регрессионного анализа. Условные средние, выборочные уравнения регрессии, выборочные линии регрессии. Линейная модель регрессионного анализа, требования к исходным данным. Метод наименьших квадратов. Оценка коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов. Дисперсии оценок параметров регрессии. Оценка дисперсии ошибок.

Уравнение регрессии в случае двумерного нормального закона распределения. Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии и уравнения регрессии в целом. Интервальные оценки коэффициентов регрессии. Определение интервальной оценки для условного математического ожидания. Прогнозирование с помощью регрессионной модели.

Понятие о нелинейной регрессии; нелинейные модели регрессии: полиномы, равносторонняя гипербола, степенная зависимость, показательная и экспоненциальная функции; применение метода наименьших квадратов к определению параметров нелинейных моделей.

ТЕМА 24. Многомерный статистический анализ

Многомерные методы оценивания и статистического сравнения. Множественный корреляционно-регрессионный анализ, ковариационная матрица, оценки параметров множественного корреляционного анализа, определение параметров множественной регрессии методом наименьших квадратов, показатели качества регрессии, доверительные интервалы и доверительные области.

Проблема размерности в многомерных методах исследования. Методы понижения размерности: компонентный анализ; факторный анализ, корреляционная матрица с общностями на главной диагонали, метод главных факторов, проблема вращения, проблема оценки факторов и задачи классификации; классификация задач факторного анализа и метода главных компонент. Методы многомерной классификации: классификация без обучения (кластер-анализ), расстояние между кластерами и мера близости, функционалы качества разбиения, иерархические кластер-процедуры, дендрограммы; классификация с обучением (дискриминантный анализ), линейный дискриминантный анализ, дискриминантный анализ в случае нормального закона распределения показателей. Канонические корреляции. Множественный ковариационный анализ. Понятие о робастных методах оценивания.

ТЕМА 25. Применение ЭВМ в многомерном статистическом анализе Современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа: электронные таблицы, пакеты SPSS, NCSS and PASS, STATA, STATISTICA. Применение многомерных статистических методов в социально–экономических исследованиях.

На практическом занятии студент может получить помощь преподавателя по тем вопросам, которые вызвали у него затруднения.

Перед завершением практического занятия по текущей теме студент посылает преподавателю из компьютерного класса электронное письмо, прикрепляя к нему zip-файл разработанных материалов.

Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, составляет 18 часов аудиторных занятий.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Основными видами занятий являются лекции, практические занятия.

Основными видами промежуточного контроля является опрос, защита практических работ, выполняемых в компьютерных классах.

Самостоятельная работа студентов сводится к изучению теоретического материала как по лекциям, так и по предлагаемым литературным источникам, а также к выполнению домашних заданий и подготовке к опросу.

Формы текущего контроля

·  Оценка работы студента в аудитории (оценка за текущую успеваемость): по каждой теме за работу на практических занятиях выставляется в рабочую ведомость оценка 0 или 1 балл.

Рассчитывается интегральная оценка текущей работы студента (Оаудиторная) как процент оценок «зачтено» за проверочные работы, приведенная к 10-балльной оценке

·  Оценка выполнения заданий для самостоятельной работы студентов(Осам. работа): в первом модуле выполняется задание №1, во втором модуле – задание №2; максимальная оценка выполнения каждого задания 5 баллов

Форма промежуточного контроля

·  Промежуточный контроль проводится в форме контрольной работы;

максимальная оценка за выполнение контрольной работы 10 баллов(Оконтрольная)

·  Промежуточный контроль включает самостоятельное выполнение домашней работы - максимальная оценка 10 баллов (Одз).

Форма итогового контроля

·  экзамен (максимальная оценка 10 баллов)

Методика формирования накопительной оценки текущего контроля знаний и умений

Накопительная оценка текущего контроля знаний и умений студентов рассчитывается как среднее арифметическое четырех 10-балльных оценок: оценки работы студента в аудитории, оценки выполнения заданий для самостоятельной работы и оценки за контрольную и домашнюю работу.

Методика формирования результирующей оценки итогового контроля знаний и умений

Изучение дисциплины заканчивается письменным зачетом, который (с учетом ответов студента на заданные преподавателем дополнительные вопросы по тематике изучаемой дисциплины) оценивается 10-балльной оценкой. Итоговая оценка рассчитывается по формуле:

Оитоговый = k1·Озачет + k2 (Ок/р + Одз +Оаудиторная+ Осам. работа )/4

где k1 = 0,6; k2 = 0,4

Методические рекомендации студентам по выполнению самостоятельной работы

Для обеспечения самостоятельной работы студентов разработаны электронное учебное пособие и Web-сайт информационной поддержки программы изучаемой дисциплины. Он содержит конспекты лекций, контрольный вопросы и задания для практикумов.

Информационное обеспечение дисциплины также включает ряд книг, которые студенты могут взять в библиотеке университета.

При выполнении самостоятельной работы (дома или в компьютерном классе) студент более детально знакомится с теоретическим материалом пройденных тем, используя Web-сайт информационной поддержки программы изучаемой дисциплины, проверяют уровень понимания учебного материала с помощью контрольных вопросов и вырабатывает практические умения, решая задачи для практикумов.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая статистика.

а) основная литература:

1.  Гмурман  к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа. 1998.

2.  Гмурман  вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа. 1999.

3.  , , Трошин статистические методы. М.: Финансы и статистика, 1998.

4.  Справочник по математике для экономистов. /под ред. проф. . М.: Высшая школа. 1997.

5.  Чистяков  теории вероятностей. М.: Наука. 1996.

6.  , Бабешко массового обслуживания в экономической сфере. М.: «Банки и биржи» Изд. об. «ЮНИТИ». 1998.

7.  Фомин и модели массового обслуживания в коммерческой деятельности. Учебное пособие. М.: Финансы и статистика. 2000.

б) дополнительная литература:

1.  Бочаров П. П., Печинкин  статистика. М.: Российский университет дружбы народов. 1994.

2.  Бочаров П. П., Печинкин  вероятностей. М.: Российский университет дружбы народов. 1994.

3.  Бронштейн И. Н., Семендяев  по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука. 1980 г.

4.  , , Чистяков задач по теории вероятностей. М.: Наука. 1989.

5.  и др. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая статистика.

Персональные компьютеры слушателей не ниже Pentium 4 с подключением к Internet, ОС Windows не ниже Windows XP или *nix.

Компьютер преподавателя.

Проектор, подключенный к компьютеру преподавателя.

Экран или интерактивная доска.