Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий

УДК 637.523.32: 636.087.6

Д. Р. ОРЫНБЕКОВ, М. М. КАКИМОВ, З. А. ПАРИМБЕКОВ,

А. А. КУАНДЫКОВА

Семипалатинский государственный университет имени Шакарима,

г. Семей, Республика Казахстан

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ПОИСКЕ

ОПТИМАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ

Планирование и анализ эксперимента представляет собой важную ветвь статистических методов, разработанную для решения разнообразных задач, возникающих перед исследователями. В одном случае необходимо обнаружить и проверить причинную связь между входными переменными (факторами) и выходными переменными (откликами), в другом – отыскать объекты и т. д.

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Все переменные, определяющие изучаемый объект, изменяются одновременно по специальным правилам. Результаты эксперимента представляются в виде математической модели, обладающей определенными статистическими свойствами, например минимальной дисперсией оценок параметров модели.

Для экспериментаторов, которые не занимаются планированием многофакторного эксперимента, наиболее привычным методом исследования является однофакторный эксперимент. Он заключается в том, что варьируется один фактор на нескольких уровнях, а все другие факторы поддерживаются постоянными. В этом случае можно получить количественную оценку эффекта только одного фактора.

Влияние других факторов оценить нельзя. Выводы о влиянии изучаемого фактора могут существенно различаться в зависимости от уровня фиксирования прочих факторов. Это часто приводит к ошибочным рекомендациям. Лишь в тех случаях, когда отклик является функцией одного фактора, однофакторный эксперимент вполне закономерен.

Однако на практике приходится иметь дело с многофакторными объектами, где однофакторный эксперимент неэффективен.

Многофакторный план должен быть составлен так, чтобы при статистической обработке имелась возможность анализа эксперимента: проверить: существует ли эффекты изучаемых факторов, определить величину этих эффектов, найти наименьший значимый эффект и т. д. Оценки эффекта факторов можно считать достоверными только тогда, когда ни неоднородность экспериментальных единиц, ни другие неучтенные факторы не в состоянии привести к полученному результату.

В планировании эксперимента, сам эксперимент рассматривается как объект исследования и оптимизации. Осуществляется оптимальное управление ведением эксперимента, в зависимости от характера изучаемого объекта и целей исследования обоснованно выбираются тип планирование эксперимента, метод обработки данных. К различным типам эксперимента относятся: экстремальный, отсеивающий, сравнительный, описательный и другие виды.

Планирование многофакторных экспериментов – новый подход в организации и проведении исследований сложных систем. Цель планирования эксперимента – извлечение максимума информации при заданных затратах на эксперимент, либо минимизация затрат при получении информации, достаточной для решения задач. Планирование эксперимента позволяет соразмерить число опытов поставленной задаче.

В общем случае объект исследования можно представить в виде структурной схемы.

Представление объекта в виде такой схемы основано на принципе «черного ящика». Имеем следующие группы параметров:

1) управляющие (входные) хi, которые называются факторами;

2) выходные параметры yi, которые называются параметрами состояния.

Рисунок 1. Схема исследуемого объекта

Каждый фактор хi имеет область определения, которая должна быть установлена до проведения эксперимента.

Комбинацию факторов можно представить как точку в многомерном пространстве, характеризующую состояние системы.

На практике целью многофакторного эксперимента является установление зависимости описывающей поведение объекта.

План эксперимента должен строиться так, чтобы он обладал некоторыми оптимальными свойствами. При заданном числе опытов и данной их точности результат должен быть наиболее точным [1].

Еще одно оптимальное свойство плана – отсутствие корреляции факторов или, по крайней мере, минимальная их корреляция.

Планы первого порядка [2, 3] служат для построения математических описаний в виде полиномов первой степени (линейных уравнений регрессии).

(1)

Рисунок 2. Расположение опытных точек в плане первого порядка

Наиболее распространен следующий порядок построения планов. Выбирается центр исследуемой области и в него переносится начало координат. Затем выбирается интервал варьирования по каждой переменной – расстояние по данной оси от центра до экспериментальной точки. Выбор центра плана и интервала варьирования лежит вне математической теории: этот этап задачи должен решаться экспериментатором на основе знания исследуемых объектов.

Если выбрана линейная модель (1), то для построения аппроксимирующей функции достаточно выбрать основной уровень и интервал варьирования управляющего параметра хi. Для линейной модели интервал варьирования можно определить как

(2)

а основной (нулевой) уровень – как среднее значение

(3)

Для упрощения планирования эксперимента принято вместо реальных (натуральных) уровней хi использовать кодированные значения факторов. Для факторов с непрерывной областью определения это можно сделать при помощи следующего преобразования

(4)

где – натуральное значение фактора; – интервал варьирования; – основной уровень; – кодированное значение. В результате принимает значения на границах , на основном уровне . Основная проблема состоит в выборе области варьирования, поскольку эта задача является неформализованной.

Рассмотрим полный факторный эксперимент на примере линейной модели (2). Если число факторов k, то для проведения полного факторного эксперимента нужно N=2k опытов, где 2 – число уровней, которого достаточно для построения линейной модели.

Условие проведения этого эксперимента можно зафиксировать в матрице планирования (табл. 1).

Таблица 1.

Система нормальных уравнений получит вид (5)

Простота расчета для ортогонального плана – преимущество заметное, но в настоящее время, в связи с распространением программ выполняющихся на ЭВМ, не очень существенно. Важнее другое. Ортогональность двух столбцов означает полное отсутствие корреляции соответствующих факторов. Следовательно, и оценки параметров оказываются некоррелированными. Это дает возможность оценить независимо влияние каждого фактора, а также легко упрощать модель, если какой-либо член окажется незначимым: такой член просто исключают из уравнения, и это никак не сказывается на величине остальных параметров. Некоррелированность позволяет к тому же легко проверить гипотезу о значимости факторов, что, как отмечалось выше, крайне сложно, если факторы не зависимы.

Список литературы

1. Закгейм в моделирование химико-технологических процессов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: 1982. – 288 с.

2. , А-, Е - оптимальные и ортогональные планы регрессионных экспериментов для полиномиальных моделей / АН СССР. Научный совет по комплексной проблеме. – М.: Кибернетика, 1976. – 44 с.

3. Вознесенский методы планирования эксперимента в техноэкономических исследованиях. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 263 с.

Д. Р. ОРЫНБЕКОВ, М. М. КАКИМОВ, З. А. ПАРИМБЕКОВ,

А. А. КУАНДЫКОВА

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ПОИСКЕ

ОПТИМАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ

В статье описан метод планирование эксперимента с помощью математического аппарата, который дает возможность проводить работы целенаправленно, согласно эксперименту.

D. R. ORYNBEKOV, M. M. KAKIMOV, Z. A. PARIMBEKOV,

A. A. KUANDYKOVA

PLANNING Of EXPERIMENT BY SEARCH OPTIMUM CONDITIONS

In clause the method planning of experiment with the help of the mathematical device is described which enables to spend jobs purposefully, according to experiment.

Справка об авторе

Фамилия, имя, отчество: Орынбеков Думан Рымгалиевич

Название статьи: Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий

Секция конфренции: Технологии производства и переработки животноводства

Место работы: Семипалатинский государственный университет имени Шакарима

Должность: преподаватель кафедры МАПП

Ученая степень:

Ученое звание:

Адрес для переписки: Республика Казахстан, Восточно-Казахстанская область, 0 «А»

Контактный телефон: 8(72

E-mail: *****@***ru

Дата: 12.12.2008 г.

Подпись: