МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ

ИННОВАЦИОННЫЙ ПРОЕКТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

Программа «Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах»

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

Программа дисциплины

Оптимальное управление экономическими системами

Нижний Новгород

2003 г.

(ФИО, ученая степень, ученое звание, вуз)

·  “Макроэкономическое моделирование”.

·  “Математическая экономика”.

·  “Математические модели рыночной экономики”.

Аннотация

Применение математических методов для исследования разнообразных научно-технических и экономических задач имеет весьма давнюю традицию. Проблемы количественного выражения и описания основных тенденций и закономерностей, а также анализа эмпирических данных, привели к формированию ряда научных направлений, носящих междисциплинарный характер и интегрирующих как специальные, специфические для данной предметной области, так и общие математические подходы и методы в некоторую целостную систему. На этом пути возник и ряд дисциплин, традиционно обединяемых таким понятием, как “математическая экономика”.

К числу наиболее актуальных проблем, возникающих в математической экономике и в различных областях естественных наук и техники, относятся проблемы выбора наиболее рациональных (оптимальных) экономических, научно-технических, проектных и управленческих решений, удовлетворяющих разнообразным и порой противоречивым требованиям. Основные подходы к нахождению таких решений базируются на математическом моделировании изучаемых явлений и применении методов теории экстремальных задач – методов оптимизации и теории оптимального управления. Основные подходы к решению перечисленных проблем базируются на применении общих математических методов, сформировавшихся в ряде детально разработанных математических теорий.

Курс "Оптимальное управление экономическими системами"является одним из базовых курсов экономико-математического цикла учебного плана подготовки экономистов-математиков на механико-математическом факультете. Он направлен на изучение основных понятий, утверждений и методов, играющих фундаментальную роль в моделировании социально-экономических систем, и применения для таких систем методов теории оптимизации и теории оптимального управления.

В курсе дается общая постановка задачи оптимального управления для непрерывных и дискретных процессов. Рассматриваются различные методы исследования оптимизационных задач (принцип максимума ; динамическое программирование; дискретный принцип максимума; методы, основанные на применении достаточных условий оптимальности и др.). Описанные методы иллюстрируются примерами их использования в задачах экономической динамики (макроэкономических исследованиях). Исследованы оптимальные режимы экономического роста с помощью динамической многоотраслевой модели народнохозяйственного развития.

Рассматриваются динамические модели взаимодействия экономических систем и связанные с ними задачи оптимизации. Обсуждаются конфликтные взаимодействия и связанные с ними задачи оптимизации, а также оптимизация процесса кооперации.

Приводятся некоторые результаты, касающиеся многокритериальной оптимизации экономико-математических моделей. Рассматриваются игровые постановки задач оптимизации в моделях экономической динамики, исследуемых в рамках теории дифференциальных игр.

Учебная задача курса

К числу важнейших задач, стоящих перед настоящим курсом, относятся следующие задачи:

- формирование вкуса к экономико-математическим исследованиям и разработкам;

- устранение тематического и психологического барьера между фундаментальной теоретической подготовкой выпускника механико-математического факультета и его возможной деятельностью в областях приложений математики к решению экономических задач;

- повышение уровня востребованности будущего экономиста-математика;

- установление преемственности данного курса по отношению к классическим математическим дисциплинам;

- расширение кругозора будущего экономиста - математика, позволяющее в дальнейшем ориентироваться в научной и специальной литературе, касающейся как общих математических методов, так и конкретных экономико-математических исследований и разработок.

В результате изучения курса студент должен:

Знать возможности математического моделирования и анализа экономики; основные принципы и методы оптимизации; существующие вычислительные методы, информационные технологии и программные комплексы, позволяющие получить численные результаты для решения оптимизационных задач, для обоснования и принятия оптимальных решений в области управления и бизнеса.

Уметь давать математическую постановку оптимизационным экономическим задачам, возникающим при исследовании экономико-математических задач, возникающих в рыночной экономике; сравнивать математические модели и выбирать для анализа изучаемой проблемы адекватные математические модели и методы оптимизации; использовать существующие программные комплексы для получения численных результатов в решаемых оптимизационных задачах анализа и прогноза экономической ситуации.

Иметь представление о возможностях и границах применения различных подходов к исследованию оптимизационных задач, о возможностях и границах применения существующих математических моделей, основных принципов и методов их построения.

Обладать навыками использования методов оптимизации и численных методов, а также методов математического моделирования для анализа, оценки и прогнозирования макроэкономической динамики.

2. Тематический расчёт часов

№

п/п

Наименование

разделов и тем

Аудиторные часы

Контр.

работы

Самост.

работа

Всего

часов

Лекции

Семи

нары

Всего

1.   

Введение

2

-

2

-

2

4

2.   

Некоторые понятия и результаты общей теории систем

2

2

4

-

2

6

3.   

Метод математического моделирования в экономических исследованиях

2

2

4

-

2

6

4.   

Математические модели экономических систем.

4

2

6

-

4

10

5.   

Избранные вопросы качественного исследования математических моделей управляемых экономических процессов

4

2

6

КР-1

4

10

6.   

Вопросы общей математической теории оптимизации управляемых процессов

8

6

14

-

6

20

7.   

Оптимальное управление в общей технологической модели экономической динамики

4

2

6

КР-2

4

10

8.   

Некоторые применения необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина

8

4

12

-

4

16

9.   

Исследование однопродуктовой

(односекторной) макромодели оптимального развития экономики.

4

4

8

-

4

12

10. 

Динамическая модель оптимального развития многоотраслевой экономики

4

4

8

КР-3

2

10

11. 

Взаимодействие моделей экономической динамики

2

2

4

-

2

6

12. 

Многокритериальная оптимизация

2

2

4

-

2

6

13. 

Дифференциальные игры и оптимальные распределения в моделях экономической динамики

3

2

5

Тест

2

7

14. 

Заключение. Обзор курса. Общие выводы и рекомендации.

2

-

2

-

-

2

ИТОГО:

51

34

85

-

40

125

Примечания

Указанные в таблице контрольные работы (КР-1, КР-2, КР-3) и тест (экспресс-контрольная работа) нацелены на проведение систематической текущей проверки уровня знаний студентов.

Контрольная работа КР-1 охватывает содержание тем 2-5 (Некоторые понятия и результаты общей теории систем. Метод математического моделирования в экономических исследованиях. Математические модели экономических систем. Избранные вопросы качественного исследования математических моделей управляемых экономических процессов.). (Блок № 1.).

Контрольная работа КР-2 охватывает содержание тем 6, 7 (Вопросы общей математической теории оптимизации управляемых процессов. Оптимальное управление в общей технологической модели экономической динамики.)( Блок № 2.).

Контрольная работа КР-3 охватывает содержание тем 8-10 (Некоторые применения необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина. Исследование однопродуктовой (односекторной) макромодели оптимального развития экономики. Динамическая модель оптимального развития многоотраслевой экономики). (Блок № 3.)

Экспресс-контрольная работа (тест) охватывает содержание тем 10-13 (Взаимодействие моделей экономической динамики. Многокритериальная оптимизация. Дифференциальные игры и оптимальные распределения в моделях экономической динамики.)(Блок № 4), а также содержит весьма представительный набор вопросов по предыдущим темам.

В контрольных работах КР-1, КР-2, КР-3 предполагается решение студентами простейших математических задач по теме, носящих достаточно стандартный характер, а также формулировка ответов на вопросы по избранным темам теории.

В экспресс-контрольной работе, носящей итоговый характер, предполагается охватить как содержание тем 10-13, так и ряд принципиальных вопросов теретического характера из предыдущих тем. При этом предполагается, что студенты дают краткие ответы (например, указывая номер варианта ответа) на некоторый набор базовых теоретических вопросов.

3. Содержание программы.

Тема 1. Введение.

Специфическая роль методов оптимизации в решении экономических задач. Особенности используемых в экономико-математических задачах критериев оптимальности. Теория оптимального управления экономическими системами как математическая дисциплина и ее связи с другими научными дисциплинами. (Методы математического моделирования экономических систем, общая теория методов оптимизации,...). Задачи, носящие нетрадиционный для классического периода математики смысл. (Анализ конфликтных ситуаций, теория игр, теория принятия решений, теория вероятностей (в первую очередь задачи массового обслуживания) и т. д..) . Новое понимание смысла терминов “эффективность” (“оптимальность”), “операция”, “неопределенность”, “риск” и т. д.. Рассмотрение многокритериальных задач.. . Сопоставление различных вариантов развития экономической системы и кардинальная проблема планирования – проблема построения критерия эффективности развития системы (целевой функции развития системы). Общая особенность критериев – их своеобразная ограниченность, обусловленная стремлением выразить в едином критерии (показателе) очень многогранный процесс производства, а также в отсутствии увязки с экономическими показателями. Преимущественно нормативный характер моделей оптимизации. Разработка “спектра принципов оптимальности” с целью преодоления ограниченности однокритериального подхода.

Тема 2. Некоторые понятия и результаты общей теории систем.

Общее понятие временных и динамических систем. Системы с дискретным и непрерывным временем и их взаимосвязь. Концепция общей системы как отношения. Структура системы и взаимодействие ее подсистем. Соединение систем. Понятие обратной связи. Управляемые системы. Исследование систем на основе процедур декомпозиции и агрегирования.

Тема 3. Метод математического моделирования

в экономических исследованиях.

Основные этапы применения метода математического моделирования. Понятие математической модели изучаемого класса явлений. Системы математических моделей. Понятие механизма явления. Основные требования к математическим моделям (адекватность; согласованность; проблемная ориентированность и относительно избыточная детальность; области применимости моделей и т. д.). Особенности применения метода математического моделирования в социально-экономических исследованиях. Экономическая система как объект управления

О классификациях математических моделей. Пакеты прикладных программ как один из видов математических моделей.

Тема 4. Математические модели экономических систем.

Модели леонтьевского типа Модель динамического межотраслевого баланса. Модель Неймана. Модель Гейла, квазинеймановская модель. Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель. Двухпродуктовая динамическая макроэкономическая модель. Многопродуктовая модель экономики. Межотраслевой баланс. Моделирование запаздывания при освоении капитальных вложений. Однопродуктовая оптимизационная динамическая микроэкономическая модель. Нелинейная оптимизационная модель развития многоотраслевой экономики.

Тема 5. Избранные вопросы качественного исследования

математических моделей управляемых экономических процессов

Понятие устойчивости. Исследование устойчивости. Поведение траекторий в линейных моделях экономической динамики. Однопродуктовая макроэкономическая модель. Однопродуктовая макроэкономическая модель с запаздыванием.

Тема 6. Вопросы общей математической теории

оптимизации управляемых процессов

Общая постановка задачи оптимального управления для непрерывных и дискретных процессов. Основные принципы и методы исследования оптимизационных задач (принцип максимума ; метод динамического программирования; дискретный принцип максимума; методы, основанные на применении достаточных условий оптимальности и др.). Формулировки теорем о необходимых и достаточных условиях оптимальности. Методы, основанные на применении достаточных условий оптимальности. Примеры задач оптимального управления. Задача оптимизации управляемых процессов с непрерывным и дискретным временем на бесконечном промежутке времени (“бесконечный горизонт планирования”).

Тема 7 . Оптимальное управление

в общей технологической модели экономической динамики

Экономический и технологический темп роста модели. Состояние равновесия модели экономической динамики. Характеристика состояний равновесия модели. Состояние равновесия в двойственной модели и в модели Неймана. Состояние равновесия в модели динамического межотраслевого баланса. Состояние равновесия в модели Леонтьева. Параметризация модели Неймана. Средний темп роста продукта на бесконечной траектории. Асимптотики роста продукта на траектории. Теоремы о магистрали в слабой форме. Теорема о магистрали в нормальной форме. Теорема о магистрали в сильной форме. Нахождение технологического темпа роста для модели Неймана. Нахождение технологического темпа роста для специальных моделей экономической динамики. Понятие об асимптотической магистральной оптимизации управляемых систем. Оптимальные вложения в научно-технический прогресс в макроэкономических моделях и магистральные теоремы.

Тема 8. Некоторые применения необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина.

Календарное планирование поставки продукции. Дискретный вариант. Оптимальное планирование поставки продукции. Непрерывный вариант. Исследование процессов оптимального распределения капиталовложений. “Золотое правило накопления” (Е. Фелпс). Распределение капиталовложений с учетом требований экологии. Научные исследования и влияние управляемого научно-технического прогресса на производство. Задача оптимизации управляемых процессов на бесконечном промежутке.

Тема 9. Исследование однопродуктовой (односекторной)

макромодели оптимального развития экономики.

Моделирование производства на макроуровне. Сбалансированный рост в однопродуктовой макроэкономической модели. Сбалансированный рост в однопродуктовой макроэкономической модели с запаздыванием. Исследование односекторной модели с учетом технологического прогресса. Исследование односекторной модели с учетом эндогенного изменения трудовых ресурсов. Решение задачи управления экономикой на макроуровне с помощью достаточных условий оптимальности. Оценка оптимального развития экономики. Оптимальное потребление в однопродуктовой макромодели.

Тема 10. Динамическая модель оптимального развития

многоотраслевой экономики

Постановка задачи. Оптимизация процессов, линейных относительно управления. Условия оптимальности процесса экономического развития. Свойства допустимых цен и оптимальных режимов развития экономики. Уравнения оптимального сбалансированного плана. Граничные условия, и прилегающие к ним участки оптимального режима. Стационарный режим. Структура оптимального режима и алгоритм его построения.

Тема 11. Взаимодействие моделей экономической динамики

Постановка задачи о кооперации. Условие кооперабельности в случае отсутствия транспортных затрат. Условия кооперабельности в общем случае. Структура оптимального процесса кооперации. Задача о конфликтном взаимодействии двух моделей. Игра однопродуктовых моделей экономики леонтьевского типа. Игра многопродуктовых моделей экономики леонтьевского типа. О теоретико-игровом подходе к моделированию обменных процессов.

Тема 12. Многокритериальная оптимизация

экономико – математических моделей

Понятие о многокритериальных экономико-математических моделях. Примеры постановок оптимизационных экономико-математических задач. Многокритериальная оптимизация в условиях неполной информации.

Тема 13. Дифференциальные игры и оптимальные распределения

в моделях экономической динамики

Примеры постановок задач. Дивидендная политика конкурирующих фирм. Производственный процесс нескольких экономических объединений. Переговоры рабочих и администрации во время забастовки. Внешняя торговля. Динамическая модель развития жилого фонда. Многоуровневые экономические механизмы (). Элементы теории дифференциальных игр с ненулевой суммой. Проблема оптимального распределения в социально-экономических задачах и кооперативные игры.

Тема 14. Заключение. Обзор курса. Общие выводы и рекомендации.

Общий обзор курса, а также обзор приемов и методов формализации постановок задач и построения соответствующих математических моделей, их исследования и содержательной интерпретации в терминах предметной области. Использование полученных результатов для объяснения экономических явлений.

Дальнейшие направления изучения классических и современных математических методов исследования экономико-математических задач.

4. Методика проведения семинарских занятий

по курсу ““Оптимальное управление экономическими системами”

1.  Студенческая группа разбивается на подгруппы по 4-5 человек. Каждая подгруппа подготавливает избранную для доклада тему (включая содержательную постановку задачи и обоснование выбора математической модели, описывающей определённый круг экономических процессов).

2.  При подготовке выступления на семинаре (1-2 основных докладчика, 3-4 содокладчика):

·  определяется цель и ожидаемый результат анализа задачи;

·  сопоставляется избранная модель с другими моделями;

·  даётся алгоритм решения задачи и обосновывается его выбор;

·  описываются аналитические результаты, полученные при исследовании задачи, а также указываются существующие программные комплексы, позволяющие получить численные результаты для решаемой задачи.

3. Аудитория участвует в обсуждении поставленных проблем под руководством преподавателя.

4. При наличии соответствующего программного обеспечения возможно проведение компьютерного анализа исследуемых задач.

Формы контроля

Контроль знаний студентов включает:

·  текущий контроль по посещению лекционных и семинарских занятий и активности работы на них.

·  текущий контроль по успеваемости: контрольные работы, экспресс-контрольные работы (тесты) - по итогам изучения отдельных блоков дисциплины.

·  итоговый контроль по семинарским (практическим) занятиям: рейтинг по результатам оценок за контрольные работы и экспресс-контрольные работы (тесты) по итогам изучения отдельных блоков дисциплины..

·  итоговая оценка: оценка на экзамене с учетом рейтинга.

5. Рекомендуемая литература:

К введению

1.  Тихомиров исчисление и оптимальное управление // Сб.: Оптимальное управление. – М.: Изд. Знание. 1978. С. 24 – 52.

2.  , От правила множителей Лагранжа до принципа максимума Понтрягина (об истории необходимых условий экстремума в задачах с ограничениями) // Историко-математические исследования. Вып. 25. – М.: Наука. 1980. С. 104 –128.

3.  - П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. - М.: Мир, 1988.

4.  Теория игр с примерами из математической экономики.-М.: Мир, 1985.-200с.

5.  Моисеев задачи системного анализа. –М.: ”Наука”. 198с

6.  , Тарасенко в системный анализ. – М.: Высшая школа. 1989. – 367с.

7.  Системный анализ в экономике и организации производства./ Под общ. ред. , . – Л.: Политехника 1991. – 398с.

А) Основная литература

1.  Основы теории оптимального управления // Авт.: , , / - Под редакцией - М.: Изд. “Высшая школа”. – 19с.

2.  Ашманов в математическую экономику. –М.:Наука. 19с.

3.  Колемаев экономика. – М.:Юнити. 19с.

4.  , , Черемных методы в экономике. – М.:ДиС. 19с.

5.  , , Десницкая управление в агрегированных моделях экономики. – Л.:Наука. 19с.

6.  Полтерович равновесие и хозяйственный механизм. – М.:Наука. 19с.

7.  Васильев методы решения экстремальных задач. – М.: Наука. 1980. – 520с. 2-е изд. – М.: Наука. 1988. – 552с.

8.  , Тихомиров курс теории экстремальных задач. – М.: Изд. МГУ. 1989. – 204с.

9.  , , Федоров методов оптимизации.– М.: Наука. 1986. – 328с.

10.  , , Шананин математического моделирования экономики. - М.: Энергоатомиздат. 19с.

Б) Дополнительная литература

1.  , , Фомин управление. – М.: Наука. 1979. – 432с.

2.  Болтянский методы оптимального управления. – М.: Наука. 1969. – 408с.

3.  Буслаев исчисление. – Л.: Изд. ЛГУ. 1980. – 288с.

4.  Кириллова теория оптимальных процессов. - М.: Наука. 1971. – 508с.

5.  Кириллова максимума в теории оптимальных процессов. - Минск: Наука и техника. 1974. – 272с.

6.  , Фомин исчисление. - М.: Физматгиз. 1961. – 228с.

7.  , Астафьев в теорию линейного и выпуклого программирования. – М.: Наука. 1976. – 192с.

8.  Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М.:Прогресс. 19с.

9.  , Тихомиров экстремальных задач. – М.: Наука. 1974. – 480с.

10.Карманов программирование. – М.: Наука. 1975. – 272с.

11.Красс методы экономической динамики. – М.:Сов. Радио. 19с.

12., Рубинов теория экономической динамики и равновесия. - М.: Наука, 1973.

13.Моисеев методы в теории оптимальных систем.– М.: Наука. 1971. – 424с.

14., , Столярова оптимизации.– М.: Наука. 1978. – 352с.

15., , Мищенко теория оптимальных процессов. - М.: Наука. 1969. – 384с.

16. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. – М.: Мир. 1978. – 316с.

17.Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление.– М.: Наука. 1969. – 424с.

18. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления.– М.: Мир. 1974. – 488с.

19.  Beavis B., Dobbs I. M. Optimization and Stability Theory for Economic Analysis. Cambridge Univ. Press: 19pp.

20.  Chiang A. C. Elements of Dynamic Optimization. New-York: McGraw-Hill, Inc.,1992.-327pp.

21.  Chow G. C. Dynamic Economics Optimization by the Lagrange Method. New-York - Oxford: Oxford. Univ. Press:1997.-213pp.

22.  Nash S. G., Sofer A. Linear and Nonlinear Programming. - New-York: McGraw-Hill, Inc.,1996.-692pp.

23.  Simonovitz A. Mathematical Methods in Dynamic Economics.- Macmillan Press Ltd., 2000.-317pp.

24.  Sundaram R. K. A First Course in Optimization Theory. - Cambridge Univ. Press: 19pp.

25.  Takayama A. Mathematical Economics. 2nd Edition. - Cambridge Univ. Press: 19pp.

В.) Сборники задач

1.  Акулич программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа. 1993. – 336с.

2.  , , Тихомиров задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи. – М.: Наука. 1984. – 288с.

3.  Демидович задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука. 1984. – 288с.

4.  Заславский задач по линейному программированию. – М.: Наука. 1969. – 100с.

5.  , , Шабунин задач по математическому анализу. – СПБ.: Кристалл. 1994. – 496с.

6.  и др. Сборник задач и примеров по теории оптимального управления. – М.: Наука. 1969. – 100с.

7.  Калифман задач по математическому программированию. – М.: Наука. 1984. – 288.